基础巩固强化一、选择题1．椭圆2x 2＋3y 2＝12的两焦点之间的距离是( ) A ．210 B.10 C. 2 D ．2 2[答案] D[解析] 椭圆方程2x 2＋3y 2＝12可化为：x 26＋y 24＝1，a 2＝6，b 2＝4，c 2＝6－4＝2，∴2c ＝2 2.2．椭圆5x 2＋ky 2＝5的一个焦点是(0,2)，那么k 的值为( ) A ．－1 B ．1 C. 5 D ．－ 5[答案] B[解析] 椭圆方程5x 2＋ky 2＝5可化为：x 2＋y25k＝1，又∵焦点是(0,2)，∴a 2＝5k ，b 2＝1，c 2＝5k －1＝4，∴k ＝1.3．已知方程x 225－m ＋y 2m ＋9＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则m的取值范围是( )A ．－9<m <25B ．8<m <25C ．16<m <25D ．m >8[答案] B[解析] 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋9>025－m >0m ＋9>25－m，解得8<m <25.4．已知椭圆x 225＋y 216＝1上一点P 到其一个焦点的距离为3，则点P 到另一个焦点的距离为( )A ．2B ．3C ．5D ．7[答案] D[解析] 设椭圆的两个焦点分别为F 1、F 2，由椭圆定义知，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝10，点P 到另一个焦点的距离为7.5．平面上到两点A (－5,0)、B (5,0)距离之和为8的点的轨迹是( )A ．椭圆B ．圆C ．线段D ．轨迹不存在[答案] D[解析] 设平面上任一点为P ，则|P A |＋|PB |≥|AB |＝10，而8<10，∴轨迹不存在．6．已知椭圆过点P ⎝⎛⎭⎪⎫35，－4和点Q ⎝⎛⎭⎪⎫－45，3，则此椭圆的标准方程是( )A.y 225＋x 2＝1B.x 225＋y 2＝1或x 2＋y225＝1C.x 225＋y 2＝1 D ．以上都不对 [答案] A[解析] 设椭圆方程为：Ax 2＋By 2＝1(A >0，B >0)， 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧925A ＋16B ＝11625A ＋9B ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧A ＝1B ＝125.二、填空题7．已知椭圆中心在坐标原点，焦点在x 轴上，椭圆与x 轴的一个交点到两焦点的距离分别为3和1，则椭圆的标准方程为________．[答案] x 24＋y 23＝1 [解析]由题意可得⎩⎨⎧a ＋c ＝3a －c ＝1，∴⎩⎨⎧a ＝2c ＝1，故b 2＝a 2－c 2＝3，所以椭圆方程为x 24＋y 23＝1.8．过点(－3,2)且与x 29＋y 24＝1有相同焦点的椭圆方程是________． [答案] x 215＋y 210＝1[解析] 因为焦点坐标为(±5，0)，设方程为x 2a 2＋y 2a 2－5＝1，将(－3,2)代入方程可得9a 2＋4a 2－5＝1，解得a 2＝15，故方程为x 215＋y 210＝1.9．动点P 到两定点A (－3,0)，B (3,0)距离之和为10，则点P 的轨迹方程为________．[答案] x 225＋y 216＝1[解析] ∵|AB |＝6<10，∴所求轨迹为以A 、B 为焦点的椭圆，由定义知a ＝5，c ＝3，∴b ＝4，∴方程为x 225＋y 216＝1. 三、解答题10．已知椭圆的中心在原点，且经过点P (3,0)，a ＝3b ，求椭圆的标准方程．[解析] 当焦点在x 轴上时，设其方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)．由椭圆过点P (3,0)，知9a 2＋0b 2＝1，又a ＝3b ，解得b 2＝1，a 2＝9，故椭圆的方程为x 29＋y 2＝1.当焦点在y 轴上时，设其方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)．由椭圆过点P (3,0)，知0a 2＋9b 2＝1，又a ＝3b ，联立解得a 2＝81，b 2＝9，故椭圆的方程为y 281＋x29＝1.故椭圆的标准方程为y 281＋x 29＝1或x 29＋y 2＝1.能力拓展提升一、选择题11．