2013年高考第一轮复习数学北师(江西版)理第六章数列单元检测(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．在等差数列{a n }中，若a 1＋a 2＋a 12＋a 13＝24，则a 7为( )． A ．6 B ．7 C ．8 D ．92．若等比数列{a n }的首项为19，且a 4＝21⎰(2x )d x ，则数列{a n }的公比是( )．A ．3B ．13C ．27D ．1273．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 2＝10，S 5＝55，则过点P (n ，a n )和Q (n ＋2，a n ＋2)(n ∈N ＋)的直线的斜率是( )．A ．4B ．3C ．2D ．1 4．设{a n }是等差数列，S n 是其前n 项和，且S 5＜S 6，S 6＝S 7＞S 8，则下列结论错误的是( )． A ．d ＜0 B ．a 7＝0 C ．S 9＞S 5 D ．S 6与S 7均为S n 的最大值5．已知数列{a n }是等比数列，a 2＝2，a 5＝14，则a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1等于( )．A ．16(1－4－n )B ．16(1－2－n) C ．323(1－4－n ) D ．323(1－2－n )6．数列{a n }为等比数列，且满足a 2 007＋a 2 010＋a 2 016＝2，a 2 010＋a 2 013＋a 2 019＝6，则a 2 007＋a 2 010＋a 2 013＋a 2 016＋a 2 019等于( )．A ．9813B ．375C ．24231D ．240417．△ABC 中，a ，b ，c 分别为∠A ，∠B ，∠C 的对边，如果a ，b ，c 成等差数列，∠B ＝30°，△ABC 的面积为32，那么b 等于( )．A ．1＋32B ．1＋ 3C ．2＋32D ．2＋ 38．某化工厂打算投入一条新的生产线，但需要经环保部门审批同意方可投入生产．已知该生产线连续生产n 年的产量为f (n )＝12n (n ＋1)(2n ＋1)吨，但如果年产量超过150吨，将会给环境造成危害．为保护环境，环保部门应给该厂这条生产线拟定最长的生产期限是( )．A ．5年B ．6年C ．7年D ．8年9．将以2为首项的偶数数列，按下列方法分组：(2)，(4,6)，(8,10,12)，…，第n 组有n 个数，则第n 组的首项为( )．A ．n 2－nB ．n 2＋n ＋2C ．n 2＋nD ．n 2－n ＋210．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，x ≤0，f (x －1)＋1，x >0，把函数g (x )＝f (x )－x 的零点按从小到大的顺序排列成一个数列，则该数列的通项公式为( )．A ．a n ＝n －12(n ∈N ＋) B ．a n ＝n －1(n ∈N ＋)C ．a n ＝n (n －1)(n ∈N ＋)D ．a n ＝2n－2(n ∈N ＋) 二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分)11．已知数列{a n }为等比数列，a 2 007，a 2 011为方程7x 2－18x ＋14＝0的两根，则a 2 009＝__________.12．若数列{a n }满足关系a 1＝2，a n ＋1＝3a n ＋2，该数列的通项公式为__________．13．已知公差不为零的等差数列{a n }中，M ＝a n a n ＋3，N ＝a n ＋1a n ＋2，则M 与N 的大小关系是__________．14．已知两个数列{a n }，{b n }，满足b n ＝3na n ，且数列{b n }的前n 项和为S n ＝3n －2，则数列{a n }的通项公式为__________．15．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(1－3a )x ＋10，x ≤6，a x －7，x >6，若数列{a n }满足a n ＝f (n )(n ∈N ＋)，且{a n }是递减数列，则实数a 的取值范围是______．三、解答题(本大题共6小题，共75分)16．(12分)设等比数列{a n }的公比q ＜1，其前n 项和为S n ，已知a 3＝2，S 4＝5S 2，求数列{a n }的通项公式．17．(12分)已知a 1＝b 1＝1，a n ＋1＝b n ＋n ，b n ＋1＝a n ＋(－1)n，n ∈N ＋. (1)求a 3，a 5的值；(2)求数列{a n }的通项公式．