矩形、菱形、正方形【教学内容】矩形【课时安排】2课时【第一课时】【教学目标】1．掌握矩形的概念和性质，理解矩形与平行四边形的区别与联系。
2．会运用矩形的概念和性质来解决有关问题。
【教学重难点】1．掌握矩形的概念和性质，理解矩形与平行四边形的区别与联系。
2．会运用矩形的概念和性质来解决有关问题。
【教学过程】（一）情境导入1．展示生活中一些平行四边形的实际应用图片（推拉门、活动衣架、篱笆、井架等），想一想：这里面应用了平行四边形的什么性质？2．思考：拿一个活动的平行四边形教学准备，轻轻拉动一个点，不管怎么拉，它还是一个平行四边形吗？为什么？（动画演示拉动过程如图）3．再次演示平行四边形的移动过程，当移动到一个角是直角时停止，让学生观察这是什么图形（小学学过的长方形），引出本课题及矩形定义。
矩形是我们最常见的图形之一，例如书桌面、教科书的封面等都是矩形。
有一个角是直角的平行四边形是矩形。
矩形是平行四边形，但平行四边形不一定是矩形，矩形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有性质。
（二）合作探究探究点一：矩形的性质性质1：矩形的四个角都是直角。
例1：如图，矩形ABCD中，点E在BC上，且AE平分∠BAC。
若BE＝4，AC＝15，则△AEC的面积为（）A．15B．30C．45D．60解析：如图，过E作EF⊥AC，垂足为F。
∵AE平分∠BAC，EF⊥AC，BE⊥AB，∴EF＝BE＝4∴S△AEC＝AC·EF＝×15×4＝30故选B。
方法总结：矩形的四个角都是直角，常作为证明或求值的隐含条件。
性质2：矩形的对角线相等。
例2：如图所示，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOD＝60°，AD＝2，则AC 的长是（）A．2B．4C．2 3D．4 3解析：根据矩形的对角线互相平分且相等可得OC＝OD＝OA＝AC，由∠AOD＝60°得△AOD为等边三角形，即可求出AC的长。
故选B。
方法总结：矩形的两条对角线互相平分且相等，即对角线把矩形分成四个等腰三角形，当两条对角线的夹角为60°或120°时，图中有等边三角形，可以利用等边三角形的性质解题。
推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
例3：如图，已知BD，CE是△ABC不同边上的高，点G，F分别是BC，DE的中点，试说明GF⊥DE。
解析：本题的已知条件中已经有直角三角形，有斜边上的中点，由此可联想到应用“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”这一定理。
解：连接EG、DG∵BD，CE是△ABC的高∴∠BDC＝∠BEC＝90°∵点G是BC的中点∴EG＝BC，DG＝BC∴EG＝DG又∵点F是DE的中点∴GF⊥DE方法总结：在直角三角形中，遇到斜边中点常作斜边中线，进而可将问题转化为等腰三角形的问题，然后利用等腰三角形“三线合一”的性质解题。
探究点二：矩形的性质的运用。
类型一：利用矩形的性质求有关线段的长度。
例4：如图，已知矩形ABCD中，E是AD上的一点，F是AB上的一点，EF⊥EC，且EF＝EC，DE＝4cm，矩形ABCD的周长为32cm，求AE的长。
解析：先判定△AEF≌△DCE，得CD＝AE，再根据矩形的周长为32cm列方程求出AE 的长。
解：∵四边形ABCD是矩形∴∠A＝∠D＝90°∴∠CED＋∠ECD＝90°又∵EF⊥EC∴∠AEF＋∠CED＝90°∴∠AEF＝∠ECD而EF＝EC∴△AEF≌△DCE∴AE＝CD设AE＝cm∴CD＝cm，AD＝(＋4)cm则有2(＋4＋)＝32，解得＝6即AE的长为6cm方法总结：矩形的各角为直角，常作为全等的一个条件用来证三角形全等，可借助直角的条件解决直角三角形中的问题。
类型二：利用矩形的性质求有关角度的大小。
例5：如图，在矩形ABCD中，AE⊥BD于E，∠DAE∶∠BAE＝3∶1，求∠BAE和∠EAO的度数。
解析：由∠BAE与∠DAE之和为90°及这两个角之比可求得这两个角的度数，从而得∠ABO的度数，再根据矩形的性质易得∠EAO的度数。
解：∵四边形ABCD是矩形∴∠DAB＝90°AO＝AC，BO＝BD，AC＝BD∴∠BAE＋∠DAE＝90°，AO＝BO又∵∠DAE：∠BAE＝3：1∴∠BAE＝22.5°，∠DAE＝67.5°∵AE⊥BD∴∠ABE＝90°－∠BAE＝90°－22.5°＝67.5°∴∠OAB＝∠ABE＝67.5°∴∠EAO＝67.5°－22.5°＝45°类型三：利用矩形的性质求图形的面积。
