如图在 △ ABC 中，D,E 分别是AB,AC 上的点如图(1)(或D 在BA 的延长线上， E 在AC 上如图2)， 则 ABC : ADE =(AB AC)： (AD AE)厘米，求△ ABC 的面积.【解析】 连接 BE , S A ADE ：S A ABE 二 AD ： AB =2:5 =(2 4):(5 4),SA ABE : S A ABC 二 AE: AC = 4： 7 = (4 5) : (7 5)，所以 S A ADE : S A ABC = (2 4) : (7 5),设 S A ADE = 8 份， 则S A ABC =35份，S A ADE =16平方厘米，所以1份是2平方厘米，35份就是70平方厘米，△ ABC 的 面积是70平方厘米.由此我们得到一个重要的定理， 共角定理：共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比【巩固】如图，三角形 ABC 中，AB 是AD 的5倍，AC 是AE 的3倍，如果三角形 ADE 的面积等于1，那 么三角形ABC 的面积是多少？••• EC =3AE--S ABC=3S_ABE又••• AB =5AD「•S LADE = S_ABE ' 5 = S_ABC 15 , — S ABC =15S ADE =15 .【巩固】如图，三角形 ABC 被分成了甲(阴影部分)、乙两部分,鸟头模型角形中有一个 补，这两个三 角三角形.共角三角形的面积比等于对应角 (相等角或互补角)两夹边的乘积之比.【例1】如图在△ ABC 中, D,E 分别是 AB,AC 上的点，且 AD: AB =2:5 , AE:AC=4:7 ,S A ADE *6平方BD =DC =4 , BE =3 , AE =6，乙部分面图⑵【解析】积是甲部分面积的几倍?【解析】连接AD •••• BE =3 , AE =6AB = 3BE , S ABD =3S BDE 又••• BD 二DC =4 ,…S ABC -2S ABD，…S ABC - 6S BDE ,【例2】如图在△ ABC中，D在BA的延长线上，E在AC上，且AB:AD=5:2 , AE：EC=3：2，S A ADE =12平方厘米，求△ ABC的面积•【解析】连接BE , S M DE：S A ABE二AD ： AB =2:5 =(2 3): (5 3)S A ABE S ABC=AE: AC =3:(3 2)=(3 5): 1(3 2) 5 ],所以S A ADE : S A ABC - (3 2):5 (3 * 2) 1 = 6 ： 25，设S^ADE = 6 份，贝U S^ ABC = 25 份，S AADE -12 平方厘米，所以1份是2平方厘米，25份就是50平方厘米，△ ABC的面积是50平方厘米.由此我们得到一个重要的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比【例3】如图所示，在平行四边形ABCD中，E为AB的中点，AF =2CF，三角形AFE(图中阴影部分)的面积为8平方厘米•平行四边形的面积是多少平方厘米？【解析】连接FB•三角形AFB面积是三角形CFB面积的2倍，而三角形AFB面积是三角形AEF面积的2 倍，所以三角形ABC面积是三角形AEF面积的3倍；又因为平行四边形的面积是三角形ABC面积的2倍，所以平行四边形的面积是三角形AFE面积的(3 2)6倍•因此，平行四边形的面积为8 6 =48(平方厘米).【例4】已知△ DEF的面积为7平方厘米，BE =CE, AD =2BD,CF =3AF，求△ ABC的面积.【解析】S A BDE : S A ABC =(BD BE) ：(BA BC)=(1 1):(2 3) =1:6 ,S MEF ： S ^ABC =(CE CF):(CB CA) =(1 3):(2 4) =3:8S*DF： S*BC =(AD AF): (AB AC) =(2 1):(3 4) =1:6设 S A ABC =24 份，则 S ^ BDE = 4 份，S ^ ADF =4 份，S ^ CEF = 9 份，S ^ DEF = 24 - 4- 4 - 9 = 7 份，恰好是 7 平方厘米，所以S A ABC =24平方厘米【例5】如图，三角形 ABC 的面积为3平方厘米，其中 AB:BE=2:5 , BC:CD=3:2，三角形BDE 的面积 是多少？