第五章 结构的强迫振动响应分析§5.1 概述如果结构已经用有限元方法进行了离散化，当一个结构系统受到外激励作用时，其响应就是一个多自由度系统的强迫振动问题的解。

求解多自由度系统强迫振动响应的方法之一就是直接积分法。

考虑到实际结构的高维数（自由度数很大）而给求解带来的困难，往往在实际求解中采用模态叠加法。

直接积分法和模态叠加法这两种方法都可以得到具有相当精度的振动响应解，并且各有其特点。

§5.2 求解强迫振动响应的直接积分法对动力学基本方程)}({}]{[}]{[}]{[t P U K U C U M =++ （5－1）进行直接积分，其含义是指在对方程进行积分之前，不对其进行任何形式的变换，在积分中，实际上是按时间步长逐步积分的。

这样做的实质是基于如下考虑：（1） 只在相隔t ∆的一些离散时间区间上、而不是在整个时间区间上的任一个时刻t 上满足方程，即平衡是在求解区间上的一些离散时刻上获得的。

（2） 假定位移、速度、加速度在每一个时间区间t ∆内按一定规律变化，也正是采用不同的变化形式，决定了各种直接积分解的精度、稳定性和求解速度。

首先，设}{}{}{000U U U 表示初始时刻（0=t ）的位移、速度和加速度为已知向量，要求出从0=t 到T t =的解，则把时间段T 均分为n 个间隔n T t /=∆，所用的积分是在T t t ,2,∆∆上求方程的近似解。

即要在t t t ,2,∆∆的解已知的情况下，求解t t ∆+时刻的解。

【中心差分法】若基本方程式的平衡关系作为一个常系数微分方程组，则可以用任一种差分格式通过位移来表示速度和加速度。

通常采用中心差分格式，这是一个行之有效的求解微分方程的格式。

}){}({21}{}){}{2}({1}{2t t t t tt t t t t tU U t U U U U t U ∆∆∆∆∆∆-++--=+-= （5－2）假定}{t U 及前一时刻的位移}{t t U ∆-已经求得，则将}{t U }{t U 代入方程（5－1）得到：}]){[21][1(}]){[2]([}{}]){[21][1(222t t t t t t U C tM t U M t K P U C t M t ∆∆∆∆∆∆∆-+----=+ （5－3）由此式求出}{t t U ∆+上述格式是一个显式格式。

具体计算时，还有一个步进递推格式启动的问题，即}{}{}{000U U U 已知时，}{t U ∆-的求解问题。

由}{t U }{tU 的差分表达式，可求出： }{2}{}{}{0200U t U t U U t ∆∆∆+-=- （5－4） 中心差分法的具体步骤为：1． 用有限元素法形成结构的刚度矩阵][K 、质量矩阵][M 、阻尼矩阵][C2． 计算初始值}{}{}{000U U U 3． 选择步长t ∆，并计算积分常数23021201,2,21,1a a a a t a t a ====∆∆ （5－5） 4． 计算}{}{}{}{0300U a U t U U t +-=-∆∆ （5－6） 5． 形成][][]ˆ[10C a M a M += （5－7） 6． 分解T L D L M]][][[]ˆ[= （5－8） 对每一步长，进行如下计算： 1． 求t 时刻的有效载荷}]){[][(}]){[]([}{}ˆ{102t t t t t U C a M a U M a K P P ∆-----= （5－9）2． 求解在时刻t t ∆+的位移}ˆ{}{]][][[tt t T P U L D L =+∆ （5－10） 3． 如果需要，计算t 时刻的加速度和速度：}){}{(}{}){}{2}({}{10tt tt ttt t t t t U U a U U U U a U ∆∆∆∆+-+-+-=+-= （5－11）中心差分格式使用中，一个重要的问题是步长必须小于临界步长nT t ncr =∆，以保证步进递推的数值稳定性，这里，n 为系统的阶数，n T 为系统最小自然周期，即：nT t t ncr =≤∆∆ （5－12） 因此，中心差分格式是条件稳定的。

中心差分法作为显式算法的优点是，当质量阵为对角阵，阻尼阵也可以对角化时，可以避免矩阵求逆运算，而矩阵的分解运算非常简单，特别在进行非线性系统的响应分析时，由于需要在每个时间增量步修改刚度矩阵，采用中心差分法可以避免每一增量步对刚度矩阵的分解。

【Houbolt 方法】Houbolt 方法也是一种差分方法，它是基于拉格朗日插值公式的步进方法，该方法利用向后差分，由位移导出速度和加速度的多步隐式公式。

Houbolt 方法得到的计算结果比较光滑。

其差分的格式为：}){2}{9}{18}{11(61}{}){}{4}{5}{2(1}{222t t t t t t t tt t t t t t t tU U U U t U U U U U tU ∆∆∆∆∆∆∆∆--+--+-+-=-+-= （5－13）考虑t t ∆+时刻的平衡方程}{}]{[}]{[}]{[t t t t t t t t P U K U C U M ∆∆∆∆++++=++ （5－14）从而有：}]){[31][1})]){[23][4(}]){[3][5(}{}]){[][161][2(22222t t t t t t t t t U C tM t U C tM t U C t M t P U K C tM t ∆-∆-∆+∆+∆+∆+∆+∆-∆+∆+=+∆+∆ （5－15）显然，要求解}{t t U ∆+必须知道}{},{},{2t t t t t U U U ∆∆--在使用Houbolt 方法时，不是用此格式求初始两个时间步上的位移响应}{},{2t t U U ∆∆，而是用其它方法如中心差分法，步长取t ∆的几分之一来求得。