椭圆x 2m ＋y 24＝1的焦距是2，则m 的值是( ) A ．5B ．3或8C．3或5 D．20[答案] C[解析]2c＝2，∴c＝1，故有m－4＝1或4－m＝1，∴m＝5或m＝3，故答案为C.12．(2012～2013学年度黑龙江鹤岗一中高二期末测试)设椭圆的标准方程为x2k－3＋y25－k＝1，若其焦点在x轴上，则k的取值范围是()A．k>3 B．3<k<5 C．4<k<5 D．3<k<4 [答案] C[解析]由题意得k－3>5－k>0，∴4<k<5.13．已知F1、F2是椭圆x216＋y29＝1的两个焦点，过F2的直线交椭圆于点A、B，若|AB|＝4，则|AF1|＋|BF1|等于()A．12 B．10C．9 D．16[答案] A[解析]∵a＝4，∴2a＝8.由椭圆的定义知，|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝4a，∴|AF1|＋|BF1|＝4a－(|AF2|＋|BF2|)＝16－|AB|＝12.14．“m>n>0”是“方程mx2＋ny2＝1表示焦点在y轴上的椭圆”的()A．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 [答案] C[解析] 将方程mx 2＋ny 2＝1化为x 21m ＋y21n＝1，根据椭圆的定义，要使焦点在y 轴上，必须满足⎩⎪⎨⎪⎧1m >01n >01m <1n，⇔m >n >0.二、填空题15．椭圆4x 2＋y 2＝12的焦点坐标为________． [答案] (0，±3)[解析] 把已知椭圆方程化为标准方程为y 212＋x 23＝1， ∴椭圆的焦点在y 轴上， 且c 2＝a 2－b 2＝12－3＝9，∴c ＝3.故椭圆4x 2＋y 2－12＝0的焦点坐标为(0，±3)．16．若椭圆x 25＋y 2m ＝1的一个焦点坐标为(0,1)，则实数m 的值为________．[答案] 6[解析] 由题意知，c ＝1，∴m －5＝1，∴m ＝6. 三、解答题17．已知F 1、F 2是椭圆x 2100＋y 264＝1的两个焦点，P 是椭圆上任一点，若∠F 1PF 2＝π3，求△F 1PF 2的面积．[解析] 设|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n . 根据椭圆定义有m ＋n ＝20， 又c ＝100－64＝6，∴在△F 1PF 2中，由余弦定理得m 2＋n 2－2mn cos π3＝122， ∴m 2＋n 2－mn ＝144，∴(m ＋n )2－3mn ＝144， ∴mn ＝2563，∴S △F 1PF 2＝12|PF 1||PF 2|sin ∠F 1PF 2 ＝12×2563×32＝6433.18．求以椭圆9x 2＋5y 2＝45的焦点为焦点，且经过点M (2，6)的椭圆的标准方程．[解析] 解法一：由9x 2＋5y 2＝45得y 29＋x25＝1，c 2＝9－5＝4，∴焦点坐标为F 1(0,2)，F 2(0，－2)． 设所求的椭圆方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)， 由点M (2，6)在椭圆上，|MF 1|＋|MF 2|＝2a ，即2a ＝(2－0)2＋(6－2)2＋(2－0)2＋(6＋2)2＝43，∴a ＝2 3.又c ＝2，∴b 2＝a 2－c 2＝8， 所以所求椭圆方程为y 212＋x 28＝1.解法二：由解法一知，焦点为F 1(0,2)，F 2(0，－2)． 则设所求椭圆方程为y 2λ＋4＋x 2λ＝1(λ>0)，将M (2，6)代入，得6λ＋4＋4λ＝1(λ>0)，解得λ＝8或λ＝－2(舍)． 所以所求椭圆方程为y 212＋x 28＝1.[点评] (1)与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)共焦点的椭圆方程可设为x 2a 2＋λ＋y 2b 2＋λ＝1(λ>－b 2)； (2)本题运用了待定系数法求解．1．椭圆mx 2＋ny 2＋mn ＝0(m <n <0)的焦点坐标是( ) A ．(0，±m －n ) B ．(±m －n ，0) C ．(0，±n －m ) D ．(±n －m ，0)[答案] C[解析] 椭圆方程mx 2＋ny 2＋mn ＝0可化为x 2－n ＋y2－m＝1，∵m <n <0，∴－m >－n ，椭圆的焦点在y 轴上，排除B 、D ， 又n >m ，∴m －n 无意义，排除A ，故选C.2．