=180，所以可以用共角定理，设 AB = 2份，BC =3份，贝U BE =5份，BD =3 2 =5 份，由共角定理 S A ABC : S A BDE =(AB BC):(BE BD)=(2 3):(5 5)=6:25，设S A ABC =6份，恰好是3平方厘米，所以1份是0.5平方厘米，25份就是25 0.5 = 12.5平方厘米，三角 形BDE 的面积是12.5平方厘米1 1 【例6】(2007年”走美”五年级初赛试题)如图所示，正方形ABCD 边长为6厘米，AE=」AC , CF 二1234 BC .33连接AE 、CD .S ABC =1 ,-• S DBC =1 .同理可得其它，最后三角形 DEF 的面积=18 .(法2)用共角定理•••在L ABC 和LCFE 中，.ACB 与.FCE 互补,11 2【解析】 由题意知AE = - AC 、CF =-BC ，可得CE =—AC .根据”共角定理”可得，3 3 3S A CEF : S A ABC = (CF ^CE): (CB 汉 AC2 J (^<3^2: 9 ； 而 S A ABC =6 ^6 弓2 =18 ;所以 S A CEF =4 ;同理得，S A CDE : 2 ACD = 2 ：3 ； , S A CDE =18^32 =12 , S A CDF- 6故 S A DEF - S A CEF S A DEC - S A DFC =4，12-6=10 (平方厘米).【例7】如图，已知三角形 ABC 面积为1，延长AB 至D ，使BD 二AB ;延长BC 至E ，使CE =2BC ;延长【解析】 由于.ABC .DBE 角形DEF 的面积为 _______ 平方厘米.【解析】(法1)本题是性质的反复使用.S ABC AC BC 11 1 S FCE - FC CE "^"2 "8 ■又 S ABC =1，所以 S FCE =8- 同理可得 S ADF -6 , §BDE =3 .所以 S DEF = S ABC ' S FCE ' S ADF ' S BDE =1 ' 8 ' 6 ：：3=18 .【例8】如图，平行四边形 ABCD , BE =AB , CF = 2CB , GD =3DC , HA = 4AD ，平行四边形 ABCD 的 面积是2 ,求平行四边形 ABCD 与四边形EFGH 的面积比.【解析】连接AC 、BD •根据共角定理•••在△ ABC 和 △BFE 中，乙ABC 与乙FBE 互补, .S ^ ABC AB BC 11 1 S ^ FBE BE BF1 ：： 3 3又 S ^ ABC =1，所以 S ^FBE -3 .冋理可得 S AGCF =8 , S ^DHG =15 , S A AEH =8 .所以 S E FGH 二 S A AEH ' S A CFG ' S A DHG + S A BEF +S ABCD =8+8+15+3+2 =36 .冋理 S A ABD : S A AHE -1： 2，即 S A AHE - 2 S A ABD 所以S A AHES A CGF = 2(S △CBDS A ADB )=2窃边形 ABCD连接AC ，冋理可以得到S A DHG ' SA BEF =2绻边形ABCDS四边形EFGH二 AHE S A CGF S A HDGS A BEF *S 四边形ABCD =5S 四边形ABCD所以S 四边形ABCD =66 "5 =13.2平方米AB 、CB 、CD 、AD 分别延长两倍至点 E 、F 、G 、H ，若 EFGH 的面积是 .