高等数学第二学期期末考试试题真题及完整答案一、填空题（将正确答案填在横线上）(本大题共5小题，每小题4分，总计20分) 1、设函数(1)y z xy =+，则dz =2、曲面2222223x y y z z x ++=在点(1,1,1)--处的切平面方程为____3、2112220()xx I dx x y dy -=+⎰⎰= .4、曲面积分()()222x y z dydz y dzdx z z dxdy ∑-++++⎰⎰= ，其中，∑为z 与()0z h h =>所围的空间几何形体的封闭边界曲面，外侧. 5、幂级数()102n n n x ∞-=-∑的收敛域为 .二、选择题（将选项填在括号内）(本大题共5小题，每小题4分，总计20分) 1、函数22z x y =+在（1,1）点沿()1,1l =--方向的方向导数为（ ）.(A) 0 (B) 1 (C) 最小 (D) 最大2、函数2424242,00,0x yx y z x y x y ⎧+≠⎪=+⎨⎪+=⎩在(0,0)处（ ）.(A)不连续，但偏导数存在 (B)不连续，且偏导数不存在 (C)连续，但偏导数不存在 (D)连续，且偏导数存在3、计算22()()L x y dx x y dyx y+--+⎰=（ ），其中L 为222x y a +=（按逆时针方向绕行）． (A)0 (B)2π- (C) 2π (D) π 4、设(,)f x y 连续,且(,)(,)Df x y xy f u v dudv =+⎰⎰,其中D 由20,,1y y x x ===所围成,则(,)f x y =（ ）.(A) xy (B) 2xy (C) 1xy + (D) 18xy +5、设级数1n n a ∞=∑收敛，其和为S ，则级数121()n n n n a a a ∞++=+-∑收敛于（ ）.（A ）1S a + （B ）2S a + （C ）12S a a +- （D ）21S a a +- 三、解答下列各题(本大题共3小题，每小题8分，总计24分)1、设函数(,)z z x y =由方程0ze xyz -=所确定，计算zx ∂∂，z y ∂∂.2、计算22()L x y ds +⎰，其中，L 为曲线(cos sin ),(sin cos )x a t t t y a t t t =+=-，(0,02)a t π>≤≤．3、求幂级数1nn nx∞=∑的和函数．三、解答下列各题(本大题共3小题，每小题8分，总计24分) 1、求内接于半径为a 的球面的长方体的最大体积．2、计算2(1)Dx y dxdy ++⎰⎰，其中平面区域(){}22,4,,D x y x y x y R =+≤∈．3、计算()x y z dS ∑++⎰⎰，其中∑为平面5y z +=被柱面2225x y +=所截得的部分.五、解答下列各题(本大题共2小题，每小题6分，总计12分)1、计算2sin 22(1),L xdx x ydy +-⎰其中L 为sin y x =上从点(0,0)O 到点(,0)A π．2、将函数12()arctan 12xf x x-=+展开成x 的幂级数.答案及评分标准一、填空题 (本大题分5小题，每小题4分，共20分)1、()()()1211ln 11y y xy dz y xy dx xy xy dy xy -⎛⎫=+++++ ⎪+⎝⎭ 2、30x y z ---=31 4、313h π 5、()1,3x ∈二、选择题（将选项填在括号内）(本大题共5小题，每小题4分，共20分) 1、C 2、A 3、B 4、D 5、B 三、解答下列各题(本大题共3小题，每小题8分，共24分)1、解：方程两端同时对,x y 分别求偏导数，有00z z zz e yz xy xx z z e xz xy yy ∂∂⎧--=⎪∂∂⎪⎨∂∂⎪--=∂∂⎪⎩，………………6分解得：,z z z yz z z xz z x e xy xz x y e xy yz y∂∂====∂--∂--.…………………………………………8分2、解：作图（略）. 原式=()()2220x t y t π⎡+⎣⎰………………………2分 ()()()()()2223240cos sin sin cos 22a t t t a t t t atdt a πππ⎡⎤=++-=+⎣⎦⎰.………………………8分 3、解：经计算，该级数的收敛域为()1,1x ∈-.……………………………… …………2分 其次计算该级数的和函数. 设()()23421111234(1)()()1,1nnn n n n s x nx x x x x n x x s x s x x ∞∞∞=====++++=+-=-∈-∑∑∑， … 4分()2321(1)234n n s x n x x x x ∞==+=+++∑，则()()()()()22234222211x x x s x s x dx xx xx x '⎛⎫-''==++== ⎪--⎝⎭⎰，11()1n n xs x x x∞===-∑.………7分 综上所述，()()()22212()1,1111nn x x x x s x nx x x x x ∞=-==-=∈----∑……………………………8分四、解答下列各题(本大题共3小题，每小题8分，总计24分)1、解：作图（略）.设内接长方体在第一卦限的内接点坐标为(),,P x y z ，有如下结论：(),,P x y z 一定在球面上面，满足球面方程；其次，长方体的长宽高一定分别为2,2,2x y z .因此，可建立如下数学模型：2222max 8..,,0V xyzx y z a s t x y z =⎧++=⎨>⎩…………………………………………………………4分利用Lagrange 乘数法进行求解，构造辅助函数为：()22228L xyz x y z aλ=+++-，有：22228208208200x yz L yz x L xz y L xy z L x y z a λλλλ=+=⎧⎪=+=⎪⎨=+=⎪⎪=++-=⎩………………………………6分 解得唯一驻点(),,x y z ⎫=⎪⎭，因该问题一定存在最大值，故该唯一驻点一定是该问题的最大值点，最大值为3max V =.……………………………………………8分 2、解：作图（略）.原式=()()221222D x y x y xy dxdy ⎡⎤+++++⎣⎦⎰⎰=()221D x y dxdy ++⎰⎰…4分 =()22224200011121242d d πθρρρπρρπ⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭⎰⎰……………………………………………8分3、解：作图（略）. 原式=()(,xyx y z x y ∑++⎰⎰，其中，5z y =-，(){}22,25,,xy x y xy x y R ∑=+≤∈.………………………………………………………………4分 故原式=(5xyx ∑+=⎰⎰……………………………………………………………8分五、解答下列各题 (本大题共2小题，每小题6分，总计12分)1、解：作图（略）. 本题利用第二类曲线积分的定义或格林公式均可以处理. 这里利用格林公式处理. 添加辅助有向直线段:0,0AO y x π→=≤≤，从而构成封闭平面区域D .设()()()2,sin 2,,21P x y x Q x y x y ==-，显然，,P Q 在区域D 内满足格林公式.……1分=4D L AO AO DQ P d Pdx Qdy Pdx Qdy xyd x y σσ→→+⎛⎫∂∂-=-+=-+ ⎪∂∂⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰⎰原式-………………3分 故原式=2sin 00044sin 22x D AO xyd Pdx Qdy dx xydy xdx πππσ→--+=--=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰.………………6分2、解：因()()222324421()2211,1141t x t xf x t t t t x t==-'==-=--+-+∈-++=()()2244662201121222212,22nn nn x x x x x ∞=⎛⎫--+-+=--∈- ⎪⎝⎭∑………………………3分故()()246357012222()arctan 2012357x x f x f x dx x x x x f x ⎛⎫-'===--+-++ ⎪+⎝⎭⎰ ()22121121,42122n nn n x x n π∞+=⎛⎫=--∈- ⎪+⎝⎭∑………………………………………………………5分故()221012211()arctan21,1242122n n n n x f x x x x n π∞+=-⎛⎤==--∈- ⎥++⎝⎦∑（因为()f x 在12x =处连续，而级数在该点处收敛）.……………………………………………………………………………6分。