所
有
，
未
§5.2
稳恒电场作用下晶体电子的运动 布洛赫振荡
经
许
可
，
不
得
图 5.1
晶体电子的能带、速度和有效质量
未
转
(5.23) (5.24) (5.25)
k = k0 +
eFt =
其中k0是t=0 时的初始波矢, e是电子电量． 波矢随时间线性变化，对应着电子速度随时间的变化．具体地对于一维单原子链，在 紧束缚近似下 s 态能带中 k 态电子的速度为
* 2
经
所
权
许
可
，
2 ∂2E * 2 ∂ E m = = / 2 ， m z = = / 2 ，运动方程（5.9）简化为 ∂k y ∂k z
未
有
不
* y
，
2
得
转
载
∂2E ， ∂k x2
所
，
经
未
，
所
权
可
许
，
m* yay = f y
得
转
m* xax = f x
版
载
(5.15a) (5.15b)
有
不
经
所
版
有
所
权
版
许
可
*
，
不
得
转
载
，
π
a
，
π
a
可
） ，有效质量为
(5.22)
载
许
可
，
不
得
转
载
经
未
，
有
所
权
版
许
可
，
不
得
转
载经Leabharlann 未，有所
权
版
许
可
，
不
得
转
载
经
未
，
有
所
权
版
许
可
，
不
得
转
载
经
未
，
有
所
权
版
许
可
，
不
得
转
载
经
，
有
所
权
版
d =k = eF dt
波矢随时间线性变化
版
权
以一维晶体为例．在稳恒电场 F 作用下（电场方向沿负 x 方向） ，准动量的运动方程为
版
可
K K K
，
5.1.2 在外力作用下状态的变化和准动量
有
不
得
转
其中 W 是能带宽度．
经
载
，
(5.4)
有
(5.5)
(5.6)
上式与牛顿定律有相似的形式， =k 具有动量的量纲、具有类似于动量的性质，但是， 由于一个状态的波矢 k 具有倒格矢 G h 的不确定性，故称 =k 为准动量． 5.1.3 晶体电子的有效质量
版
权
所
§5.3 导体、半导体和绝缘体的分类
有
，
未
经
了使布洛赫振荡能够得到实验验证，只有增大周期；随着科学技术的发展，特别是分子束外 延技术的成熟，L.Esaki 和 R.Tsu（朱兆祥）于 1969 年首先提出了超晶格的概念，即人工长 周期结构，1971 年卓以和（A.Y.Cho）首先用分子束外延方法成功生长出 GaAs/AlGaAs 的超 晶格； 超晶格的周期比天然晶体的周期长度大两个数量级， 布洛赫振荡在超晶格中成功地得 到了实验验证．
(5.7)
，
不
许
可
(5.8)
经
未
，
有
不
得
代入式（5.6） ，得到
转
1 aα = 2 =
所
，
载
权
版
许
可
(5.9)
经
未
得 ， 不
其中
转
K 1 1 ∂ 2 E (k ) ( * )αβ = 2 m = ∂kα ∂k β
有
，
载
所
权
版
许
可
(5.10)
经
，
有
所
权
经
未
所
权
经
若 k x 、 k y 、 k z 轴沿着张量的主轴方向，则张量的非对角元为零，倒有效质量张量是对角 化的
所
有
，
E s (k ) = E sat − J 0 − 2 J 1 cos ka
未
经
例题 5.1.2 在紧束缚近似下，计算一维单原子链 s 态电子的能带函数、能带电子的速度和 有效质量。 解：紧束缚近似下，一维单原子链 s 态电子的能带函数为
有
所
权
许
可
，
不
得
转
(5.23) (5.24) (5.25)
载
晶体电子在能带顶的有效质量小于零。由运动方程（5.15）可见，能带顶电子的加速度方向 与外加电场力方向相反。由牛顿运动方程（5.16）可知，电子的加速度方向总是与合外力方 向相同； 能带顶电子的加速度方向与外加电场力方向不同， 是晶体周期场力作用的又一明显 体现．
