高二圆锥曲线基础练习题-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN高三数学圆锥曲线基础练习题一、选择题：1．抛物线x y 42=的焦点坐标为（ ）A ．)1,0(B ．)0,1(C ． )2,0(D ．)0,2(2．双曲线221mx y +=的虚轴长是实轴长的2倍，则m = （ ）A ．14-B ．4-C ．4D ．143．双曲线221916x y -=的一个焦点到渐近线距离为 （ ） A ．6 B ．5 C ．4 D ．34．已知△ABC 的顶点B 、C 在椭圆x 23＋y 2＝1上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则△ABC 的周长是 （ ）A ．2 3B ．6C ．4 3D ．125．已知椭圆221102x y mm +=--，长轴在y 轴上. 若焦距为4，则m 等于（ ）A ．4B ．5C ．7D ．86．已知P 是双曲线22219x y a -=右支上的一点，双曲线的一条渐近线方程为30x y -=. 设 12F F 、分别为双曲线的左、右焦点. 若23PF =，则1PF = （ ）A ． 5B ．4C ．3D ．27．将抛物线2(2)1y x =-+按向量a 平移，使顶点与原点重合，则向量a 的坐标是（ ）A ．(2,1)--B ．(2,1)C ．(2,1)-D ．(2,1)-8．已知双曲线的两个焦点为)0,5(1-F ，)0,5(2F ，P 是此双曲线上的一点，且21PF PF ⊥，12||||2PF PF ⋅=，则该双曲线的方程是 （ ）A ．13222=-y xB ．12322=-y xC ．1422=-y x D ．1422=-y x 9．设11229(,),(4,),(,)5A x yBC x y 是右焦点为F 的椭圆221259x y +=上三个不同的点，则“,,AF BF CF 成等差数列”是“128x x +=”的 （ ）A ．充要条件B ．必要不充分条件C ．充分不必要条件D ．既非充分也非必要条件10．已知双曲线22:1916x y C -=的左右焦点分别为12,F F ，P 为C 的右支上一点，且212PF F F =，则12PF F ∆的面积等于 （ ）A ．24B ．36C ．48D ．9611．已知点P 在抛物线24y x =上，那么点P 到点Q （2，-1）的距离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P 的坐标为 （ ）A ．（14，-1） B ．（14，1） C ．（1，2） D ．（1，-2）12．设P 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>上的一点，1F 、2F 分别是双曲线的左、右焦点，则以线段2PF 为直径的圆与以双曲线的实轴为直径的圆的位置关系是（ ）A ．内切B ．外切C ．内切或外切D ．不相切二、填空题：13．点P 是抛物线x y 42=上一动点，则点P 到点)1,0(-A 的距离与P 到直线1-=x 的距离和的最小值是；14．已知P 是椭圆2214x y +=在第一象限内的点，A （2，0），B （0，1），O 为原点，求四边形OAPB 的面积的最大值_________；15．已知抛物线21y ax =-的焦点是坐标原点，则以抛物线与两坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为 ；16．若直线03=-+ny mx 与圆322=+y x 没有公共点，则n m ,满足的关系式为_______；以(m,n )为点P 的坐标，过点P 的一条直线与椭圆13722=+y x 的公共点有____个。

三、解答题：17．已知椭圆的一个顶点为)1,0(-A ，焦点在x 轴上，若右焦点到直线022=+-y x 的距离为3.（I ）求椭圆的标准方程；（II ）设直线l ：m x y +=，是否存在实数m ，使直线l 椭圆有两个不同的交点M 、N ，且AN AM =，若存在，求出 m 的值；若不存在，请说明理由.18．如图，椭圆by a x 222+＝1（a ＞b ＞0）与过点A （2，0）B(0,1)的直线有且只有一个公共点T ，且椭圆的离心率23=e . （I ）求椭圆方程；（II ）设F 1、F 2分别为椭圆的左、右焦点，求证：2121||||||2AT AF AF ＝.19．已知菱形ABCD 的顶点A C ，在椭圆2234x y +=上，对角线BD 所在直线的斜率为1． （Ⅰ）当直线BD 过点(01)，时，求直线AC 的方程； （Ⅱ）当60ABC ∠=时，求菱形ABCD 面积的最大值．20．已知△OFQ 的面积为26OF FQ m ⋅=.（I 646m ≤≤OFQ ∠正切值的取值范围； （II ）设以O 为中心，F 为焦点的双曲线经过点Q （如图），26||,(1)4OF c m c ==-，当 ||OQ 取得最小值时， 求此双曲线的方程。

