2020年全国硕士研究生招生考试数学二答案一、选择题：1~8小题，每小题4分，共32分．下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上．(I )当x 今矿时，下列无穷小中最高阶的是(A )J ; 飞-l)d r (B )J: l n(l +护）d1(C)厂xsin t 2dt 。
（）(D )i 。
1一C O S X嘉巾［答案】(D )【解析】用导数定阶法(A )选项中j 仁－中t 求导得到e ·l--l-x 2, 则(A)选项阶数为3阶，。
(B )选项中J:·1n(1+扩�t 求导得到1n (1+左）－左，则(B }选项中阶数为:阶，2(C )选项中t 虹sin 户山求导得到sin (sin 气）-cosx-x2, 则(C)选项中阶数为3阶，(D)选项中厂s x品忒dt 求导得到sin 3l , 则(D)选项中阶数为5阶，。
✓ (-c o s x)s i n x -二-x 42✓2因此选(D).I(2)函数f(x)=产lnll+xl 的第二类间断点的个数为(e -'-l)(x-2)(B )2个(A ) I 个【答案】(C)【解析】（）(C)3个(D )4个Ilim f() e-'-1 In II+ x ie 一1xlx = lim =li m —=-一，,-➔Or ➔。
(c ?-l ){x -2)仁）o x (-2)2eII产叫l+xe 言l n l l +l l匝J(x )=lim= Jim =oo. x ->I .t ➔i '(e '-l )(x-2) ,,-+1"(e -l )(t -2)II产lnll+xe 百1n 11+ 21limf (x) = lim= Jim 2 =00'x ➔2., ➔ 2 (矿-l){x -2)·➔r (e -l)(x -2) I/() e x -I In l + Xlim x = lirn I I=oo' X ➔-1X ➔ -1(e x-l )(x-2)共3个，选(C).(3)f 1 a r c s m 石。
,dx =（）(A)冗l4【答案】(A )亡8.I 4B （冗一4、丿c（冗一85［解析】令五=Sint,则飞=sin 2t,dx = 2sintcostdt尸三乌x ={t .2smtcostdt= 122tdt sin tcost= t 崝＝亡4(4)已知函数f(x)=x 2ln(l-x), 当n 之3时，J l"l (O)=(A)n!n -2(B)【答案】(A)11! 11-2(C)-(n-2)!n(D)(11 -2)! n00/I0()心2oo nl n(l-x )=-乒，则i ln (l -x)=-;气-=-�台【解析】由泰勒展开式，n!故尸(0)=-—一．n-2xy,xy 土0(5)关干函数f(x,y)=�x,y=O, 给出下列结论y,x=O（）of 沪f O —=l;® =I ;@Lim f(x,y)=O ; @l i ml i m f(x ,y)=O .ax co.o)a动l ,o )(x ,y )➔ (0,0)尸正0其中正确的个数为(A)4(B)3(C)2(D)l【答案】(B)of、= liinf(x,0)-/(0,0) x -0 【解析】—=lim =l. (D 吓确：函(0,0)x->0x -0X-->0 x-0硒1(0、o)y动巠I-包笠＿ax �,,.,, oyL.,, �lim rocl,,,,y-0y->Oy1而勹= l i rn f (x ,y )-f (O ,y ) = l i m 竺=li m 江!.y 不存在，所以＠错误森(O,y) X ➔ 0 x -0x->0 X 飞➔0 X （）lxy-01 = lx l 外，�-01=1斗，ly-O =IYl'从而(x,y卢(0,0)时lim f (x,y )=O 所以＠正确：(x,y )->(0,0) lirn/ f O ,xy-:tc 0或JJ=0X-->。
(x ,y )=ly ,x =O, 从而把归f (x ,y )=O 正确，＠正确(6)设函数f(x )在区间[-2,2]上可导，且f'(x)> .f (x) > 0则(A)芦>lf(-l)【答案】(B)(B)j 、(0)>e f(-L)(C)f(l) /(-1)<e 2(D)j 、(2)J /(-1)< e （）【解析】构造辅助函数F(x)/(x) ＝， e·' 缸＇（）f'(X) e x-f (X) e xf'(入）-f(x) X = = e2x由题知，F'(x)f( >0, 从而F(x)=——x) eX单增F (O )>F (-1), 也即，丛趴丛＃，又有瓜）>0, 从而/(0)e oe/(-1)>e, 故选(B).(7)设4阶矩阵A=(a if )不可逆，Q J2的代数余子式A 12:t=.O'Cl 1, 生也立4为矩阵A的列向蜇组，A•为A的伴随矩阵，则方程组A •x =O的通解为(A)x =k心+k凸+k 3佑，其中k i ,k 2,k 3为任意常数(B)x =k ,txi +k 沪2+k心，其中k l 'k 2,女为任意常数(C)x=l'ia ,+k忍+k心，其中k 1,"2,k 3为任意常数(D)x=k 1a 2 +k忍+k凸，其中k p k 1名为任意常数【答案】(C)（）【解析】由已知，IAI=O,r(A)=3, 故r(A *)=l,故A*入:=0的基础解系中解向量的个数为3;由A 127'0得a l , 气，a 4线性无关，则通解为x=k 1a 1 +k 夕J +k 3a 4, 其中k l 'k 2,k 3为任意常数故(C ).