未
，
有
所
权
版
许
可
，
不
得
转
⎛1 0 0⎞ ⎟ =2 ⎜ =2 m = － ＝－ 0 1 0 ⎜ ⎟ 2 J 1a 2 ⎜ 2 J 1a 2 ⎟ 0 0 1 ⎝ ⎠
G
版
G
K
权
所
K d=k K K K ( − f ) ⋅ v (k ) = 0 dt
，
未
经
即
许
可
K K K K K dk ⋅ ∇ kK E ( k ) = f ⋅ v ( k )dt
，
有
不
得
转
外力 f 在 dt 时间内对晶体中 k 态电子作的功为 f ⋅ v (k )dt ，根据功能原理，有
经
载
K
许
K
版
许
可
TB = 1.38 × 10 −10 s，远远大于电子的平均自由时间τ，布洛赫振荡被破坏而不能实现．为
有
所
，
不
得
转
注 意 到 TB =
0 h 5 ， 如 果 a = 3 A ， 在 比 较 强 的 电 场 F = 10 V/m 作 用 下 ， eFa
版
许
可
，
电子速度随时间 t 的周期振荡, 对应着电子在空间的局域振荡． 晶体电子在稳恒电场 F 作用下的运动, 是在实空间局域的周期往复的振荡．这是布洛 赫在 1928 年理论分析得到的结果, 称为布洛赫振荡． 1．理想周期结构中的电子不导电 在电场作用下晶体电子的布洛赫振荡运动, 是不会产生电荷的宏观迁移的, 即不产生 电流． 即使是对于金属晶体, 在电场作用下也不会产生电流． 这是周期场对电子的奇妙作用． 2．晶体缺陷是产生电流的原因 我们普遍使用的铜、 铝、 铁等多种金属材料具有良好的导电性, 它们都是金属晶体, 需 要注意的是这些实际使用的金属晶体都不是理想的完整晶体, 有晶格振动和杂质等多种晶 体缺陷； 正是这些晶体缺陷, 才使金属材料可能具有良好的导电性； 没有缺陷的金属晶体却 没有导电能力． 3．布洛赫振荡的实验验证 -13 室温下实际晶体中电子运动的平均自由时间τ的典型值为 10 s. 当布洛赫振荡的振 荡周期TB<τ时, 表现出振荡；而当布洛赫振荡的振荡周期TB>τ时, 振荡被散射所破坏, 表 现出定向运动．
( m * ) −1
⎛ ∂2E ⎜ 2 ⎜ ∂k x ⎜ 1 = 2⎜ 0 = ⎜ ⎜ ⎜ 0 ⎜ ⎝
版
权
⎛ ∂2E ⎜ ⎜ ∂k x2 1 ⎜ ∂2E (m * ) −1 = 2 ⎜ = ⎜ ∂k y ∂k x ⎜ ∂2E ⎜ ⎜ ∂k ∂k ⎝ z x
未
所
∂2E ∂k x ∂k y ∂2E 2 ∂k y ∂2E ∂k z k y
∂2E ∂k x ∂k z ∂2E ∂k y ∂k z ∂2E ∂k z2
⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠
，
有
所
权
许
可
，
不
得
转
(5.12) (5.13)
版
有
0 ∂2E 2 ∂k y 0
这时，有效质量张量为
，
⎞ 0 ⎟ ⎟ ⎟ 0 ⎟ ⎟ ⎟ ∂2E ⎟ 2 ⎟ ∂k z ⎠
未
经
载
或写为
版
许
可
，
许
可
，
不
得
转
载
h eFa
(5.26)
经
未
，
有
所
权
版
许
可
，
不
得
转
载
经
未
，
有
所
权
版
许
可
，
不
得
转
载
经
未
，
有
不
得
转
载
经
载
经
未
，
有
所
权
许
可
，
不
得
转
载
满带中的电子波矢状态是正负对称分布的，状态 k 与 − k 具有相同的能量
K
K
得
且具有大小相等方向相反的速度
转
载
K K E (k ) = E (−k ) K K K K v ( k ) = −v ( − k )
得
转
⎛1 0 0⎞ ⎟ =2 ⎜ =2 m = ＝ 0 1 0 ⎜ ⎟ 2 J 1a 2 ⎜ 2 J 1a 2 ⎟ ⎝0 0 1⎠