第4讲数列求和一、选择题1．设数列{(－1)n}的前n项和为S n，则对任意正整数n，S n＝( )A.n[1n－1]2B.1n－1＋12C.1n＋12D.1n－12解析∵数列{(－1)n}是首项与公比均为－1的等比数列，∴S n＝11n111＝1n－12.答案 D2．已知数列{a n}的前n项和S n＝n2－4n＋2，则|a1|＋|a2|＋…＋|a10|＝( ) A．66 B．65C．61 D．56解析当n＝1时，a1＝S1＝－1，当n≥2时，a n＝S n－S n－1＝n2－4n＋2－[(n －1)2－4(n －1)＋2]＝2n－5.∴a2＝－1，a3＝1，a4＝3，…，a10＝15，∴|a1|＋|a2|＋…＋|a10|＝1＋1＋81＋152＝2＋64＝66.答案 A3．在数列{a n}中，a n＝1n n ＋1，若{a n}的前n项和为2 0132 014，则项数n为( )．A．2 011 B．2 012 C．2 013 D．2 014解析∵a n＝1n n ＋1＝1n－1n＋1，∴S n＝1－1n＋1＝nn＋1＝2 0132 014，解得n＝2013.答案 C4．数列{a n}满足a n＋1＋(－1)n a n＝2n－1，则{a n}的前60项和为( )．A．3 690 B．3 660 C．1 845 D．1 830解析当n＝2k时，a2k＋1＋a2k＝4k－1，当n＝2k－1时，a2k－a2k－1＝4k－3，∴a 2k ＋1＋a 2k －1＝2，∴a 2k ＋1＋a 2k ＋3＝2， ∴a 2k －1＝a 2k ＋3，∴a 1＝a 5＝…＝a 61.∴a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 60＝(a 2＋a 3)＋(a 4＋a 5)＋…＋(a 60＋a 61)＝3＋7＋11＋…＋(4×30－1)＝303＋1192＝30×61＝1 830.答案 D5．若把能表示为两个连续偶数的平方差的正整数称为“和平数”，则 1～100这100个数中，能称为“和平数”的所有数的和是( ) A ．130 B ．325 C ．676D ．1 300解析 设两个连续偶数为2k ＋2和2k (k ∈N ＋)，则(2k ＋2)2－(2k )2＝4(2k ＋1)，故和平数 是4的倍数，但不是8的倍数，故在1～100之间，能称为和平数的有4×1,4×3,4×5,4×7，…，4×25，共计13个，其和为4×1＋252×13＝676. 答案 C6．数列{a n }满足a n ＋a n ＋1＝12(n ∈N *)，且a 1＝1，S n 是数列{a n }的前n 项和，则S 21＝ ( )． A.212B ．6C ．10D ．11解析 依题意得a n ＋a n ＋1＝a n ＋1＋a n ＋2＝12，则a n ＋2＝a n ，即数列{a n }中的奇数项、偶数项分别相等，则a 21＝a 1＝1，S 21＝(a 1＋a 2)＋(a 3＋a 4)＋…＋(a 19＋a 20)＋a 21＝10(a 1＋a 2)＋a 21＝10×12＋1＝6，故选B.答案 B 二、填空题7．在等比数列{a n }中，若a 1＝12，a 4＝－4，则公比q ＝________；|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝________.解析 设等比数列{a n }的公比为q ，则a 4＝a 1q 3，代入数据解得q 3＝－8，所以q ＝－2；等比数列{|a n |}的公比为|q |＝2，则|a n |＝12×2n －1，所以|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |＝12(1＋2＋22＋…＋2n －1)＝12(2n －1)＝2n －1－12.答案 －2 2n －1－128．数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a 2＝2，a n ＋2－a n ＝1＋(－1)n (n ∈N *)，则S 100＝________.解析 由a n ＋2－a n ＝1＋(－1)n ，知a 2k ＋2－a 2k ＝2，a 2k ＋1－a 2k －1＝0，∴a 1＝a 3＝a 5＝…＝a 2n －1＝1，数列{a 2k }是等差数列，a 2k ＝2k . ∴S 100＝(a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 99)＋(a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 100)＝50＋(2＋4＋6＋…＋100)＝50＋100＋2502＝2 600.答案 2 6009．等差数列{a n }中有两项a m 和a k (m ≠k )，满足a m ＝1k ，a k ＝1m，则该数列前mk 项之和是S mk ＝________.解析 设数列{a n }的首项为a 1，公差为d .则有⎩⎪⎨⎪⎧a m ＝a 1m －1d ＝1k ，a k＝a1k －1d ＝1m ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1mk ，d ＝1mk ，所以S mk ＝mk ·1mk＋mk mk －12·1mk＝mk ＋12.答案mk ＋1210．把公差d ＝2的等差数列{a n }的各项依次插入等比数列{b n }中，将{b n }按原 顺序分成1项，2项，4项，…，2n －1项的各组，得到数列{c n }：b 1，a 1，b 2，b 3，a 2， b 4，b 5，b 6，b 7，a 3，…，数列{c n }的前n 项和为S n .若c 1＝1，c 2＝2，S 3＝134.则数列{c n } 的前100项之和S 100＝________.解析：由已知得b 1＝1，a 1＝2，b 2＝14，令T n＝1＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1，则T6＝63，T7＝127，∴数列{c n}的前100项中含有数列{a n}的前6项，含有数列{b n}的前94项，故S100＝(b1 ＋b2＋…＋b94)＋(a1＋a2＋…＋a6)＝1－⎝⎛⎭⎪⎫14941－14＋6×2＋6×52×2＝13⎣⎢⎡⎦⎥⎤130－⎝⎛⎭⎪⎫12186.答案13⎣⎢⎡⎦⎥⎤130－⎝⎛⎭⎪⎫12186三、解答题11．