有效数字的运算
运算规则：
1、可靠数字和可靠数字运算，结果为可靠数字；
2、可疑数字和其它数字运算，结果为可疑数字；
3、运算结果只保留一位可疑数字，并按“五下舍、 五上进，奇进偶舍指整五”取舍。
有效数字的运算
1 、加、减法 ： 经加、 减运算后，计算结果 中小数点后面应保留 的位数和参与运算的 诸数中小数点后位数 最少的一个相同。 2、乘、除法：经乘、 除运算后，计算结 果的有效数字与诸 因子中有效数字最 少的一个相同。 4.178 • × 10.1 • 4178 • 4178 • 421978=42.2
带有粗大误差的实验数据是不可靠的。 一旦发现测量数据中可能有粗大误差数据存在，
应进行重测！
如条件不允许重新测量，应在能够确定的情况下， 剔除含有粗大误差的数据。但必须十分慎重。
第三节 随机误差的处理
1．随机误差的正态分布规律 对某一物理量在相同条件下进行多次重复测量，由于随机 误差的存在，测量结果A1，A2，A3，…，An一般都存在着一定 的差异。如果该物理量的真值为 A ０ ，则根据误差的定义，各 次测量的误差为 ( i =1，2，…，n)
范围就较宽，说明测量的离散性大，精密度低，如图上页所示。
2．标准误差的统计意义
可以证明，标准误差可由下式表示
该式成立的条件是要求测量次数
与以上三个积分式所对应的面积如图所示。
标准误差所表示的统计意义
对物理量A任做一次测量时， 测量误差x 落在- 到+之间的可能性为68.3%， 落在-2 到+2之间的可能性为95.5%， 而落在-3到+3之间的可能性为99.7%。
1.85cm=18.5mm=1.85×104μm 1.85cm≠18.50mm 1.85cm≠18500 μm
有效数字的读取
1、一般读数应读到最小分度以下再估一位。
2、有时读数的估读位，就取在最小分度位。例 如，仪器的最小分度值为0.5，则0.1-0.4,0.60.9都是估计的，不必估到下一位。 3、游标类量具，读到卡尺分度值。 4、数字式仪表及步进读数仪器不需估读。
系统误差按产生原因的不同可分为:
（1）仪器误差 （2） 方法误差 （3）个人误差
（4）环境 条件误差
注意：
依靠多次重复测量一般不能发现系统误差的存在。
2、随机误差
相同的实验条件下 /94
每次测量结果可能都不一样， 测量误差或大或小、或正或负， 完全是随机的 次数足够多
正态分布 （高斯分布）
误差的大小以及正负误差的出现都是服从某种统计分布 规律的。我们称这种误差为随机误差。
3、合成不确定度（“方和根”法） 如果不确定度的各个分量是相互独立变化的，则
4、总不确定度U
c 是置信因子
U的置信概Байду номын сангаас:
c =1
p= 68.3%
c =2
p= 95.5%
c =3
p= 99.7%
一般来说，在测量结果的后面都要标明所对应的置信 概率(只有取2时可以不标）。
5、相对不确定度
第六节 直接测量量的结果表示与评价
大学物理实验 数据处理方法与技巧
物理与工程技术学院
测量与测量误差
测量结果的不确定度
有效数字的运算
数据处理的几种常见方法与技巧
第一节 测量与测量误差
1、测量及其分类 测量: 将待测量直接或间接地与另一个同类的已知量相比较， 把后者作为计量单位，从而确定被测量是该计量单位的多 少倍的物理过程。 分类:
式中， 是一个取决于具体测量条件的常数，称为标准误差。
由图可以看出：
当σ值较小时，正态分布曲线高而窄，表示误差分布在较小范围 之内，测量数据的离散性小，重复性好，即精密度高。
当σ值较大时，正态分布曲线低而宽，表示误差在较大范围内变
动，测量数据的离散性大，重复性差，即精密度低。
标准误差σ反映的是一组等精度重复测量数据的离散性。
3、相对误差
表示绝对误差在 整个物理量中所 占的比重，一般 用百分比表示
1000米—1米—0.1%
100厘米—1厘米—1%
表示方法：1000±1米； 100±1厘米
绝对误差与相对误差的大小反映了测量结果的精确程度
按照误差产生的原因和基本性质可分为： 系统误差 随机误差 粗大误差
1、系统误差
在相同条件下多次测量同一量时，测量结果出现固定的偏差，即误差的大 小和符号始终保持恒定，或者按某种确定的规律变化，这种误差就称为系统误 差。 原因可知，有规律
随机误差主要是由于测量过程中一些随机的或不
确定的因素所引起的(电源电压、气流、个人感官)。
温度忽高忽低
气流飘忽不定
电压漂移起伏
随机误差的出现带有某种必然性和不可避免性。 系统误差与随机误差有着不同的产生原因和不同的 性质。因此，它们对测量结果的影响也各不相同。
三个常用术语
（1）准确度
