此时，∠ ABM=∠ BAC=90°，∠ AMB=∠ BAM=45°，BM=AB=AC． ∴ 四边形 ABMC 是正方形． ∴ ∠ BMC=90°， ∴ ∠ AMC=∠ BMC-∠ AMB=45°， ∵ ∠ BAM=∠ DAE=45°， ∴ ∠ BAD=∠ MAE， 在等腰直角△ BAM 和等腰直角△ DAE 中，
方形 AMEF，点 N 为正方形 AMEF 的中点，连接 CN，若 BC=10，CN= ，试求 EF 的长． 【答案】（1）NC∥ AB （2）解：∠ ABC=∠ ACN，理由如下：
∵
=1 且∠ ABC=∠ AMN，
∴ △ ABC～△ AMN
∴
，
∵ AB=BC，
∴ ∠ BAC= （180°﹣∠ ABC）， ∵ AM=MN
∴ ∠ PMC=∠ C=90°， ∵ AD∥ BC， ∴ ∠ D=90°，△ OAP∽ △ OBQ，
∴ 四边形 PMCD 是矩形，
，
∴ PM=CD=3，CM=PD=2t，
∵ AD=6，BC=4，CQ=t，
∴ PA=2t-6，BQ=4-t，MQ=CM-CQ=2t-t=t,
∴
，解得：
，
∴ MQ=
，
又∵ PM=3，∠ PMQ=90°，
∴ tan∠ BPQ=
；
【分析】（1）点 P 作 PM⊥BC，垂足为 M，则四边形 PDCM 为矩形，根据梯形的面积公式
就可以利用 t 表示，就得到 s 与 t 之间的函数关系式。
（2）以 B、P、Q 三点为顶点的三角形是等腰三角形，可以分 PQ=BQ、BP=BQ、PB=PQ 三
种情况，在 Rt△ PMQ 中根据勾股定理，就得到一个关于 t 的方程，就可以求出 t。
（3）根据相似三角形对应边比例可列式求出 t，从而根据正切的定义求出值；
（4）首先假设存在，然后根据相似三角形对应边成比例求证。
3． （1）问题发现：
如图 1，在等边三角形 ABC 中，点 M 为 BC 边上异于 B、C 的一点，以 AM 为边作等边三角 形 AMN，连接 CN，NC 与 AB 的位置关系为________； （2）深入探究： 如图 2，在等腰三角形 ABC 中，BA=BC，点 M 为 BC 边上异于 B、C 的一点，以 AM 为边作 等腰三角形 AMN，使∠ ABC=∠ AMN，AM=MN，连接 CN，试探究∠ ABC 与∠ ACN 的数量关 系，并说明理由； （3）拓展延伸： 如图 3，在正方形 ADBC 中，AD=AC，点 M 为 BC 边上异于 B、C 的一点，以 AM 为边作正
∵ AE=BE，EH⊥AB， ∴ AH=BH， ∴ AM=BM， ∵ ∠ ABC=45°， ∴ AM⊥BC，△ BMH 是等腰直角三角形， ∵ AD=DE，∠ ADE=90°， 易得△ ADM≌ △ DEG， ∴ DM=EG， ∵ ∠ EMG=∠ BMH=45°， ∴ △ EMG 是等腰直角三角形，
一、相似真题与模拟题分类汇编（难题易错题）
1．如图，正方形 ABCD、等腰 Rt△ BPQ 的顶点 P 在对角线 AC 上（点 P 与 A、C 不重合），
QP 与 BC 交于 E，QP 延长线与 AD 交于点 F，连接 CQ．
（1）①求证：AP=CQ；②求证：PA2=AF•AD； （2）若 AP：PC=1：3，求 tan∠ CBQ． 【 答 案 】 （ 1 ） 证 明 ： ①∵ 四 边 形 ABCD 是 正 方 形 ， ∴ AB=CB ， ∠ ABC=90° ， ∴ ∠ ABP+∠ PBC=90°， ∵ △ BPQ 是等腰直角三角形，∴ BP=BQ，∠ PBQ=90°，∴ ∠ PBC+∠ CBQ=90° ∴ ∠ ABP=∠ CBQ，∴ △ ABP≌ △ CBQ，∴ AP=CQ; ②∵ 四边形 ABCD 是正方形，∴ ∠ DAC=∠ BAC=∠ ACB=45°， ∵ ∠ PQB=45°，∠ CEP=∠ QEB，∴ ∠ CBQ=∠ CPQ， 由①得△ ABP≌ △ CBQ，∠ ABP=∠ CBQ ∵ ∠ CPQ=∠ APF，∴ ∠ APF=∠ ABP，∴ △ APF∽ △ ABP，
∴ tan∠ CBQ=tan∠ CPQ= . 【解析】【分析】（1）①利用正方形的性质和等腰直角三角形的性质易证 △ ABP≌ △ CBQ ， 可 得 AP=CQ ； ② 利 用 正 方 形 的 性 质 可 证 得 ∠ CBQ=∠ CPQ ， 再 由 △ ABP≌ △ CBQ 可证得∠ APF=∠ ABP，从而证出△ APF∽ △ ABP，由相似三角形的性质得证； （2）由△ ABP≌ △ CBQ 可得∠ BCQ=∠ BAC=45°，可得∠ PCQ=45°+45°=90°，再由三角函数可
在△ ABM 与△ ACN 中，