所以二D SEFGH2 _ 136【例9】 如图，四边形EFGH 的面积是66平方米,的面积. EA = AB , CB =BF , DC =CG , HD =DA ,求四边形 ABCD【解析】【例10】 如图，将四边形ABCD 的四条边四边形ABCD 的面积为5，则四边形E连接BD •由共角定理得S A BCDCF) =1：2，即 S A CGF =2S A CDB【解析】连接AC 、BD •由于 BE =2 AB , BF =2BC ，于是 S BEF = 4S ；ABC ，冋理 S HDG -4S ADC • 于是 S BEF ■ SHDG = 4S ABC ' 4S ADC =4S ABCD •再由于 AE — 3AB , AH — 3AD ，于是 S AEH —9S ABD ，冋理 S CFG — 9S CBD • 于是 S AEH ' S CFG-9S ABD ' 9S ^BD =9S ABCD •那么 S EF GH = S BEF ■ S H DG +S 建EH *S 应FG —S AB CD =4S AB CD *9S AB CD —S AB CD=12S AB CD =60•1【例11】 如图，在△ ABC 中，延长AB 至D ，使BD =AB ，延长BC 至E ，使CE =丄BC , F 是AC 的2中点，若 △ ABC 的面积是2，则A DEF 的面积是多少？S ^ ABC _ AC BC _2 2 4 S A FCE 一 FC CE 一 1 1 ~1又 S ABC = 2，所以 S FCE =0.5 • 同理可得S A ADF =2 ,S A BDE =3 • 所以S A DEF = S A ABC S CEFDEB—S A ADF =2 0.5 3 -2 =3.5【例 12】 如图，S A ABC =1 , BC=5BD , AC=4EC , DG=GS 二SE , AF = FG •求 S FGS【解析】本题题目本身很简单，但它把本讲的两个重要知识点融合到一起，既可以看作是”当两个三角形有一个角相等或互补时，这两个三角形的面积比等于夹这个角的两边长度的乘积比”的反复运用，也可以看作是找点，最妙的是其中包含了找点的 3种情况•4 3 2 1 1 1 最后求得S A FGS 的面积为S A FGS ：5 4 3 2 2 10【例13】 如图所示，正方形 ABCD 边长为8厘米，E 是AD 的中点，F 是CE 的中点，G 是BF 的中点,三角形ABG 的面积是多少平方厘米？【解析】ZACB 与乙FCE 互补, •••在厶ABC 和A CFE 中,1 2因为S A BCF亠CDE82 =16，根据”当两个三角形有一个角相等或互补时，这两个三角形的面积4比等于夹这个角的两边长度的乘积比”S AEF =8，S EFG =8，再根据”当两个三角形有一个角相等或互补时，这两个三角形的面积比等于夹这个角的两边长度的乘积比”，得到S BFC =16，S ABFE =32，S J ABF =24，所以S ABG =12平方厘米.【例14】 四个面积为1的正六边形如图摆放，求阴影三角形的面积.【解析】如图，将原图扩展成一个大正三角形 DEF ，则 AGF 与CEH 都是正三角形.假设正六边形的边长为为 a ，则■ AGF 与 CEH 的边长都是4a ，所以大正三角形 DEF 的边长为4 2-1=7，那么它的面积为单位小正三角形面积的49倍•而一个正六边形是由 形组成的，所以一个单位小正三角形的面积为1,三角形DEF 的面积为畫. 6 66个单位小正三角4 3 12由于FA =4a , FB =3a ，所以「AFB 与三角形 DEF 的面积之比为 一—=一.7 7 49【解析】G C【解析】 从图中可以看出，虚线AB 和虚线CD 外的图形都等于两个正六边形的一半，也就是都等于一个正六边形的面积；虚线BC 和虚线DE 外的图形都等于一个正六边形的一半，那么它们合起来等于一个正六边形的面积；虚线 AE 外的图形是两个三角形，从右图中可以看出，每个三角形都是一个正六边1 1 11 2形面积的丄，所以虚线外图形的面积等于 1 3 •丄2 =31，所以五边形的面积是 10-3」.6 6 33 3【解析】CA 至F ，使AF =3AC ，求三角形 DEF 的面积.同理可知 BDC 、 AEC 与三角形DEF 的面积之比都为 応，所以「ABC的面积占三角形DEF 面积的1 -12 3 =迢，所以 ABC 的面积的面积为49 4949 13 136 49 6【巩固】已知图中每个正六边形的面积都是1,则图中虚线围成的五边形ABCDE 的面积是 _________。