表征测量结果的系统误差的大小，即测量结果对真值的偏离大小。
(2)对称性 －－大小相等、符号相反的误差出现的概率相等。 (3)有界性 －－绝对值非常大的正、负误差出现的概率趋近于 零。 (4)抵偿性 －－当测量次数趋近于无限多时，由于正负误差互 相抵消，各误差的代数和趋近于零。
f(x)的意义： 误差出现在 x 处单位误差范围内的概率。 f(x)dx 是误差出现在 x 至 x+dx 区间内的概率，就是 图中阴影包含的面积元。 整个误差分布曲线下的面积为单位 1 ，这是由概率密 度函数的归一化性质决定的。 根据统计理论可以证明，函数 f(x) 的具体形式为：
直接测量
间接测量
等精度测量 不等精度测量 要素：待测对象、 测量者、环境条件、测量仪器、测量方法
二 测量误差及其分类
1、真值与测量值
被测量在一定条件下的真实大小，称为该量的真值，记为 A。， 而把某次对它测得的值称为测量值，记为A
2、绝对误差
A A A0
E A A0 1000 0
2．未定系统误差的处理 实验中使用的各种仪器、仪表、各种量具，在制造时都 有一个反映准确程度的极限误差指标，习惯上称之为仪器 误差，用来 表示。这个指标在仪器说明书中都有明确 的说明。
第五节 测量结果的不确定度
对一个量进行测量后，应给出测量结果，并要对测量结 果的可靠性作出评价。引入“不确定度”这一概念来评价测量 结果的可靠程度。 1．不确定度的基本概念 测量结果的不确定度也称实验不确定度，简称为不确定度， 是对被测量的真值所处量值范围的评定。 不确定度给出了在被测量的平均值附近的一个范围，真值
A 类不确定度分量 (简称A分量)
指用统计的方法评定的不确定度分量，用 表示（脚
标 i 代表 A 类不确定度的第 i 个分量）。
在物理实验课中，A 类不确定度主要体现在用统计的
方法处理随机误差。
设 对 物 理 量 进 行 多 次 测 量 得 到 的 测 量 列 为 由下式计算 ，则物理量 A 的不确定度的A分量可
前面已经证明，当测量次数趋于无穷时, 因此，在有限次测量的条件下，用算术平均值作为真值 的最佳估计值是合理的。于是有
( p 95.5%)
直接测量的不确定度 1. 相同条件下多次测量的情形
假定在相同条件下对某一物理量A的测量列 为 ，并假定测量中已定系统误差不存在 或已修正，同时没有疏失误差。则多次测量的合成不确定 度为
其中
此式是只考虑一种A类分量和一种B类分量时简化的合成 不确定度。其中
2. 单次测量的情形
式中A1 为一次测量值,U 是总不确定度。一次测量无法计算不 确定度的A 分量, 故 U 的值仅由不确定度的B分量一项决定。 即
第七节 间接测量量的结果表示与评价
设间接测量量 Y 是各直接测量量 X1, X2, Xn 的 函数，一般可写为
然后再根据该项误差服从的分布规律而确定出置信系数C，
简化假定: 在大学物理实验课中，未定系统误差就是实验 所用的仪器误差。
注意
仪器误差也服从一定的分布规律，最常
见的是正态分布和均匀分布。 正态分布： 取 C＝3 均匀分布： 取 C＝
均匀分布： 所谓均匀分布是指在测量值的某一范围内，测量结果
取任一可能值的概率相等，而在该范围外的概率为零。
大量实践证明，随机误差 xi 的出现是服从一定的统计分
布——正态分布(高斯分布)规律的，亦即对于大多数物理测量， 随机误差 xi 具有以下性质:
如图 随机误差的正态 分布曲线 图中横坐标为误差， 纵坐标为误差的概率 密度分布函数。
随机误差具有的性质：
(1)单峰性 －－绝对值小的误差出现的概率大，绝对值大的误 差出现的概率小。
3. 测量列的平均值 用测量列A1, A2, An表示对物理量进行次测量所得的测量 值，那么每次测量的误差为：
将以上各式相加得：
由此可得：
由于
由此可得
所以
结论
可以用有限次数重复测量的算术平均值 作为真值 的最佳估计值。 由于平均值只是最接近真值但不是真值，因此，误差 也是无法得到的。在实际测量的数据处理中，用偏差来 估算每次测量对真值的偏差。偏差的定义为
4.有限次测量的标准偏差
可以证明，当测量次数为有限时，可以用标准偏差 S 作为标准误差的最佳估计值。S 的计算公式为
贝塞尔(Bessel)公式
5、有限次测量算术平均值的标准偏差 对A的有限次测量的算术平均值 也是一个随机变量。 也存在标准偏差，这个标准偏差用 表示。可以证明：
的统计意义：
被测量的真值
（2）精密度
表征测量结果随机误差的大小，即对同一物理量在相同的条件下多 次测量所得的各测量值相互接近的程度。
（3）精确度
表征对准确度和精密度的综合评价。
用射击打靶的结果进行类比，以说明这三个概念。