(8)设A 为3阶矩阵，a 1,a 2为A的屈千特征值1的线性无关的特征向虽，a J 为A 的屈于特征值-1的特征l O 0向撼，则满足P 一'AP=I O -1 0 I 的可逆矩阵P可为0 0 l(A)也+Ct 3 ,Ct 2 ,-Ct 3)(C)(a , 妇安，一生，生）【答案】(D )(B)也+a 2,Ct 2 ,-Ct 3)(D)也＋穷－生生）（）【解析】由已知A(a,+生）= l·(a, + a 2) , A(-a i ) = -(-免），Aa 2=l 巧，且a ,+气，一气，Cl 2线性无关，又由1,-l, l的顺序知，P可为亿+a 2,-a 3,生）故选(D).二、填空题9-14小题，每小题4分，共24分请将答案写在答题纸指定位置上．(9)设jx =JT+i'则立＝y= h1(t+护了I )dxl=I【答案】-✓2【解析】叨l +空＝－仁护护=!dx d f dtl+✓,了tt1d皇＝丿岊＝－卢三产=-✓2d z y d x 2 ,�1(I 0) f,归心N+ldx=2【答案】-(2J5.-l)【解析】交换积分次序，j沁心石玉子j 。
飞了办=I 。
Y 芦心lr 2 ＝－五言ld (x3+ 1)=二(x 3+ 1)2�= -(2J5.-1)3 099(11)设z = a rctan[汀+sin(x+y)], 则dz l<o,万）＝【答案］（冗-J)dx-dyoz oz 【解析】dz=—dx+—dy, 而—=衾y+cos(x+y) oz x+cos(x + y) ox 彻ox l+[入y+sin(x+y)]2初1+[.xy+ s in(x + y)]2& oz将(0,动带入可得—＝冗-l,一=-}'故dz l (O 开）＝（万-l)dx -d y岔匈(12)斜边长为2a 的等腰直角三角形平板铅直地沉没在水中，且斜边与水面相齐，记里力加速度为g,水的密度为p,则该平板一侧所受的水压力为【答案】了pga3【解析】以水乎而向右为x 轴，以垂直千三角板斜边向卜为y 轴建立直角坐标系，则此时，三角板右斜边所在的宜线方程为y =x-a, 取微元dy'则此时dF =-y2xpgdy =-2pgy(y+a)d y (13)设y=y(x)满足y"+ 2 y '+ y = 0 , 且y(O)=0,y'(O)= I ,则厂y(x)dx =【答案】1［解析］由方程可得特征方程为A-2 + 2,i + I = 0 , 则特征方程的根为A,= -1, 心=-1.则微分方程的通解为y=c 1e -·'+c 2xe -x ,由y(O)=O ,y'(O)=l 可得c 1= O ,c 2 = 1 , 则y(x)=xe寸，则f� 妞y(x)心=i 厂xe -x dx =-i 厂xde-x =-(xe-xl;; 一『矿心）=la O -1 1(14)行列式；a-1l1 -] a 0 l -1a［答案】a4-4a 2【解析】a 0 -1 1 a a a al1 1 11 11 I 。
a I -1 。
a 1 -1。
a I -l0 a1 -1=a=a-1 1 a 。
-1 l a 0-1 1 a 00 2 a+l l 1 -1 0 a1 -1 0 a 1 -1 0 a 0 -2 -1 a -1a 1 -1a I -1=a尸a+l l =a 22 a+l 1 =a 4-4a 2.。
a a 。
1 I三、解答题：15~23小题，共94分请将解答写在答题纸指定位置上．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．(L5)(本题满分10分）J+x求曲线y =X(x>O)的斜渐近线方程(l +x ry 11•,<X【解析】由k=li m -=lin1X = limXX -4-KOXX -4-KOx (l + XyX-4-l-OO(1 + Xr= l in1I1=-．亡狂,;,1Cl +-YeXl+xX ,,·I n —l b=l 血(y-kx )= litn ( X1 --x) = lim x(e i+x --)．已如X ➔如(1+ x}' e.,-.+ .. , e X气压!�•(;•;;:;•'-I)= e _, }�'! x (x In 士+I)1 1n +t 1 -+le-1 li m l +t Y各e-1li m l +t 1 2=e 1.ltm =J_.t ➔O't = t ➔O " 2t 心t 2(1 +t) 2et ＿1-x1 故所求斜渐近线为y=-x+—.1e 2e(16) (本题满分10分）f(x) I已知函数J(x)连续且凹}x=l. g(x)= foJ(x tfit, 求g'(x)并证明g'(x)在x =O处连续f(x ) 【解析】·: lim =l, 并且f(x)连续，可得f(0) = 0.心oXg(x) = tf (xt)dt二沪(u)du,当x =O 时，g (O )=0。