2 3
1 2
分析：此题主要运用有理指数幂的运算性质。 解：
8 ＝（2 ） ＝2 ＝22＝4；
100 ＝（ 10 ） ＝ 10
－ 1 2 2 － 1 2 1 2 （－ ） 2
2 3
2 3 3
3
2 3
1 ＝ 10 ＝ ； 10
－1
1 －3 －2 －3 （－2） （－3） 6 （ ） ＝（2 ） ＝2 ＝2 ＝64； 4
m n
m n
6
⒈正分数指数幂的意义 ⑴我们给出正数的正分数指数幂的定义：
m 用语言叙述：正数的 n 次幂(m,n∈N*,且n>1)
m n
a a
n
m
(a>0,m,n∈N*,且n>1)
等于这个正数的m次幂的n次算术根. 注意：底数a>0这个条件不可少. 若无此条件会 引起混乱，例如， (-1)1/3 和 (-1)2/6 应当具有同样 的意义，但由分数指数幂的意义可得出不同的 结果：
1 3 2 3
8a (3)( ) 6 27b
1 (4)2 x ( x 2 x ) 2
17
3、下列正确的是（） A、 B、x

x ( x ) ( x 0)
1 3 3
1 2
3 x
4
x 4 C、 ( ) y
y 3 ( ) ( x , y 0) x
6 D、 y 2 y ( y 0)
19
20
课后作业
P98 习题二 1(1)(2)(3) 2(1) (2)

21

1 a
m n
(a 0, m, n N *,且n 1)
4.有理指数幂的运算性质
（1）ar•as=ar+s(a>0,r,s∈Q)
3. 0的分数指数幂
0的正分数指数幂等于0。 （2）(ar)s=ar•s(a>0,r,s∈Q) 0的负分数指数幂无意义。（3）(a•b)r=ar•br(a>0,b>0,r∈Q)
b
1 1 5 2 3 6
4ab 4a
0
(2)(m n
1 4 8
1 4

3 8
)
8
(m ) (n
3 8 8
) m n
2
3
m 3 n
2
16
.Ⅲ. 课堂练习一
1、计算下列各式：
1 2 1 4 3 8
1 3
(1)a a a
3
(2)(x y )
1 3
1 2
1 3 6
实数指数幂及其运算
1
复习引入
1 初中学习的正整数指数 2 正整数指数幂的运算法则 n m n （1 ） m a m an amn (2) (a ) a (3) (4)
a mn a (m n, a 0) n a m m m (ab) a b
2
m
思考讨论
规定：
a 1(a 0)
10 5 12 3
复习：（口算） 1 ） 32
4 2） 81 5
3
a10 5 (a 2 ) 5 a 2 a a12 3 (a 4 ) 3 a 4 a
3
3） 2
10 12
a (a ) a
2
2 3 3
2 3
3 4） 3
a (a ) a
2
1 2
1 2
n
a
m
n
( a ) n a (m, n N *, 且n 1)
⑴ ar· as=ar+s (a>0,r,s∈Q)； ⑵ (ar)s=ars (a>0,r,s∈Q)； ⑶ (ab)r=ar br (a>0,b>0,r∈Q).
9
1.正数的正分数指数幂的意义： m
a n n a m (a 0, m, n N *,且n 1)
2.正数的负分数指数幂
a
m n
x n a ; (当n是奇数)
x a
n
x n a . (当n是偶数,且a＞0)
让我们认识一下这个式子:
根指数
根式
n
a
被开方数
5
有理数指数幂
1)( a ) ? 2)当n为奇数时， n a n=a；
n n
2) n a n ?
5
a(a 0) 当n为偶数时， n a n =|a|= a(a 0)
0
a
n
1 n (a 0, n N ) a
3
分数指数

1.回顾初中学习的平方根，立方根的概念
方根概念推广： n x a(a R, n 1, n N ) 如果存在实数x使得 则x叫做a的n次方根. 求a的n次方根，叫做把 a开n次方, 称作开方运算.
4
根式
一般地，如果xn=a，那么x叫做a的n次方根，其中n＞1，且 n∈N*.
(1)(2a b )(6a b ) (3a b )
(2)(m n
1 4
3 8
)
8
15
例4:计算下列各式（式中字母都是正数）
解： (1)(2a
2 3
b )(6a b ) (3a b )
2 1 1 3 2 6
1 2
1 2
1 3
1 6
5 6
[2 (6) (3)]a
正数的负分数指数幂的意义和正数的负整 数指数幂的意义相仿，就是：
m n
a

1 a
m n
1 (a>0,m,n∈N*,且n>1). n m a
规定： 0 的正分数指数幂等于 0 ； 0 的负分数指 8 数幂没有意义.
⒋有理指数幂的运算性质 我们规定了分数指数幂的意义以后，指 说明：若 a>0 ， p 是一个无理数，则 ap 表示 数的概念就从整数指数推广到有理数指 一个确定的实数. 上述有理指数幂的运算性 数 . 上述关于整数指数幂的运算性质，对 质，对于无理数指数幂都适用 . 即当指数的 于有理指数幂也同样适用，即对任意有 范围扩大到实数集R后，幂的运算性质仍然 理数 r，s，均有下面的性质： 是下述的 3条.
注意：以后当看到指数是分数时，如果没有特 10 别的说明，底数都表示正数.
练习: 1、用根式表示（a>0)：
1 3 4 5 1 6
1 4
2 , a ,3 , a .
0 2、若（x 5） （x 4） 有意义，求 x的取值范围。

3 4
11
3 － 1 16 例2：求值： －3 8 ， 100 ，（ ） ，（ ） 4 4 81 －
1 2 1 2 2 5 2
a a a a a
2 2
a ;
2 3
a a a a a
3 3 2 3
1 1 2 2
2 3
3
a ;
3 4
11 3
a a (a a ) (a ) a .
3 1 2 2
a ?
14
例4:计算下列各式（式中字母都是正数）
2 3 1 2 1 2 1 3 1 6 5 6
1 3
18
小结： ①分数指数幂的意义及运算性质
②指数概念的扩充，引入分数指数幂概念后，
指数概念就实现了由整数指数幂向有理数指数 幂的扩充 ． 而且有理指数幂的运算性质对于无理指数幂也适 用，这样指数概念就扩充到了整个实数范围。
n a ③对于指数幂 ,当指数n扩大至有理数时 当n为负整数指数时，底数a≠0；当n为分数时， 底数a>0。
16 2 （ ） ＝（ ） 81 3
－
3 4
3 4 （－ ） 4
2 －3 27 ＝（ ） ＝ 。 3 8
12
练习:求值：
1 9 ， 64 , ( ) 32
1 2
2 3
1 5
13
例3：用分数指数幂的形式表示下列各式：
a 2 a , a 3 3 a 2 , a a (式中a 0)
分析：此题应结合分数指数幂意义与有理指数幂运算性质。 解：
2 6 6 =-1 ； ( 1 ) ( 1 ) 1 =1. 这就说明 ( 1) 1 7 分数指数幂在底数小于0时无意义.
1 3
3
2 6
⒉负分数指数幂的意义
注意：负分数指数幂在有意义的情况下， 回忆负整数指数幂的意义： 1 总表示正数，而不是负数 , 负号只是出现 － n a = n ( a≠0,n∈N*). 在指数上. a