21．已知抛物线C ：22y x =，直线2y kx =+交C 于A B ，两点，M 是线段AB 的中点，过M 作x 轴的垂线交C 于点N ．（Ⅰ）证明：抛物线C 在点N 处的切线与AB 平行；（Ⅱ）是否存在实数k 使0=⋅NB NA ，若存在，求k 的值；若不存在，说明理由．参考答案一、选择题1．B.2．A.3．C.4．C. 5．D ．．6．A. 7．A. 8．C ．9．A 10．C.11．12．C. . 二、填空题 13．2 ．14．2 15．2. 16．0<m 2+n 2<3三、解答题17．（I ）∴椭圆方程为1322=+y x . （II ）设M （x 1,y 1）,N(x 2,y 2), 由 22,1,3y x m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得4x 2+6mx+3m 2-3=0. 当判别式△>0 时，4)1(3,2322121-=⋅-=+∴m x x m x x221my y =+∴ ---------------9分AN AM = 22222121)1()1(++=++∴y x y x∴)22(23+-=-mm , 故 m=2，但此时判别式0=∆,∴满足条件的m 不存在. ------------------12分18．解：（Ⅰ）过 A 、B 的直线方程为 12xy +=.由题意得22221112x y a b y x ⎧+=⎪⎪+⎨⎪=-+⎪⎩有惟一解.即 2222221()04b a x a x a b +-+=有惟一解,所以 2222(44)0(0),a b a b ab ∆=+-=≠ ------------------3分故22440a b +-=.因为2c =,即22234a b a -= ， 所以224a b = 从而, 得 2212,,2a b ==故所求的椭圆方程为22212x y +=. ------------------6分（Ⅱ）由（Ⅰ）得c =, 所以12(F F . 由 22221112x y a b y x ⎧+=⎪⎪+⎨⎪=-+⎪⎩ 解得 121,x x ==, ------------------9分因此1(1,)2T =. 从而 254AT =,因为1252AF AF ⋅=, 所以21212AT AF AF =⋅. ------------------12分19．解：（Ⅰ）由题意得直线BD 的方程为1y x =+．因为四边形ABCD 为菱形，所以AC BD ⊥．于是可设直线AC 的方程为y x n =-+．由2234x y y x n ⎧+=⎨=-+⎩，得2246340x nx n -+-=．------------------2分 因为A C ，在椭圆上，所以212640n ∆=-+>，解得n <<． 设A C ，两点坐标分别为1122()()x y x y ，，，，则 1232nx x +=，212344n x x -=，11y x n =-+，22y x n =-+． 所以 122ny y +=． ------------------4分所以AC 的中点坐标为344n n ⎛⎫⎪⎝⎭，．由四边形ABCD 为菱形可知，点344n n ⎛⎫⎪⎝⎭，在直线1y x =+上，所以3144n n=+，解得2n =-． 所以直线AC 的方程为2y x =--，即20x y ++=． -----------------7分 （Ⅱ）因为四边形ABCD 为菱形，且60ABC ∠=，所以AB BC CA ==．所以菱形ABCD的面积2S =． ------------------9分 由（Ⅰ）可得22221212316()()2n AC x x y y -+=-+-=，所以2316)433S n n ⎛=-+-<< ⎝⎭． 所以当0n =时，菱形ABCD的面积取得最大值------------------12分 20．解：（I ）设OFQ θ∠=, 则||||cos()1||||sin 2OF FQ mOF FQ πθθ⎧⋅-=⎪⎨⋅⋅=⎪⎩tan m θ⇒=- . ---------------3分6m ≤≤,4tan 1θ∴-≤≤-. ------------------5分（II ）设所求的双曲线方程为221111221(0,0),(,),(,)x y a b Q x y FQ x c y a b-= >> =-则 ∴11||||2OFQ S OF y ∆=⋅=∴1y =又∵OF FQ m ⋅=，∴2111(,0)(,)()1OF FQ c x c y x c c c ⋅=⋅-=-⋅=). -----------------9分211,||4x c OQx ∴= ∴==≥当且仅当4c=时，||OQ 最小，此时Q 的坐标是或22222266141216a ab b a b ⎧⎧-==⎪⎪∴ ⇒⎨⎨=⎪⎩⎪+=⎩， 所求方程为221.412x y -= ------------------12分 21． 解：（Ⅰ）如图，设211(2)A x x ，，222(2)B x x ，， 把2y kx =+代入 22y x =得2220x kx --=， ---------------2由韦达定理得122kx x +=，121x x =-， ∴1224N M x x kx x +===， ∴N 点的坐标为248k k ⎛⎫⎪⎝⎭，．设抛物线在点N 处的切线l 的方程为284k k y m x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭， 将22y x =代入上式得222048mk k x mx -+-=，------------------5分直线l 与抛物线C 相切，2222282()048mk k m m mk k m k ⎛⎫∴∆=--=-+=-= ⎪⎝⎭，m k ∴=．即l AB ∥． ------------------7分（Ⅱ）假设存在实数k ，使0NA NB =，则NA NB ⊥.又M 是AB 的中点，1||||2MN AB ∴=． ------------------9分 由（Ⅰ）知121212111()(22)[()4]222M y y y kx kx k x x =+=+++=++22142224k k ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭． MN ⊥x 轴，22216||||2488M N k k k MN y y +∴=-=+-=． ------------------12分.2,16141816.16121)1(4)2(14)(1||1||2222222212212212±=+⋅+=+∴+⋅+=-⨯-⋅+=-+⋅+=-⋅+=k k k k k k k k x x x x k x x k AB 解得又即存在2k =±，使.0=⋅NB NA。