18．(12分)已知数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝－13，a n ＋2－2a n ＋1＋a n ＝2n －6. (1)设b n ＝a n ＋1－a n ，求数列{b n }的通项公式； (2)当n 为何值时，a n 的值最小？19．(12分)在数列{a n }中，a 1＝1，当n ≥2时，其前n 项的和S n 满足S 2n ＝a n (S n －1)．(1)求证：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是等差数列；(2)设b n ＝log 2S nS n ＋2，数列{b n }的前n 项和为T n ，求满足T n ≥6的最小正整数n . 20．(13分)设数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足(4－p )S n ＋3pa n ＝2p ＋4，其中p 为常数，p ＜－2，n ∈N ＋.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{a n }的公比q ＝f (p )，数列{b n }满足b 1＝a 1，b n ＝43f (b n －1)(n ≥2，n ∈N ＋)，求证：b 12＋b 22＋…＋b n2＜2n ＋1－2.21．(14分)已知数列{a n }满足a n ＝2a n －1＋2n－1(n ∈N ＋，n ≥2)，且a 4＝81. (1)求数列{a n }的前三项；(2)是否存在一个实数λ，使得数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋λ2n 为等差数列？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由；(3)求数列{a n }的前n 项和S n .参考答案一、选择题1．A 解析：∵a 1＋a 2＋a 12＋a 13＝4a 7＝24，∴a 7＝6. 2．A 解析：a 4＝221|x ＝22－12＝3，由a 4＝a 1²q 3，得q ＝3.3．A 解析：k ＝a n ＋2－a n2＝d ，由S 2＝10，S 5＝55解得d ＝4.4．C 解析：∵S 5＜S 6，∴a 6＞0. ∵S 6＝S 7，∴a 7＝0.又S 7＞S 8，∴a 8＜0.∵S 9－S 5＝a 6＋a 7＋a 8＋a 9＝2(a 7＋a 8)＝2a 8＜0， ∴S 9＜S 5，故选C.5．C 解析：由a 2＝2，a 5＝14，得a 1＝4，q ＝12.则a n ＝1142n -⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭＝23－n，a n a n ＋1＝25－2n＝13124n -⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭.所以a 1a 2，a 2a 3，…，a n a n ＋1是以14为公比，以23为首项的等比数列，故a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1＝323(1－4－n)．6．C 解析：易得a 2 007(1＋q 3＋q 9)＝2，a 2 010(1＋q 3＋q 9)＝6，两式相除，得到a 2 007a 2 010＝1q 3＝13，得q 3＝3，将其代入a 2 010(1＋q 3＋q 9)＝6，得a 2 010＝631，故所求为(a 2 007＋a 2010＋a 2 016)＋(a 2 010＋a 2 013＋a 2 019)－a 2 010＝2＋6－a 2 010＝24231.7．B 解析：由于a ，b ，c 成等差数列，则a ＋c ＝2b ⇒a 2＋2ac ＋c 2＝4b 2.①由余弦定理可得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ．②由于△ABC 的面积为32，∠B ＝30°，则有12ac sin B ＝32⇒2ac ＝12.③综合①②③可得，b 2＋12cos 30°＋12＝4b 2⇒b 2＝23＋4＝(3＋1)2⇒b ＝3＋1.8．C 解析：由题意可知第一年的产量为a 1＝12³1³2³3＝3吨；以后第n (n ＝2,3，…)年的产量为a n ＝f (n )－f (n －1)＝12n (n ＋1)(2n ＋1)－12(n －1)²n ²(2n －1)＝3n 2(吨)．令3n 2≤150，∴1≤n ≤5 2.又∵n ∈N ＋，∴1≤n ≤7，即生产期限最长为7年．9．