， ∴ △ ABM≌ △ ACN（SAS）， ∴ ∠ B=∠ ACN=60°， ∵ ∠ ANC+∠ ACN+∠ CAN=∠ ANC+60°+∠ CAN=180°， ∴ ∠ ANC+∠ MAN+∠ BAM=∠ ANC+60°+∠ CAN=∠ BAN+∠ ANC=180°， ∴ CN∥ AB； 【 分 析 】 （ 1 ） 由 题 意 用 边 角 边 易 得 △ ABM≌ △ ACN ， 则 可 得 ∠ B=∠ ACN=60°， 所 以 ∠ BCN+∠ B=∠ BCA+∠ ACN+∠ B=180°，根据平行线的判定即可求解；
AH＝ AB＝ AG，AE＝ AD．
∴
，
∴ △ AGD∽ △ AHE；
（2）解：分三种情况：①当 B 与 D 重合时，即 BD=0，如图 3，此时 AB=BE；
②当 AB=AE 时，如图 4，此时 E 与 C 重合，
∴ D 是 BC 的中点， ∴ BD= BC=2 ； ③当 AB=BE 时，如图 5，过 E 作 EH⊥AB 于 H，交 BC 于 M，连接 AM，过 E 作 EG⊥BC 于 G，连接 DH，
（ 2 ） 由 题 意 易 得 △ ABC ～ △ AMN ， 可 得 比 例 式
，由三角形内角和定理易得
∠ BAM=∠ CAN，根据相似三角形的判定可得△ ABM～△ ACN，由相似三角形的性质即可求
解；
（3）要求 EF 的值，只须求得 CM 的值，然后解直角三角形 AMC 即可求解。连接 AB，
AN ， 由 正 方 形 的 性 质 和 相 似 三 角 形 的 判 定 易 得 △ ABM ～ △ ACN ， 可 得 比 例 式
，可求得 BM 的值，而 CM=BC﹣BM，解直角三角形 AMC 即可求 得 AM 的值，即为 EF 的值。
4．如图 1，在△ ABC 中，∠ BAC=90°，AB=AC=4，D 是 BC 上一个动点，连接 AD，以 AD 为 边向右侧作等腰直角△ ADE，其中∠ ADE=90°．
（3）当线段 PQ 与线段 AB 相交于点 O，且 2OA=OB 时，直接写出
=________.
（4）是否存在时刻 ，使得
若存在，求出 的值；若不存在,请说明理由.
【答案】（1） （2）解：如图 1，过点 P 作 PH⊥BC 于点 H，
∴ ∠ PHB=∠ PHQ=90°， ∵ ∠ C=90°，AD∥ BC， ∴ ∠ CDP=90°， ∴ 四边形 PHCD 是矩形， ∴ PH=CD=3，HC=PD=2t， ∵ CQ=t，BC=4， ∴ HQ=CH-CQ=t，BH=BC-CH=4-2t，BQ=4-t，
得 tan∠ CPQ= ，由 AP:PC=1:3，AP=CQ，可得 tan∠ CPQ= ，再由∠ CBQ=∠ CPQ 可求出答
案.
2．如图，在四边形 ABCD 中，AD//BC，
，BC=4，DC=3，AD=6.动点 P 从点 D 出
发，沿射线 DA 的方向,在射线 DA 上以每秒 2 两个单位长的速度运动，动点 Q 从点 C 出
（ 1 ） 如 图 2 ， G ， H 分 别 是 边 AB ， BC 的 中 点 ， 连 接 DG ， AH ， EH ． 求 证 ： △ AGD∽ △ AHE； （2）如图 3，连接 BE，直接写出当 BD 为何值时，△ ABE 是等腰三角形；
（3）在点 D 从点 B 向点 C 运动过程中，求△ ABE 周长的最小值． 【答案】（1）证明：如图 2，由题意知△ ABC 和△ ADE 都是等腰直角三角形， ∴ ∠ B=∠ DAE=45°． ∵ H 为 BC 中点， ∴ AH⊥BC． ∴ ∠ BAH=45°=∠ DAE． ∴ ∠ GAD=∠ HAE． 在等腰直角△ BAH 和等腰直角△ DAE 中，
∴ ME= MG，
由（1）得：△ AHD∽ △ AME，且
，
∴ ∠ AHD=∠ AME=135°，ME= DH，
∴ ∠ BHD=45°，MG=DH，
∴ △ BDH 是等腰直角三角形，
∴ BD=DH=EG=DM= ；
综上所述，当 BD=0 或 或 2 时，△ ABE 是等腰三角形；
（3）解：当点 D 与点 B 重合时，点 E 的位置记为点 M，连接 CM，如图 6，
∴ ∠ MAN= （180°﹣∠ AMN）， ∵ ∠ ABC=∠ AMN， ∴ ∠ BAC=∠ MAN， ∴ ∠ BAM=∠ CAN， ∴ △ ABM～△ ACN， ∴ ∠ ABC=∠ ACN （3）解：如图 3，连接 AB，AN，
∵ 四边形 ADBC，AMEF 为正方形， ∴ ∠ ABC=∠ BAC=45°，∠ MAN=45°， ∴ ∠ BAC﹣∠ MAC=∠ MAN﹣∠ MAC 即∠ BAM=∠ CAN，
∵
，
∴
，
∴ △ ABM～△ ACN
∴
，
∴
=cos45°= ，
∴
，
∴ BM=2，
∴ CM=BC﹣BM=8，
在 Rt△ AMC，
AM=
，
∴ EF=AM=2 ．