椭圆、双曲线的离心率取值范围求解方法一、利用三角形三边的关系建立不等关系（但要注意可以取到等号成立）例1：双曲线()2222y x 1a 0,b 0a b-=>>的两个焦点为12F ,F ，若P 为其上一点，且12PF 2PF =，则双曲线离心率的取值范围为（ ）A.(1,3)B.(]1,3C.(3,+∞)D.[)3,+∞【解析】12PF 2PF =，12PF PF 2a -=，1212PF PF FF +≥（当且仅当12P F F ，，三点共线等号成立）c6a 2c e 3,e 1a∴≥⇒=≤>又(]e 1,3∴∈,选B 例2、如果椭圆()2222y x 1a b 0a b+=>>上存在一点P ，使得点P 到左准线的距离与它到右焦点的距离相等，那么椭圆的离心率的取值范围为 （ ）A ．(0,21]- B ．[21,1)-C ．(0,31]-D ．[31,1)-[解析]设2PF m =，由题意及椭圆第二定义可知1PF me =122aPF PF m(e 1)2a m e 1∴+=+=⇒=+ 2112PF PF F F -≤（当且仅当12P F F ，，三点共线等号成立）m me 2c ∴-≤，把2am e 1=+代入化简可得()2a1e 2c e 1-≤+2e 2e 10e 21⇒+-≥⇒≥-又e 1<)e 21,1⎡∴∈-⎣,选B 二、利用三角函数有界性结合余弦定理建立不等关系例1：双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两个焦点为12,F F ，若P 为其上一点，且122PF PF =，则双曲线离心率的取值范围是（ ）Ａ．(1,3) Ｂ．(1,3] Ｃ．(3,)+∞ Ｄ．[3,)+∞ 【解析】设2PF m =，12(0)F PF θθπ∠=<≤，当P 点在右顶点处θπ=，222(2)4cos 254cos 2m m m ce a mθθ+-===-．11,(1,3]e θ-≤<∴∈．三、利用曲线的几何性质数形结合建立不等关系例1：双曲线()2222y x 1a 0,b 0a b-=>>的两个焦点为12F ,F ，若P 为其上一点，且12PF 2PF =，则双曲线离心率的取值范围为（ ）A.(1,3) B.(]1,3 C.(3,+∞) D.[)3,+∞解：12PF PF 2a -=,2PF 2a ∴=,即在双曲线右支上恒存在点P 使得2PF 2a =可知222AF PF ,OF OA c a 2a ≤∴-=-≤，cc 3a e 3a∴≤⇒=≤又e 1>(]e 1,3∴∈,选B 例2．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别是F 1、F 2，P 是双曲线右支上一点，P 到右准线的距离为d ，若d 、|PF 2|、|PF 1|依次成等比数列，求双曲线的离心率的取值范围。
解：由题意得因为，所以，从而 ，。
又因为P 在右支上，所以。
。
例3．椭圆22221()x y a b a b+=>>0的右焦点F ，其右准线与x 轴的交点为A ，在椭圆上存在点P 满足线段AP 的垂直平分线过点F ，则椭圆离心率的取值范围是（ ）（A ）20,2⎛⎤⎥ ⎝⎦（B ）10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦ （C ） )21,1⎡-⎣ （D ）1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭解析：由题意，椭圆上存在点P ，使得线段AP 的垂直平分线过点F ，即F 点到P 点与A 点的距离相等而|FA |＝22a b c c c -= |PF |∈[a －c ,a ＋c ] 于是2b c∈[a －c ,a ＋c ]即ac －c 2≤b 2≤ac ＋c 2∴222222ac c a c a c ac c⎧-≤-⎪⎨-≤+⎪⎩⇒1112ca c c aa ⎧≤⎪⎪⎨⎪≤-≥⎪⎩或又e ∈(0,1)故e ∈1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭答案：D例4、已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为12(,0),(,0)F c F c -．若双曲线上存在点P 使1221sin sin PF F aPF F c∠=∠，则该双曲线的离心率的取值范围是 ． 【解析】212211sin sin PF PF F PF F PF ∠=∠（由正弦定理得），211PF a PF c e ∴==，21e PF PF ∴=． 又122(1)PF PF a e -=>，2(1)2e PF a ∴-=，221aPF e ∴=-，由双曲线性质知2PF c a >-，21a c a e ∴>--，即211e e >--，得2210e e --<，又1e >，得(1,21)e ∴∈+． 例5、设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左右焦点分别为12F F 、，如果椭圆上存在点P ，使∠12F PF =900，求离心率e 的取值范围。