已知公差为d(d>1)的等差数列{a n}和公比为q(q>1)的等比数列{b n}，满足集合{a3，a4，a5}∪{b3，b4，b5}＝{1,2,3,4,5}，(1)求通项a n，b n；(2)求数列{a n·b n}的前n项和S n.解 (1)∵1,2,3,4,5这5个数中成公差大于1的等差数列的三个数只能是1,3,5；成公比大于1的等比数列的三个数只能是1,2,4.而{a3，a4，a5}∪{b3，b4，b5}＝{1,2,3,4,5}，∴a3＝1，a4＝3，a5＝5，b3＝1，b4＝2，b5＝4，∴a1＝－3，d＝2，b1＝14，q＝2，∴a n＝a1＋(n－1)d＝2n－5，b n＝b1×q n－1＝2n－3.(2)∵a n b n＝(2n－5)×2n－3，∴S n＝(－3)×2－2＋(－1)×2－1＋1×20＋…＋(2n－5)×2n－3，2S n＝－3×2－1＋(－1)×20＋…＋(2n－7)×2n－3＋(2n－5)×2n－2，两式相减得－S n＝(－3)×2－2＋2×2－1＋2×20＋…＋2×2n－3－(2n－5)×2n－2＝－34－1 ＋2n－1－(2n－5)×2n－2∴S n＝74＋(2n－7)×2n－2.12．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝1，a n ＋1＝12S n (n ＝1,2,3，…)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝log 32(3a n ＋1)时，求数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1b n b n ＋1的前n 项和T n . 解(1)由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a n ＋1＝12S n，a n＝12S n －1n ≥2得到a n ＋1＝32a n (n ≥2)．∴数列{a n }是以a 2为首项，以32为公比的等比数列．又a 2＝12S 1＝12a 1＝12，∴a n ＝a 2×⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －2＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －2(n ≥2)．又a 1＝1不适合上式，∴a n＝⎩⎨⎧1，n ＝1，12⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －2，n ≥2.(2)b n ＝log 32(3a n ＋1)＝log 32⎣⎢⎡⎦⎥⎤32·⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1＝n .∴1b n b n ＋1＝1n1＋n ＝1n －11＋n . ∴T n ＝1b 1b 2＋1b 2b 3＋1b 3b 4＋…＋1b n b n ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫11－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－14＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －11＋n ＝1－11＋n ＝nn ＋1. 13．设数列{a n }满足a 1＋3a 2＋32a 3＋…＋3n －1a n ＝n3，n ∈N *.(1)求数列{a n }的通项；(2)设b n＝nan，求数列{b n}的前n项和S n.解(1)∵a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－1a n＝n3，①∴当n≥2时，a 1＋3a2＋32a3＋…＋3n－2a n－1＝n－13，②①－②得3n－1a n＝13，∴a n＝13n.在①中，令n＝1，得a1＝13，适合a n＝13n，∴a n＝13n.(2)∵b n＝nan，∴b n＝n·3n.∴S n＝3＋2×32＋3×33＋…＋n·3n，③∴3S n＝32＋2×33＋3×34＋…＋n·3n＋1. ④④－③得2S n＝n·3n＋1－(3＋32＋33＋…＋3n)，即2S n＝n·3n＋1－31－3n1－3，∴S n＝2n－13n＋14＋34.14．将数列{a n}中的所有项按每一行比上一行多两项的规则排成如下数表：a1a 2a3a4a 5a6a7a8a9…已知表中的第一列数a1，a2，a5，…构成一个等差数列，记为{b n}，且b2＝4，b5＝10.表中每一行正中间一个数a1，a3，a7，…构成数列{c n}，其前n项和为Sn.(1)求数列{b n}的通项公式；(2)若上表中，从第二行起，每一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列，公比为同一个正数，且a13＝1.①求S n；②记M＝{n|(n＋1)c n≥λ，n∈N*}，若集合M的元素个数为3，求实数λ的取值范围．解 (1)设等差数列{b n }的公差为d ， 则⎩⎨⎧b 1＋d ＝4，b 1＋4d ＝10，解得⎩⎨⎧b 1＝2，d ＝2，所以b n ＝2n .(2)①设每一行组成的等比数列的公比为q .由于前n 行共有1＋3＋5＋…＋(2n －1)＝n 2个数，且32<13<42，a 10＝b 4＝8， 所以a 13＝a 10q 3＝8q 3，又a 13＝1，所以解得q ＝12.由已知可得c n ＝b n q n －1，因此c n ＝2n ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝n 2n －2.所以S n ＝c 1＋c 2＋c 3＋…＋c n ＝12－1＋220＋321＋…＋n2n －2， 12S n ＝120＋221＋…＋n －12n －2＋n2n －1， 因此12S n ＝12－1＋120＋121＋…＋12n －2－n 2n －1＝4－12n －2－n 2n －1＝4－n ＋22n －1，解得S n ＝8－n ＋22n －2.②由①知c n ＝n 2n －2，不等式(n ＋1)c n ≥λ，可化为n n ＋12n －2≥λ.设f (n )＝n n ＋12n －2，计算得f (1)＝4，f (2)＝f (3)＝6，f (4)＝5，f (5)＝154. 因为f (n ＋1)－f (n )＝n ＋12－n2n －1，所以当n ≥3时，f (n ＋1)<f (n )．因为集合M 的元素个数为3，所以λ的取值范围是(4,5].。