D 解析：因为前n －1组占用了数列2,4,6，…的前1＋2＋3＋…＋(n －1)＝(n －1)n 2项，所以第n 组的首项为数列2,4,6，…的第(n －1)n 2＋1项，等于2＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤(n －1)n 2＋1－1²2＝n 2－n ＋2.10．B 解析：在坐标系下画出函数y ＝2x －1(x ≤0)的图像(该函数的图像可由y ＝2x(x ≤0)的图像向下平移一个单位长度得到)，再将y ＝2x－1在x ∈(－1,0]时的图像向右平移k (k ∈N ＋)个单位长度后，同时向上平移k (k ∈N ＋)个单位长度即可得到f (x )(x ＞0)的图像，该部分图像与函数y ＝2x－1(x ≤0)的图像共同组成函数f (x )的图像，结合图像可知，函数f (x )的图像与直线y ＝x 的交点横坐标依次是0,1,2,3,4，…，即g (x )＝f (x )－x 的零点由小到大依次排列所得到的数列是0,1,2,3,4，…，由此可知a n ＝n －1，选B.二、填空题11． 2 解析：由韦达定理得，a 2 007＋a 2 011＝187＞0，a 2 007²a 2 011＝2＞0，所以两根都为正．而22 009a ＝a 2 007²a 2 011＝2，a 2 009＝±2，而a 2 009＝a 2 007q 2＞0，所以a 2 009＝ 2.12．a n ＝3n－1 解析：∵a n ＋1＝3a n ＋2，两边加上1得， a n ＋1＋1＝3(a n ＋1)，∴{a n ＋1}是以a 1＋1＝3为首项，以3为公比的等比数列，∴a n ＋1＝3²3n －1＝3n ，∴a n ＝3n－1.13．M ＜N 解析：设{a n }的公差为d ，则d ≠0. M －N ＝a n (a n ＋3d )－[(a n ＋d )(a n ＋2d )] ＝a 2n ＋3da n －a 2n －3da n －2d 2＝－2d 2＜0，∴M ＜N . 14．a n＝⎩⎪⎨⎪⎧13，n ＝1，13n －1，n ≥2解析：由题意可知3a 1＋32a 2＋ (3)a n ＝3n －2，①当n ＝1时，a 1＝13；当n ≥2时，3a 1＋32a 2＋…＋3n －1a n －1＝3(n －1)－2，②①－②，得3na n ＝3，a n ＝13n －1，此时，令n ＝1，有a 1＝1不适合a n ＝13n －1.故a n＝⎩⎪⎨⎪⎧13，n ＝1，13n －1，n ≥2.15．⎝ ⎛⎭⎪⎫13，56 解析：依题意得⎩⎪⎨⎪⎧1－3a <0，0<a <1，6(1－3a )＋10>a 7－7，由此解得13＜a ＜56.因此，实数a的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫13，56.三、解答题16．解：由题设知a 1≠0，S n ＝a 1(1－q n )1－q ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a 1q 2＝2，a 1(1－q 4)1－q＝5³a 1(1－q 2)1－q .①②由②式得1－q 4＝5(1－q 2)，即(q －2)(q ＋2)(q －1)(q ＋1)＝0. 因为q ＜1，所以q ＝－1或q ＝－2.当q ＝－1时，代入①式得a 1＝2，通项公式a n ＝2³(－1)n －1；当q ＝－2时，代入①式得a 1＝12，通项公式a n ＝12³(－2)n －1.17．解：∵b n ＋1＝a n ＋(－1)n，∴当n ≥2时，b n ＝a n －1＋(－1)n －1，代入a n ＋1＝b n ＋n ，得a n ＋1＝a n －1＋(－1)n －1＋n ， (1)a 3＝a 1－1＋2＝2，a 5＝a 3－1＋4＝5.(2)由a n ＋1＝a n －1＋(－1)n －1＋n (n ≥2)知a 3＝a 1＋1，a 5＝a 3＋3，…，a 2n －1＝a 2n －3＋(2n －3)，∴a 2n －1＝a 1＋(n －1)(1＋2n －3)2＝n 2－2n ＋2(n ≥2)，易知a 1＝1也满足上式，同理a 4＝a 2＋4，a 6＝a 4＋6，…，a 2n ＝a 2n －2＋2n ，∴a 2n ＝a 2＋(n －1)(4＋2n )2＝n 2＋n (n ≥2)，易知a 2＝2也满足上式．故a 2n －1＝n 2－2n ＋2(n ≥1)，a 2n ＝n 2＋n (n ≥1)． 18．解：(1)由a n ＋2－2a n ＋1＋a n ＝2n －6， 得(a n ＋2－a n ＋1)－(a n ＋1－a n )＝2n －6， 即b n ＋1－b n ＝2n －6.b 1＝a 2－a 1＝－14.