椭圆x 216＋y 27＝1的左、右焦点分别为F 1、F 2，一直线过F 1交椭圆于A 、B 两点，则△ABF 2的周长为( )A ．32B ．16C ．8D ．4[答案] B[解析] 由题设条件知△ABF 2的周长为|AF 1|＋|AF 2|＋|BF 1|＋|BF 2|＝4a ＝16.3．已知椭圆x 210－m ＋y 2m －2＝1的焦距为4，则m 等于( )A ．4B ．8C ．4或8D ．以上都不对 [答案] C[分析] 方程表示椭圆时，分母都大于0，又未指出焦点在哪个轴上，故应分类讨论，依据焦距为4列方程求解．[解析] 当焦点在y 轴上时，m －2>10－m >0， ∴6<m <10，∵焦距为4，∴c 2＝4，∴(m －2)－(10－m )＝4， ∴m ＝8.同理，当焦点在x 轴上时，m ＝4.4．设P 是椭圆x 216＋y 212＝1上一点，P 到两焦点F 1、F 2的距离之差为2，则△PF 1F 2是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰直角三角形[答案] B[解析] 由椭圆定义，知|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝8. 又|PF 1|－|PF 2|＝2， ∴|PF 1|＝5，|PF 2|＝3. 又|F 1F 2|＝2c ＝216－12＝4，∴△PF 1F 2为直角三角形．5．已知椭圆的两个焦点分别是F 1、F 2，P 是椭圆上的一个动点，如果延长F 1P 到Q ，使得|PQ |＝|PF 2|，那么动点Q 的轨迹是( )A ．圆B ．椭圆C ．射线D ．直线[答案] A[解析] ∵|PQ |＝|PF 2|且|PF 1|＋|PF 2|＝2a ， ∴|PQ |＋|PF 1|＝2a ， 又∵F 1、P 、Q 三点共线， ∴|PF 1|＋|PQ |＝|F 1Q |，∴|F 1Q |＝2a .即Q 在以F 1为圆心，以2a 为半径的圆上．6．点P 为椭圆x 25＋y 24＝1上一点，以点P 以及焦点F 1、F 2为顶点的三角形的面积为1，则P 点的坐标为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫±152，1 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫152，±1 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫152，1 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫±152，±1 [答案] D[解析] S △PF 1F 2＝12×|F 1F 2|·|y P |＝12×2×|y P |＝1，∴|y P |＝1，y P ＝±1，代入椭圆方程得，x P ＝±152.7．方程x 22m －y 2m －1＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，则m 的取值范围是________． [解析] 将方程化为x 22m ＋y 21－m＝1， 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ 2m >01－m >02m >1－m，解之得13<m <1.8．椭圆x 29＋y 22＝1的焦点为F 1、F 2，点P 在椭圆上．若|PF 1|＝4，则|PF 2|＝______；∠F 1PF 2的大小为________．[答案] 2 120°[解析] 考查椭圆定义及余弦定理．由椭圆定义，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝6，∴|PF 2|＝2， cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1||PF 2| ＝16＋4－2816＝－12.∴∠F 1PF 2＝120°.9．椭圆x 212＋y 23＝1的两个焦点为F 1、F 2，点P 在椭圆上，若线段PF 1的中点在y 轴上，则|PF 1|是|PF 2|的______倍．[答案] 7[解析] 如图，PF 1的中点M 在y 轴上，O 为F 1F 2的中点， ∴OM ∥PF 2，∴PF 2⊥x 轴，|PF 2|＝b 2a ＝32， |PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝43， ∴|PF 1|＝43－32＝723＝7|PF 2|.。