DSE 金牌数学专题系列 经典专题系列第 4讲矩形、菱形、正方形一、 导入老先生与服务生老先生常到一家商店买报纸，那里的服务生总是一脸傲慢无礼的样子，就连基本的礼貌都没有。

做事追求效率固然重要，可是缺乏礼貌一定会流失客人，没有了客人服务速度再快，又有什么用？ 朋友对老先生说，为何不到其他地方去买？ 老先生笑着回答：“为了与他赌气，我必须多绕一圈，浪费时间，徒增麻烦，再说礼貌不好是他的问题，为什么我要因为他而改变自己的心情?”大道理：不要因为别人的不好而影响了自己做事情时候的心情，也不要因外界的不如人意而影响了一生的幸福快乐。

想想美好的一面，心情也会是很快乐的。

二、 知识点回顾矩形、菱形、正方形1.性质：（1）矩形：①矩形的四个角都是直角．②矩形的对角线相等．③矩形具有平行四边形的所有性质．（2）菱形：①菱形的四条边都相等．②菱形的对角线互相垂直，并且每条对角线平分一组对角．③具有平行四边形所有性质．（3）正方形：①正方形的四个角都是直角，四条边都相等．②正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角．2．判定：（1）矩形：①有一个角是直角的平行四边形是矩形．②对角线相等的平行四边形是矩形．③有三个角是直角的四边形是矩形．（2）菱形：①对角线互相垂直的平行四边形是菱形．②一组邻边相等的平行四边形是菱形．③四条边都相等的四边形是菱形．（3）正方形：①有一个角是直角的菱形是正方形．②有一组邻边相等的矩形是正方形．③对角线相等的菱形是正方形．④对角线互相垂直的矩形是正方形． 3.面积计算：（1）矩形：S=长×宽；（2）菱形：1212S l l =⋅（12l l 、是对角线） （3）正方形：S=边长2三、 专题讲解考点一、特殊平行四边形的性质【例１】如图,矩形ABCD 的对角线相交于点O ，OF ⊥BC ，CE ⊥BD ，OE ∶BE=1∶3，OF=4，求∠ADB的度数和BD 的长.解：由矩形的性质可知OD=OC.又由OE ∶BE=1∶3可知E 是OD 的中点.又因为CE ⊥OD ，根据三线合一可知OC=CD,即OC=CD=OD ，即△OCD 是等边三角形,故∠CDB=60°. 所以∠ADB=30°.又由矩形是轴对称图形得CD=2OF=8, 即BD=2OD=2CD=16.把一张长方形的纸片按如图所示的方式折叠,EM 、FM 为折痕,折叠后的C 点落在B′M 或B′M 的延长线上,那么∠EMF 的度数是( )A.85°B.90°C.95°D.100° 解析：∠EMF=∠EMB′+∠FMB′=21∠BMC′+21∠CMC′=21×180°=90°答案:B 考点二、会用“阶梯型”思路判定特殊平行四边形【例 ２】如图,在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，∠BAC=60°，DE 垂直平分BC ，垂足为D ，交AB 于点E.又点F 在DE 的延长线上，且AF=CE.求证：四边形ACEF 是菱形. 答案:证明：∵∠ACB=90°，DE 是BC 的中垂线， ∴E 为AB 边的中点. ∴CE=AE=BE. ∵∠BAC=60°， ∴△ACE 为正三角形.在△AEF 中，∠AEF=∠DEB=∠BAC=60°，而AF=CE ， 又CE=AE, ∴AE=AF.∴△AEF 也为正三角形. ∴∠CAE=∠AEF=60°. ∴AC EF.∴四边形ACEF为平行四边形.又CE=AC，∴平行四边形ACEF为菱形.如图，在Y ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，AG∥DB交CB的延长线于G．（1）求证：△ADE≌△CBF；（2）若四边形BEDF是菱形，则四边形AGBD是什么特殊四边形？并证明你的结论．【解析】（1）∵四边形ABCD是平行四边形∴∠1=∠C，AD=CB，AB=CD．∵点E、F分别是AB、CD的中点，∴AE=12AB，CF=12CD．∴AE=CF．∴△ADE≌△CBF．（2）当四边形BEDF是菱形时，四边形AGBD是矩形．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC．∵AG∥BD，∴四边形AGBD是平行四边形．∵四边形BEDF是菱形，∴DE=BE．∵AE=BE，∴AE=BE=DE．∴∠1=∠2，∠3=∠4．∵∠1+∠2+∠3+∠4=180°，∴2∠2+2∠3=180°．∴∠2+∠3=90°．即∠ADB=90°，∴四边形AGBD是矩形．考点三、作辅助线构造特殊平行四边【例3】如图E是矩形ABCD的边AD上一点，BE=ED，P是对角线BD上任意一点，PF⊥BE,PG⊥AD,垂足分别为F,G.求证：PF+PG=AB如图，点M是矩形ABCD的边AD中点，点P是BC边上一动点，PE⊥MC，PF⊥BM，垂足分别为E、F，（1）当四边形PEMF为矩形时，矩形ABCD的长与宽应满足什么条件？（2）在（1）中，当点P运动到什么位置时，四边形PEMF变为正方形？为什么？考点四、会解决与特殊平行四边形有关的动手操作问题【例4】如图,在一张长12 cm 、宽5 cm 的矩形纸片内，要折出一个菱形.李颖同学按照取两组对边中点的方法折出菱形EFGH （见方案一），张丰同学按照沿矩形的对角线AC 折出∠CAE=∠DAC ，∠ACF=∠ACB 的方法得到菱形AECF （见方案二），请你通过计算，比较李颖同学和张丰同学的折法中，哪种菱形面积较大？解：（方案一）S 菱形=S 矩形-4S △AEH =12×5-4×21×6×25=30（cm 2）. （方案二）设BE=x ，则CE=12-x, ∴AE=22225x AB BE +=+.