第三章 静电场中的电介质
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本次课内容
§3.6. 有电介质时的 静电场方程 §3.7. 电场的能量 § 静电场部分复习 静电场方程 场能密度
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介质中的静电场方程
§3.6 介质中的静电场方程
一、静电场方程 真空中静电场的基本方程： q E dS

l
0 E dl 0
s
对任意闭合曲面 对任意闭合曲线
r

UP
q 40 r
q
2
rP
dr
q 40 rP

R
d
R rP R d :
UP
Rd rP
r
q
1 r 1 dr dr ( ) 2 2 R d 40 r r 40 r 40 r rP R d q
Rd
rP R :
We 1 1 1 2 we E E E D E V 2 2 2
物理意义 电场是一种物质，它具有能量；单位体积内的能量为场能密度。
1 We E 2V 2
空间某点的电场场能密度：
1 1 2 we E DE 2 2
电场中某空间范围V内的电场能量：
1 We we dV E 2dV V V 2
q内 0， 表 0E
3.场强分布 导体表面附近的场强: E＝ n 0
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4.导体接地问题：
q
－ Q’
q
Q
U A U地 U 0
A上将不会带有与B上同号电荷
B
A
5.静电屏蔽问题：
E
空腔导体屏蔽外电场
接地导体壳有效的屏蔽了内电场
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6. 计算有导体存在时的静电场分布问题的基本依据
r R:
Ur q 4 0 r q '內 4 0 r q '外 4 0 r
1 r 1 q ( ) 4 0 r r r 4 0 r q
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静电场中的导体和电介质 强化练习
1、半径为R的金属球与地连接．在与球 心 O 相 距 d=2R 处 有 一 电 荷 为 q 的 点 电 荷．如图所示，设地的电势为零，则球上 的感生电荷q′为

( r 1)q ( r 1)q q 1 1 ( r ) 4 0 r R 4 0 r ( R d ) 4 0 r R R d
半径为R，带电Q的球壳的电势分布
R r Rd :
Ur
q 4 0 r

q '內 4 0 r

q '外 4 0 R2
(1)点电荷的电势分布:
(2)点电荷系的电势分布:
(3)任意带电体的电势分布:
叠加法 电势的计算 定义法
U dU
i
UP E dl
P

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静电场中的导体和电介质
一.静电场中的导体 1.导体静电平衡条件: E内 0 导体是等势体，导体表面是等势面，
E表面 表面
×
E0
2.导体静电平衡时的电荷分布 电荷只分布在表面,导体内部电荷处处为零。
有介质时的静电场基本方程：
引入电位移矢量： D 0 E P
对各向同性线性电介质 D E
D dS q
S
0

l
E dl 0
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电场的能量
§3.7 电场的能量
一. 电场是能量的携带者
对平行板电容器
1 1 S 1 2 2 We CU ( )( Ed ) E 2V E 2 2 2 d 2
q0 2 8π

R
q0 2 1 dr 2 r 8π R
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静电场部分小结
一、真空中静电场的性质和规律
q1q2 F 12 e 一个实验规律：库仑定律 2 12 4 0 r12 两个定理：高斯定理、环流定理。 e E d S 1 (1)高斯定理: e E d S qi 电通量： s
2
q '內 q '外
( r 1)q
( r 1)q
r
r
导体球带 电q，分 布于表面
r
R
d
空间的电势分布是三个带电球面的电势叠加：
r R:
Ur q 4 0 R q '內 4 0 R 4 0 R d q '外
r

q 4 0 R
(3)任意带电体的场强分布:
1 dq E dE e 2 0 4 0 r V V
dl dq dS dV
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3. 电场强度分布的典型结论
(1) 无限长均匀带电直线的场强分布: E 2 0 a
(2)均匀带电圆环轴线上的场强分布: E
xq 4 0 ( x R )
1.电场能量: We we dV
V
2.能量密度: we 1 E 2 1 E D
2 2
2 1 1 Q 3.电容器的储能: We QU CU 2 2 2 2C
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例: 如图, 正方形平行板电容器边长为a, 充电至U0后断电. 求把介质缓慢抽出过 程中外力所作的功AF和介质块所受电力 Fe. （略边缘效应, 热损耗. ）
解: 1. 断电后Q不变. 抽介质前后:
r d

0a 2
d C0
C0
S 0 r a 2
d = d
C

r
Q Q U0 U rU 0 C0 C
2 0 r ( r 1 )a 2 2 CU 2 C 0U 0 AF We U0 2 2 2d
R r Rd :
r
R
导体球带 电q，分 布于表面
d
r
Ur
q 4 0 r

q '內 4 0 r

q '外 4 0 R2
( r 1)q ( r 1)q q 1 r 1 ( ) 4 0 r 4 0 r r 4 0 r R2 4 0 r r R d q
•
AF > 0, 外力克服电力作正功.
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2. 缓慢抽出
Fe F外
r
We Q 2 / (2C ), 断电 , Q不变
x x dx : dAF F外dx dWe
dWe Q 2 d 1 F外 dx 2 dx C
d
而 Q C0U0 0 r a U0 d ;
U P 0 dr
r R
q 40 r r
2
R
dr

q 40 r
Rd
dr 2
q 40 r
(
1 r 1 ) R Rd
22
( r 1)q '內 4 r R 2
'外
4 r R d ( r 1)q
( r 1)q
21
0 q
( r R)
2
（3）各点的电势分布 选无限远处为势能零点，空间一点
E

4 0 r r q 4 0 r 2
(R r R d ) (r R d )
P的电势为：
U P E dl Edr
P rP

rP R d :
Q U r 4 R 0 U Q r 4 0 r
(r R) (r R)
( r 1)q ( r 1)q '內 q '內 2 4 r R1 r ( r 1)q q ' ( r 1)q '外 外 2 r 4 r R2
2
C C1 C 2
代入上式, 得:
0ax
d

0 r a(a x )
d
(两电容器并联)
0 r2 ( r 1)a 3 Fe F外 U0i 2 2d[ r a ( r 1) x]
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例 如图，半径为R的导体球带有电荷q，球外贴有一层厚度为d， 相对介电常数为εr 的电介质，其余空间为真空。求： （1）空间各点的电场强度分布； （2）电介质内、外表面的极化电荷面密度； （3）各点的电势分布。
2 2 3 2
x (3)均匀带电圆盘轴线上的场强分布: E (1 ) 2 2 2 0 R x E (4) 无限长均匀带电平面的场强分布: 2 0
(5)均匀带电球面的场强分布:
0 E q 2 4 r 0
rR rR
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叠加法
E
S
i
场强的计算
高斯定理法 梯度法
E D
0 r

D

P '
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三.电容 电容器 1.孤立导体: C q 3.电容的计算 4.串联: 5. 并联: 2.电容器: C
q U A UB
U
1 1 1 1 C C1 C 2 Cn
C C1 C 2 C n
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四.电场能量
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电场的能量
例题1 绝对介电常数为的均匀无限大各项同性电介质中有一金属球，
球半径为R的带电量q0，求静电场的总能量。
解：
由静电平衡条件知：E 0 (r R)
q0 由介质中的高斯定理得： E 4π r 2
( r R)
1 场能密度： we E 2 2
q0 2 1 2 ) 4πr 2dr 空间总静电能：We E dV R ( 2 2 4π r 2 V
解：（1）根据对称性，作如图所示的球半径
为r的同心球形高斯面，应用有介质时的 高斯定理