当n ≥2时，b n ＝b 1＋(b 2－b 1)＋(b 3－b 2)＋…＋(b n －b n －1) ＝－14＋(2³1－6)＋(2³2－6)＋…＋[2(n －1)－6]＝－14＋2³n (n －1)2－6(n －1)＝n 2－7n －8.经验证，当n ＝1时，上式也成立．∴数列{b n }的通项公式为b n ＝n 2－7n －8.(2)由(1)可知，a n ＋1－a n ＝n 2－7n －8＝(n ＋1)(n －8)． 当n ＜8时，a n ＋1－a n ＜0，a n ＋1＜a n ， 即a 1＞a 2＞a 3＞…＞a 8；当n ＝8时，a 9－a 8＝0，a 9＝a 8； 当n ＞8时，a n ＋1－a n ＞0，a n ＋1＞a n ， 即a 9＜a 10＜a 11＜….∴当n ＝8或n ＝9时，a n 的值最小． 19．(1)证明：∵2n S ＝a n (S n －1)， ∴2n S ＝(S n －S n －1)(S n －1)(n ≥2)． ∴S n S n －1＝S n －1－S n ，即1S n －1S n －1＝1.∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是以1为首项，1为公差的等差数列． (2)解：由(1)知S n ＝1n，∴b n ＝log 2n ＋2n. ∴T n ＝log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫31³42³53³64³…³n ＋2n＝log 2(n ＋1)(n ＋2)2≥6.∴(n ＋2)(n ＋1)≥128.∵n ∈N ＋，∴n ≥10. ∴满足T n ≥6的最小正整数为10.20．解：(1)当n ＝1时，由(4－p )a 1＋3pa 1＝2p ＋4，得 (2p ＋4)a 1＝2p ＋4.∵p ＜－2，∴2p ＋4≠0，∴a 1＝1， 又由(4－p )S n ＋3pa n ＝2p ＋4得，(4－p )S n －1＋3pa n －1＝2p ＋4(n ≥2)， 两式相减得(4－p )a n ＋3p (a n －a n －1)＝0， 即(2p ＋4)a n ＝3pa n －1， 故a n a n －1＝3p 4＋2p(n ≥2)， ∴数列{a n }是以1为首项，3p4＋2p为公比的等比数列，∴a n ＝1342n p p -⎛⎫ ⎪+⎝⎭.(2)由(1)得f (p )＝3p4＋2p ，b 1＝a 1＝1，∴n ≥2时，b n ＝43f (b n －1)＝43³3b n －14＋2b n －1＝2b n －12＋b n －1，∴1b n ＝2＋b n －12b n －1＝12＋1b n －1，即1b n －1b n －1＝12(n ≥2)， 故数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n 是以1b 1＝1为首项，以12为公差的等差数列，∴1b n ＝1＋12(n －1)＝n ＋12，∴b n ＝2n ＋1(n ∈N ＋)， ∴b n2＝1(n ＋1)＜2n ＋1＋n ＝2(n ＋1－n )．∴b 12＋b 22＋…＋b n2＜2[(2－1)＋(3－2)＋…＋(n ＋1－n )]＝2n ＋1－2.21．解：(1)由a n ＝2a n －1＋2n－1(n ∈N ＋，n ≥2)，得a 4＝2a 3＋24－1＝81， ∴a 3＝33；同理可得，a 2＝13，a 1＝5.(2)假设存在实数λ，使得数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋λ2n 为等差数列，a n ＋λ2n －a n －1＋λ2n －1＝a n －2a n －1－λ2n ＝2n －1－λ2n＝1－1＋λ2n . 则1－1＋λ2n 为常数，∴1＋λ2n ＝0，λ＝－1.即存在实数λ＝－1，使得数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋λ2n 为等差数列．(3)由(2)可知，等差数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n －12的公差d ＝1.则a n －12n ＝a 1－121＋(n －1)³1＝n ＋1，∴a n ＝(n ＋1)2n＋1.S n ＝2³2＋3³22＋4³23＋…＋(n ＋1)³2n ＋n .记T n ＝2³2＋3³22＋4³23＋…＋(n ＋1)³2n，有2T n ＝2³22＋3³23＋…＋n ³2n ＋(n ＋1)³2n ＋1，上述两式错位相减，得T n ＝n ²2n ＋1.∴S n ＝n ²2n ＋1＋n ＝n (2n ＋1＋1)．。