因为四边形AECF 是菱形，则AE 2=CE 2, ∴25+x 2=(12-x)2. ∴x=24119. ∴S 菱形=S 矩形-2S △ABE =12×5-2×21×5×24119≈35.21(cm 2). 经比较可知，(方案二)张丰同学所折的菱形面积较大.如图，在矩形纸片ABCD 中，3BC=6，沿EF 折叠后，点C 落在AB 边上的点P处，点D 落在点Q 处，AD 与PQ 相交于点H ，∠BPE=30°．（1）求BE、QF的长．（2）求四边形PEFH的面积．【分析】折叠型试题是近年中考试题的热点，要想解好此类题，考生必须有想像力，抓住折叠的角与边不发生变化，必要时需要考生剪一个四边形实际折叠一下帮助理（1）BE=2，QF=1 （2）73四、巩固练习：（1）填空题1．如图1，在菱形ABCD中，已知AB=10，AC=16，那么菱形ABCD的面积为________．2．（黄冈市）如图2,将边长为8cm的正方形ABCD的四边沿直线L向右滚动（不滑动），当正方形滚动两周时，正方形的顶点A所经过的路线的长是________cm．(1) (2) (3)3．用两个全等的直角三角形拼下列图形：①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形；⑤等腰三角形；⑥等边三角形；一定可以拼成的是________（只填序号）．4．如图3，点E、F是菱形ABCD的边BC、CD上的点，请你添加一个条件（•不得另外添加辅助线和字母），使AE=AF，你添加的条件是________．(5) (6) (7) (8)（2）填空题6．（广安市）正方形具有而菱形不一定具有的性质是（）A．对角线相等B．对角线互相垂直平分 C．对角线平分一组对角D．四条边相等7．如图5，在菱形ABCD中，E、F分别是AB，AC的中点，如果EF=2，那么菱形ABCD•的周长是（）A．4 B．8 C．12 D．168．（江阴市）已知如图6，则不含阴影部分的矩形的个数是（）A．15 B．24 C．25 D．169．（潍坊市）如图7，边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转30•°到正方形AB′C′D′，图中阴影部分的面积为（）A．12B．33C．1-33D．1-3410．（淄博市）将一矩形纸片按如图8方式折叠，BC、BD为折痕，折叠后A•′B与E′B在同一条直线上，则∠CBD的度数（）A．大于90° B．等于90° C．小于90° D．不能确定（3）解答题12．（泉州市）如图，在矩形ABCD中，E、F分别是BC、AD上的点，且BE=DF．求证：△ABE≌△CDF．13．（沪州市）如图，在矩形ABCD中，点E是BC上一点，AE=AD，DF⊥AE，垂足为F．线段DF与图中哪一条线段相等？先将你的猜想出的结论填写在下面的横线上，然后再加以证明．即DF=________．（写出一线段即可）14．已知：如图，平行四边形ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC•分别相交于E、F，求证：四边形AFCE是菱形．五、拓展训练15．（河南省）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=2，BC=3．D是BC边上一点，•直线DE⊥BC于D，交AB于E，CF∥AB交直线DF于F．设CD=x．（1）当x取何值时，四边形EACF是菱形？请说明理由；（2）当x取何值时，四边形EACD的面积等于2？考点精练1．96 2．16π2π 3．①②⑤4．∠BAE=∠DAF（答案不唯一）5．B（4，0），（32），C（4，3），433334-+）6．A 7．D 8．C 9．C 10．B12．根据SAS 证△ABE ≌△CDF 13．DF=DC ．证略14．证△AOE ≌△COF ．•即得AE //FC ．四边形AFCE 是平行四边形． 又AC ⊥EF ，∴四边形AFCE 是菱形 15．解：•（•1）•∵∠ACB=90°，∴AC ⊥BC ．又∵DE ⊥BC ，∴EF ∥AC ．又∵AE ∥CF ，∴四边形EACF•是平行四边形． 当CF=AC 时，四边形ACFE 是菱形．此时，CF=AC=2，BD=3-x ，tan ∠B=23，ED=BD ·tan ∠B=23（3-x ）， ∴DF=EF-ED=2-23（3-x ）=23x ． 在Rt △CDF 中，CD 2+DF 2=CF 2，∴x 2+（23x ）2=22，∴x=±61313（•负值不合题意，舍去），即当x=61313时，四边形ACFE 是菱形（2）由已知得，四边形EACD 是直角梯形，S 梯形EACD =12×（4-23x ）·x=-13x 2+2x ． 依题意，得-13x 2+2x=2，整理得，x 2-6x+6=0．解之，得x 1=3-3，x 2=3+3． ∵x=3+3>BC=3， ∴x=3+3舍去，∴当x=3-3时，梯形EACD 的面积等于2．六、反思总结当堂过手训练 （快练5分钟，稳准建奇功）1、如图,工人师傅砌门时,常用木条EF 固定矩形门框ABCD,使其不变形,这种做法的根据是( )A.两点之间线段最短B.矩形的对称性C.矩形的四个角都是直角D.三角形的稳定性 解析：因钉上EF 后,构成△CEF,根据三角形的稳定性使其不变形.答案:D1图EODC BA（1题图） （2题图） （ 3题图）2、 如图，已知矩形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，AE ⊥BD ，垂足为E ，∠DAE ∶∠BAE ＝3∶1，∠EAC= °分析：本题充分利用矩形对角线把矩形分成四个等腰三角形的基本图形进行求解。