Houbolt 方法是一个隐式差分格式，其步长可以取得比中心差分法大一些，不受cr t ∆的限制，但为了保证计算精度，步长也不能取得太大。

Houbolt 方法的求解步骤总结如下：1．用有限元素法形成结构的刚度矩阵][K 、质量矩阵][M 、阻尼矩阵][C2．计算初始值}{}{}{000U U U 3．取步长t ∆，求9,2,22,3,5,611,237063504322120aa a a a a a a ta t a t a t a ==-=-=====∆∆∆∆ （5－16）4． 求}{}{2t t U U ∆∆（一般用一个特殊的启动格式如，中心差分法） 5．求解][][][]ˆ[10C a M a K K ++= （5－17） 6．矩阵分解T L D L K]][][[]ˆ[= （5－18） 7． 对每一步长，求 （1）}){}{}{]([}{}{}{]([}{}ˆ{27532642t t t t t t t t t t t t t t U a U a U a C U a U a U a M P P ∆∆∆∆∆∆----++++++++= （5－19）（2） }ˆ{}{]][][[t t t t T P U L D L ∆∆++= （5－20） （3） 若需要，求出}{}{}{}{}{26420t t t t t t t t t U a U a U a U a U ∆∆∆∆--++---= （5－21）}{}{}{}{}{27531t t t t t t t t t U a U a U a U a U ∆∆∆∆--++---= （5－22）【Wilson －θ法】Wilson －θ法假定加速度从时刻t 到时刻t t ∆+θ为线性变化，所以，可以认为它是线性加速度法的推广。

在37.1≥θ时，它是无条件稳定的。

通常取4.1=θ。

具体方法为：令τ为时间增量，其中t ∆θτ≤≤0，则在时刻t 到时刻t t ∆θ+的区间，有：}){}({}{}{tt t t t U U tU U -+=++∆θτ∆θτ（5－23） 积分上式： }){}({2}{}{}{2t t t t t t U U tU U U -++=++∆θτ∆θττ （5－24） }){}({61}{21}{}{}{32tt t t t t t U U tU U U U -∆+++=∆++θττθττ （5－25） 当t ∆θτ=}){}({2}{}{tt t t t t U U t U U ++=++∆θ∆θ∆θ （5－26） })2}({6}{}{}{22tt t tt t t U U t U t U U +++=++∆θ∆θ∆θ∆θ （5－27） 由此解出：}2}{6}){}({6}{22t t t t t t t U U t U U t U -∆--∆=∆+∆+θθθθ （5－28） }2}{2}){}({3}{t t t t t t t U t U U U t U ∆---∆=∆+∆+θθθθ （5－29） 在t t ∆θ+时刻的平衡方程为：}{}]{[}]{[}]{[t t t t t t t t P U K U C U M ∆+∆+∆+∆+=++θθθθ （5－30）其中}){(}{}{t t t t t t P P P P -+=∆+∆+θθθ （5－31）为t t ∆θ+时刻的载荷。

Wilson －θ法的具体步骤为：（1） 用有限元素法形成结构的刚度矩阵][K 、质量矩阵][M 、阻尼矩阵][Ct ∆{t U }t t ∆θ+（2） 计算初始值}{}{}{000U U U （3） 取步长t ∆，取4.1=θ，计算：6,2,31,,,2,2,3,)(628762504312120ta t a a a a a a t a a a t a t a ∆∆θθθ∆θ∆θ∆θ==-=-====== （5－32）（4）形成][][][]ˆ[10C a M a K K ++= （5－33） （5）矩阵分解T L D L K]][][[]ˆ[= （5－34） （6） 对每一步长t ∆，计算时刻t t ∆θ+时刻的有效载荷：}){}{2}{]([}){2}{}{]([}){}({}{}ˆ{3120ttttt t t t t t t t U a U U a C U U a U a M P P P P ++++++-+=++∆∆θθ（5－35）（7）求解t t ∆θ+的位移：}ˆ{}{]][][[tt t t T P U L D L ∆θ∆θ++= （5－36） （7） 计算在t t ∆+时刻的加速度、速度、位移：将t t U ∆+θ代入（5-28）解出tt U ∆+θ ，再代入（5-23）式，并令t ∆=τ，得到： }{}{}){}({}{654tt t t t t t U a U a U U a U ++-=∆+∆+θ （5－37） 将（5-23）代入（5-24）、（5-25）式中，令t ∆=τ，得到：}){}({}{}{7t t t t t t U U a U U ++=∆+∆+ （5－38） }){2}({}{}{}{8tt t t t t t U U a U t U U +++=++∆∆∆ （5－39）【Newmark 方法】Newmark 方法也可以认为是线性加速度方法的推广。