A⌒D＝B⌒D，A⌒C＝B⌒C
倍 命题（3）：平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且
速 平分弦所对的另一条弧
课 时 学
已知：CD是直径，AB是弦，并且A⌒D＝B⌒D （A⌒C＝B⌒C）求证：CD平分AB，A⌒C＝B⌒C
练
⌒⌒
（AD＝BD）CD ⊥AB
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7
推论（1）
（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦， 并且平分弦所对的两条弧
倍 速
（垂直平分弦的直径平分弦所对的弦）
课 时
A⌒M－C⌒M＝B⌒M－D⌒M
学 练
∴A⌒C＝B⌒D
2020年10月2日
15
推论（1）
（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦， 并且平分弦所对的两条弧
（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所 对的两条弧
（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分 弦，并且平分弦所对的另一条弧
2020年10月2日
6
命题（1）：平分弦（不是直径）的直径垂 直于弦，并且平分弦所对的两条弧
.C O
已知：CD是直径，AB是弦，并且CD平分AB
求证：CD⊥AB，A⌒D＝B⌒D，A⌒C＝B⌒C
A
E B
命题（2）：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所D对
的两条弧
已知：AB是弦，CD平分AB，
CD ⊥AB，求证：CD是直径，
圆是轴对称图形，经过圆 心的每一条直线都是它们
.
学
的对称轴
练
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2
看一看
C
.O
A E
倍
B
速
D
课
时
学 练
AE≠BE
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C
.O
A
E
B
D
AE＝BE
3
动动脑筋
已知：在⊙O中，CD是直径， AABE是＝弦BE，，CA⌒DC⊥＝AB⌒BC，，垂A⌒足D＝为B⌒ED。。求证：
证明：连结OA、OB，则OA＝OB。 A
27.1圆的认识
圆的对称性
倍 速 课 时 学 练
复习提问：
1、什么是轴对称图形？我们在前面学过哪些轴 对称图形？ 如果一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能 够互相重合，那么这个图形叫轴对称图形。如线段、 角、等腰三角形、矩形、菱形、等腰梯形、正方形
2、我们所学的圆是不是
倍
轴对称图形呢？
速 课 时
倍 速
推论（2）
课
时
圆的两条平行弦所夹的弧相等
学
练
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16
M
A
E
B
C
D
A
.
O
O.
E AC
DB
.O
小结:
N
倍
解决有关弦的问题，经常是过圆心作
速 课
弦的垂线，或作垂直于弦的直径，连结半
时
径等辅助线，为应用垂径定理创造条件。
学
练
2020年10月2日
17
演讲完毕，谢谢观看！
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C
.O
E
B
D
叠 合 法
4
垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦，并 且平分弦所对的两条弧。
题设
结论
｝ ｛ 倍 （1）过圆心
速
（直径）
（3）平分弦 （4）平分弦所对的优弧
课
时 （2）垂直于弦
学
（5）平分弦所对的劣弧
练
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5
讨论 （1）过圆心 （2）垂直于弦 （3）平分弦 （4）平 分弦所对优弧 （5）平分弦所对的劣弧
（3） （1）
（2） （2）
（4） （3）
（5）
（1） （4） （1） （5） （4）
（3） （2） （5）
（1） （5）
（3） （4） （2）
（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且
平分弦所对的两条弧
倍
速 （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对
课 时
的两条弧
学 练
（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦， 并且平分弦所对的另一条弧
平分弦所对的优弧 （5）平分弦所对的劣弧
倍
速 上述五个条件中的任何两个条件都
课 时
可以推出其他三个结论
学
练
2020年10月2日
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例2：平分弧AB
• 画法：连结AB；画AB的中垂线，交弧AB 于点E。 点E就是所求的分点。
倍 速 课 时 学 练
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13
讲解
例3 已知：如图，在以
O为圆心的两个同心圆中，
速 课
的两条弧
时 学
（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并
练
且平分弦所对的另一条弧
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9
判断
（1）垂直于弦的直线平分弦，并且平分弦所对的 弧…………………………………………..( × )
（2）弦所对的两弧中点的连线，垂直于弦，并且 经过圆心……………………………………..(√ )
（3）圆的不与直径垂直的弦必不被这条直径平
倍 分…………………………………………...( × )
速 课
（4）平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的
时 两条弧………………………………………( × )
学
练 （5）圆内两条非直径的弦不能互相平分（ √ ）
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讲解
A 例1 如图，已知在⊙O中， 弦AB的长为8厘米，圆心O到 AB的距离为3厘米，求⊙O的 半径。
大圆的弦AB交小圆于C，
D两点。
A
O.
E
C
D
B
求证：AC＝BD。
证明：过O作OE⊥AB，垂足为E，
倍 则AE＝BE，CE＝DE。
速
课 时
AE－CE＝BE－DE。
学 练
所以，AC＝BD
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讲解
C
A
例4 已知：⊙O中弦 AB∥CD。
求证：A⌒C＝B⌒D
M D B
.O
N
证 ∴明 MN：⊥作C直D径。M则NA⊥⌒MA＝BB。⌒M∵，ACB⌒M∥＝CDD⌒M，
（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所 对的两条弧
（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分
倍 速
弦，并且平分弦所对和的另一条弧
课
时
学
练
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记忆
垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦， 并且平分弦所对的两条弧。
（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平 分弦所对的两条弧
倍
（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对
因为垂直于弦AB的直径CD所在的
直线既是等腰三角形OAB的对称轴
又是⊙ O的对称轴。所以，当把圆
沿着直径CD折叠时，CD两侧的两
倍 速 课 时 学 练
个和B⌒D半B重E圆重合重合。合，因，A此⌒AC点、和A⌒DB分点别重和合B，⌒CA、E AE＝BE，A⌒C＝B⌒C，A⌒D＝B⌒D
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
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E
B
.
O
解：连结OA。过O作OE⊥AB，垂足为E，
则OE＝3厘米，AE＝BE。∵AB＝8厘米
倍 速
∴AE＝4厘米
课 时
在RtAOE中，根据勾股定理有OA＝5厘米
学 ∴⊙O的半径为5厘米。
练
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注意
根据垂径定理与推论可知对于一个 圆和一条直线来说。如果具备
（1）过圆心 （2）垂直于弦 （3）平分弦（4）