解析：∵P 点满足∠F 1PF 2=90°，∴点P 在以F 1F 2为直径的圆上又∵P 是椭圆上一点，∴以F 1F 2为直径的圆与椭圆有公共点，∵F 1、F 2是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的焦点∴以F 1F 2为直径的圆的半径r 满足：r=c≥b ，两边平方，得c 2≥b 2 即c 2≥a 2-c 2由此可得，）e ∈[221四、利用圆锥曲线中、x y 的范围建立不等关系例1、双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右支上存在一点，它到右焦点及左准线的距离相等，则双曲线离心率的取值范围是（ ）Ａ． Ｂ．)+∞ Ｃ．1]Ｄ．1,)+∞【解析】22000(1)a a ex a x e x a c c -=+∴-=+ 0,x a ≥∴2(1),a a e a c+≥-2111121011a e e e e c e∴-≤+=+⇒--≤⇒≤≤+而双曲线的离心率1e >，1],e ∴∈例2、设点P 在双曲线)0b ,0a (1by a x 2222>>=-的左支上，双曲线两焦点为21F F 、，已知|PF |1是点P 到左准线l 的距离d 和|PF |2的比例中项，求双曲线离心率的取值范围。
解析：由题设|PF |d |PF |221=得：|PF ||PF |d |PF |121=。
由双曲线第二定义e d|PF |1=得：e |PF ||PF |12=，由焦半径公式得：e ex a ex a =+--，则a ee a)e 1(x 2-≤-+-=，即01e 2e 2≥--，解得21e 1+≤<。
归纳：求双曲线离心率取值范围时可先求出双曲线上一点的坐标，再利用性质：若点P 在双曲线1b y a x 2222=-的左支上则a x -≤；若点p 在双曲线1by a x 2222=-的右支上则a x ≥。
例2． 设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左右焦点分别为12F F 、，如果椭圆上存在点P ，使∠12F PF =900，求离心率e 的取值范围。
解析1：设P （x ，y ），又知，则将这个方程与椭圆方程联立，消去y ，可解得解析2：由焦半径公式得例3已知椭圆2222x y a b+=1（a ＞b ＞0）的左、右顶点分别为A 、B ，如果椭圆上存在点P ，使得∠APB =1200，求椭圆的离心率e 的取值范围．解：设P （x 0，y 0），由椭圆的对称性，不妨令0≤x 0＜a , 0＜y 0≤b ．∵A （-a ，0），B （a ，0），∴PA k =a x y +00，PB k =ax y-00． ∵∠APB =1200，∴tan ∠APB =-3，又tan ∠APB =1PB PAPB PA k k k k -+=2202002ay x ay -+，∴2202002a y x ay -+=-3，……① 而点P 在椭圆上，∴b 2x 02+a 2y 02=a 2b 2……②由①、②得y 0=)(32222b a ab -．∵0＜y 0≤b ，∴0＜)(32222b a ab -≤b ．∵a ＞b ＞0，∴2ab ≤3（a 2-b 2），即4 a 2b 2≤3 c 4，整理得，3e 4+4e 2-4≥0．考虑0＜e ＜1，可解得36≤e ＜1． 四、利用判别式建立不等关系例1、设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左右焦点分别为12F F 、，如果椭圆上存在点P ，使∠12F PF =900，求离心率e 的取值范围。
解：由椭圆定义知例2、已知双曲线)0a (1y ax 222>=-与直线l ：1y x =+交于P 、Q 两个不同的点，求双曲线离心率的取值范围。
解析：把双曲线方程和直线方程联立消去x 得：0a 1,0a 1y 2y )a 1(2222≠-=-+--时，直线与双曲线有两个不同的交点则0>∆，0)a 2(a 4)a 1(442222>-=--=∆，即2a 2<且1a ≠，所以23a11a c e 2222>+==，即26e >且2e ≠。
五、利用均值不等式建立不等关系∴由余弦定理，得m 2+n 2-mn=4c 2．② ①②联解，得mn ＝224()3a c -又∵mn ≤2()2m n +＝a 2， ∴224()3a c -≤a 2，化简整理，得a 2＜4c 2，解之得12≤e ＜1 例2、已知点P 在双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右支上，双曲线两焦点为21F F 、，|PF ||PF |221最小值是a 8，则双曲线离心率的取值范围 。
解析：a 8a 4|PF |a 4|PF ||PF |)a 2|PF (||PF ||PF |222222221≥++=+=，由均值定理知：当且仅当a 2|PF |2=时取得最小值a 8，又a c |PF |2-≥所以a c a 2-≥，则3e 1≤<。
例3、设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左右焦点分别为12F F 、，如果椭圆上存在点P ，使∠12F PF =900，则离心率e 的取值范围 。
解析：由椭圆定义，有 平方后得六、利用二次函数的性质建立不等关系 设1a >，则双曲线22221(1)x y a a -=+的离心率e 的取值范围是（ ） Ａ．(2,2) Ｂ．(2,5) Ｃ．(2,5) Ｄ．(2,5)【解析】222(1)11(1)1a e a a+=+=++．11,01a a>∴<<，根据二次函数值域可得25e <<．七、利用非负数性质例 已知过双曲线)0b ,0a (1by a x 2222>>=-左焦点1F 的直线l 交双曲线于P 、Q 两点，且OQ OP ⊥（O 为原点），则双曲线离心率的取值范围 。