重要组成部分： 首项 a1 ， 每一项 a1 , a 2 , a3 , a 4 通项 a n Y3:分类： [项数角度] 有限数列 无限数列 如： {1，2，3，5，8，13，21，34……} 常数数列 ⊃ 单项数列 如： {1} ，
[常数角度]
多项数列 如： {1,1,1,1,1,1,1} 非常数数列 如：{1，2，3，5，8，13，21} [项的正负性角度] 纯正数数列 如：{1，2，3，5，8，13，21} （ a n > 0 ） 纯负数数列 如：{-2，-4，-6，-8，-10，-12……} （ an < 0 ）
+ an
⎧ S n − S n −1 (n ≥ 2, n ∈ N * ) ⎩ S1 (n = 1)
[函数]数列是定义域为自然数集，值域为实数集的函数。 [表示方法] 列表法、图像法、解析法、递推法 [两项之间的关系] ⊃ 相邻两项 [等差数列] a n − a n −1 = d [等比数列]
an = q ( q ≠ 0) a n −1
2
S 2 n −1 2n − 1
n
[积与通项之间的关系] 等比数列 an =
Tn 2 a1 S tk − S (t −1) k Stk − S(t −1) k }
2 n
= an −1 • an +1 (n ≥ 2)
间隔 k 项的三项
[等差数列] [等比数列]
2an = an − k + an + k (n ≥ k + 1)
a 2 n = an − k • an + k (n ≥ k + 1)
ma m − na n m−n
特殊三项： a n , a m , a n + m
1，2，3，5，8，13，21，34 ……,这一列数就是著名的“斐波那契数列” 。 阐述定义：按一定的顺序排列的一列数叫做数列。 数列的函数定义：数列的每一项与它的序号（项数）相对应，这样对于正自然数集（或它的 有限子集）中的每一个元素，数列都有一项与之对应，因此，数列可以看作是以正整数集（或其子集） 为定义域的函数，即 a n = f (n), n ∈ N 。
[等差数列] a n + m =
[等比数列]an ) n ( am ) m
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[四项之间的关系] a m , a n , a p , a q ； （m + n = p + q ） [等差数列] 若 m + n = p + q ，则 a m + a n = a p + a q 若 m = n, p + q = 2m ，则 2a m = a p + a q [等比数列] 若 m + n = p + q, 则a m ⋅ a n = a p ⋅ a q 若 m = n, p + q = 2m ，则 a m = a p + a q [和与通项之间的关系] 等差数列 a n =
正负相间数列 如：{2，-4，8，-16，32,-64……} 先正后负数列 如：{10，7，4，1，-2，-5，-8……} 先负后正数列 如：{-12，-8，-4，0，4，8，12……} [单调性角度] 递减数列 递增数列 [周期性角度]
a n −1 > a n 或a n −1 ≥ a n a n −1 < a n 或a n −1 ≤ a n
高中数学数列综合讲义
知识点+模型总结+高考题全部类型解析
一、理解概念： L1:概念：数列：按一定次序排列的一列数。 L2:上位是：特殊的集合。 L3:特殊之处： 〔顺序〕数字按一定次序排列。 〔定义域〕非零的正整数。 L4:举例：1、数列 1，–1，1，–1…… 2、1，2，3，4…… 3、数列 1，4，9，16…… 二、研究概念： Y1:背景：一颗枝繁叶茂的大树会给周围的环境带来凉爽和清新的空气，但树木从幼苗长成大树，需要 经过多少年，它的枝芽分布怎么样，我们可能很少去关心，但生物学家和数学家都注意到：由于新生的 枝条，往往需要“休息”一段时间，供自身成长，而后才能萌发新枝。所以他们设想：一株树苗在一年 以后生长出一条新枝；第二年新枝休息，老枝依旧萌发；此后，老枝条与休息过一年的新枝条同时萌发， 当年生的新枝则次年休息。这个规律在生物学上被称为“鲁德维格定律” 。 依据鲁德维格定律，一株树木各年份的枝条数，依次为以下一列数： 年数 枝条 数 1 1 2 2 3 3 4 5 5 8 6 13 7 21 8 34 …… ……
[等和数列] a n + a n −1 = r [等积数列] a n ⋅ a n −1 = t 任意两项 [等差数列] a m − a n = (m − n)d [等比数列] [三项之间的关系] ⊃
am = q m − n ( q ≠ 0) an
（等差中项） （等比中项）
相邻三项
[等差数列] 2an = an −1 + an +1 (n ≥ 2) [等比数列] a
周期数列 如：{2，4，8，7，2，4，8，7，2，4，8，7……} 非周期数列 [对称性角度] 对称数列 如：{3，5，7，9，11，13，11，9，7，5，3} 非对称性 如：{1，2，3，5，8，13，21} [最值角度] 有最值的数列 没有最值的数列 [递推公式角度] 有递推公式数列 没有递推公式的数列 [有界性角度] 有界数列 无界数列 Y4:条件：按照一定次序排列的一列数。 如：{1，
*
Y2:构成：
[项]
a1 , a 2 , a3 , a 4
[首项] a1 本质：[两项之间的关系]
a n − a n −1 = d a n + a n −1 = r a n ⋅ a n −1 = t
an = q ( q ≠ 0) a n −1
等差数列 等和数列 等积数列
等比数列
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1 1 1 1 , , , 2 3 4 5
} （ 0 < an ≤ 1）
如：{1，2，3，4，5……}
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Y5:性质： [首项] a1 [通项] a n [项的次序] 数列具有有序性。 （即几个相同的数，由于它们的排列次序不同，就将构成不 同的数列） [前 n 项和] S n = a1 + a 2 + a3 + a 4 + [前 n 项和与通项] an = ⎨