相似三角形培优专题1. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D．
求证：(1)△ACD∽△ABC；
(2)AC2＝AD•AB；
(3)CD2＝AD•DB．
A
证明：(1)∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，
∴∠CDA＝90°＝∠ACB，
∵∠A＝∠A，
∴△ACD∽△ABC.
(2)∵△ACD∽△ABC，
∴AC AD AB AC
=，
∴AC2＝AD•AB；
(3)∵CD⊥AB，
∴∠ADC＝∠BDC＝90°，∴∠A+∠ACD＝90°，
∵∠ACB＝90°
∴∠A+∠B＝90°
∴∠ACD＝∠B
∴△ACD∽△BCD，
∴CD AD BD CD
=，
∴CD2＝AD•DB．
2．如图，点C，D在线段AB上，△PCD是等边三角形，且∠APB＝120°，求证：
(1)△ACP∽△PDB，
(2)CD2＝AC•BD．
证明：(1)∵△PCD是等边三角形，
∴∠PCD＝∠PDC＝∠CPD＝60°，
∴∠ACP＝∠PDB＝120°，
∵∠APB＝120°，
∴∠APC+∠BPD＝60°，
∵∠CAP+∠APC＝60°
∴∠BPD＝∠CAP，
∴△ACP∽△PDB；
(2)由(1)得△ACP∽△PDB，
∴，
∵△PCD是等边三角形，
∴PC＝PD＝CD，
∴，
∴CD2＝AC•BD．
3. 如图，正方形DEFG的边EF在△ABC的边BC上，顶点D、G分别在边AB、AC上，已知△ABC
的边BC＝15，高AH＝10，
(1)求证：△ADG∽△ABC；
(2)求这个正方形的边长和面积．
解：(1)∵四边形形DEFG是正方形，
∴DG∥BC
∴△ADG∽△ABC；
(2) 如图，高AH交DG于M，设正方形DEFG的边长为x，则DE＝MH＝x，
∴AM＝AH﹣MH＝10﹣x，
∵ADG∽△ABC，
∴DG AM BC AH
=，
∴
10 1510
x x
-
=，
∴x＝6，
∴x2＝36．
答：正方形DEFG的边长和面积分别为6，36．
4.如图，有一块三角形的余料△ABC，它的高AH＝40mm，边BC＝80mm，要把它加工成一个矩形，使矩形的一边EF落在BC上，其余两个顶点D、G分别在AB、AC上．
（1）求证：△ADG∽△ABC；
（2）设DE＝xmm，矩形DEFG的面积为ymm2，写出y与x的函数关系式；
解：（1）∵四边形DEFG是矩形，
∴DG∥EF，
∴△ADG∽△ABC，
（2）∵DE＝x
∴RH＝DE＝x
∴AR＝AH-RH=40-x
∵△ADG∽△ABC
∴DG AR BC AH
=，
∴
40 8040
DG x
-
=，
∴DG＝2（40﹣x）
∴y＝x•2（40﹣x）＝﹣2x2+80x
5. 如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝20m，BC＝12m，点P从点A开始沿AB边向点B以2m/s
的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以1m/s的速度移动，P、Q分别从A、B点同时出发，时间为ts．求当t为何值时，△PBQ与△ABC相似？
解：由题意得，BP＝20﹣2t，BQ﹣t，
当△PBQ与△ABC相似时，或，
即或，
解得，t或t，
∴当t或t时，△PBQ与△ABC相似；
6.如图，已知△ABC中AB＝6cm，AC＝4cm，动点D、E同时从A、B两点出发，分别沿A→C、B→A 方向匀速移动，它们的速度分别是1cm/s和2cm/s，当点E到达点A时，D、E两点停止运动．设运动时间为t(s)，问：当t为何值时，△ADE与△ABC相似？
解：根据题意得：BE＝2t，AD＝t，
∴AE＝6﹣2t，
①当时，
即，解得：t；
②当时，
即，解得：t；
综上所述：当t或时，△ADE与△ABC相似．
7. 如图所示，矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，P是线段BC上的一点(P不与B重合)，M是DB
上一点且BP＝DM，设BP＝x，△MBP的面积为y．
(1)求y与x的函数关系式．
(2)写出自变量的取值范围．
解：(1)矩形ABCD中，∠C＝90°，CD＝AB＝8，
根据勾股定理得，BD10，
过点M作MN⊥BC于N，则MN∥CD，
所以，△BNM∽△BCD，
∴，
即，
解得MN(10﹣x)，
所以，△MBP的面积为y BP•MN x•(10﹣x)x2+4x，
即y与x的函数关系式为y x2+4x；
(2)∵P是线段BC上的一点(P不与B重合)，BC＝6，
∴0＜x≤6．
8. 如图，Rt △ABC 中，∠B =90°，AB ＝12cm ，BC ＝10cm ，点D 从点A 出发沿AB 以2cm /s 的速度向点B 移动，到达点B 处停止运动，在移动过程中始终保持DE ∥BC ，DF ∥AC (点E 、F 分别在AC 、BC 上)．求经过t 时四边形DFCE 的面积y .
解：运动时间为t ，则AD ＝2tcm ，DB ＝(12﹣2t )cm ．
∵DE ∥BC ，
∴△AD E∽△ABC， ∴AD DE
AB BC =， ∴21210t DE
= ∴53t
DE =
∵DE ∥BC ，DF ∥AC ，
∴ 四边形DFCE 是平行四边形， ∴53t
CF DE == ∴2510
(122)2033t
y CF BD t t t =⋅=⋅-=-+。