例6：如图所示，EF过矩形ABCD对角线的交点O，且分别交AB，CD于E、F，那么阴影部分的面积是矩形ABCD面积的（）A．15B．14C．13D．310解析：由四边形ABCD为矩形，易证得△BEO≌△DFO，则阴影部分的面积等于△AOB的面积，而△AOB的面积为矩形ABCD面积的14，故阴影部分的面积为矩形面积的14。
故选B。
方法总结：求阴影部分的面积时，当阴影部分不规则或比较分散时，通常运用割补法将阴影部分转化为较规则的图形，再求其面积。
类型四：矩形中的折叠问题。
例7：如图，将矩形ABCD沿着直线BD折叠，使点C落在C′处，BC′交AD于点E，AD ＝8，AB＝4，求△BED的面积。
解析：这是一道折叠问题，折后的图形与原图形全等，从而得△BCD≌△BC′D，则易得BE＝DE。
在Rt△ABE中，利用勾股定理列方程求出BE的长，即可求得△BED的面积。
解：∵四边形ABCD是矩形∴AD BC，∠A＝90°∴∠2＝∠3又由折叠知△BC′D≌△BCD∴∠1＝∠2∴∠1＝∠3∴BE＝DE设BE＝DE＝，则AE＝8－∵在Rt△ABE中，AB2＋AE2＝BE2∴42＋(8－)2＝2，解得＝5即DE＝5∴S△BED＝DE·AB＝×5×4＝10方法总结：矩形的折叠问题是常见的问题，本题的易错点是对△BED是等腰三角形认识不足，解题的关键是对折叠后的几何形状要有一个正确的分析。
【第二课时】【教学目标】1．理解并掌握矩形的判定方法。
2．能熟练掌握矩形的判定及性质的综合应用。
【教学重难点】1．理解并掌握矩形的判定方法。
2．能熟练掌握矩形的判定及性质的综合应用。
【教学过程】（一）情境导入小明想要做一个矩形相框送给妈妈做生日礼物，于是找来两根长度相等的短木条和两根长度相等的长木条制作，你有什么办法可以检测他做的是矩形相框？看看谁的方法可行！（二）合作探究探究点一：矩形的判定定理1：对角线相等的平行四边形是矩形。
例1：如图所示，外面的四边形ABCD是矩形，对角线AC，BD相交于点O，里面的四边形MPNQ的四个顶点都在矩形ABCD的对角线上，且AM＝BP＝CN＝DQ。
求证：四边形MPNQ是矩形。
解析：要证明四边形MPNQ是矩形，应先证明它是平行四边形，由已知可再证明其对角线相等。
证明：∵四边形ABCD是矩形∴OA＝OB＝OC＝OD∵AM＝BP＝CN＝DQ∴OM＝OP＝ON＝OQ∴四边形MPNQ是平行四边形又∵OM＋ON＝OQ＋OP∴MN＝PQ∴平行四边形MPNQ是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）方法总结：在判断四边形的形状时，若已知条件中有对角线，可首先考虑能否用对角线的条件证明矩形。
定理2：三个角是直角的四边形是矩形。
例2：如图，GE HF，直线AB与GE交于点A，与HF交于点B，AC，BC，BD，AD 分别是∠EAB、∠FBA、∠ABH、∠GAB的平分线。
求证：四边形ADBC是矩形。
解析：利用已知条件，证明四边形ADBC有三个角是直角。
证明：∵GE HF∴∠GAB＋∠ABH＝180°∵AD，BD分别是∠GAB，∠ABH的平分线∴∠1＝∠GAB，∠4＝∠ABH∴∠1＋∠4＝(∠GAB＋∠ABH)＝×180°＝90°∴∠ADB＝180°－(∠1＋∠4)＝90°同理可得∠ACB＝90°又∵∠ABH＋∠FBA＝180°，∠4＝∠ABH，∠2＝∠FBA∴∠2＋∠4＝(∠ABH＋∠FBA)＝×180°＝90°，即∠DBC＝90°∴四边形ADBC是矩形。
方法总结：矩形的判定方法和矩形的性质是相辅相成的，注意它们的区别和联系，此判定方法只要说明一个四边形有三个角是直角，则这个四边形就是矩形。
探究点二：矩形的性质和判定的综合运用。
例4：如图，O是矩形ABCD的对角线的交点，E、F、G、H分别是OA、OB、OC、OD 上的点，且AE＝BF＝CG＝DH。
（1）求证：四边形EFGH是矩形；（2）若E、F、G、H分别是OA、OB、OC、OD的中点，且DG⊥AC，OF＝2cm，求矩形ABCD的面积。
解析：（1）证明四边形EFGH对角线相等且互相平分；（2）根据题设求出矩形的边长CD和BC，然后根据矩形面积公式求得。
（1）证明：∵四边形ABCD是矩形∴OA＝OB＝OC＝OD∵AE＝BF＝CG＝DH∴AO－AE＝OB－BF＝CO－CG＝DO－DH，即OE＝OF＝OG＝OH∴四边形EFGH是矩形（2）解：∵G是OC的中点∴GO＝GC∵DG⊥AC∴∠DGO＝∠DGC＝90°又∵DG＝DG∴△DGC≌△DGO∴CD＝OD∵F是BO中点，OF＝2cm∴BO＝4cm∵四边形ABCD是矩形∴DO＝BO＝4cm∴DC＝4cm，DB＝8cm∴CB＝＝cm∴S矩形ABCD＝4×43＝163(cm2)方法总结：首先要判定四边形是平行四边形，然后证明对角线相等。