风险理论练习题
一、简述题
1. 简述个体风险模型与聚合风险模型主要特点？
2. 简述效用理论的基本含义？
3.风险的含义包括那些方面？举例说明？
4.如何使用效用函数进行保险定价？
5.简述保费定价的的各种方法？
6.通过盈余过程简述破产的基本含义？
7. 简述调节系数的定义，并说明其存在的意义？
二.计算题
1.设理赔概率为0.1 求以下两种情况下风险X IB =的均值与方差
（1）B 以概率1等于5；（2）(0,10)B U .
2.考虑如下的分布函数:F
0,2,()/4,24,1,4.x F x x x x <⎧⎪=≤<⎨⎪≤⎩
试确定相互独立的随机变量,I X 和Y 使得(1)Z IX I Y =+-的分布函数为F ，其中I 为Bernoulli 随机变量，X 为离散型，Y 为连续性.
3.假设某保险的损失额服从指数分布1501()150
x X f x e -=保单规定免赔额为100元，赔偿限额为1000元，比例分担系数为0.8，计算()E X 和()E Y *.
4.设个体理赔变量,X IB =其中(1)0.05P I ==,B 服从[0，20]上的均匀分布，
求E X
（）和ar()
V X.
5.幸运的阿福在上班的路上总能捡到硬币，已知他平均每分钟捡到硬币的次数服从泊松分布，参数0.5
λ=，硬币的面值服从以下分布：（1）60﹪的硬币面值为1；（2）20﹪的硬币面值为5；（3）20﹪的硬币面值为10；设S表示1小时内阿福捡到硬币的总面值，求S的方差.
6.设泊松盈余过程的泊松参数1
λ=，个别理赔额分布为均值等于2的指数分布，保费收取速率为4，求破产概率().
u
ψ
7.某公司的效用函数为
1
()1
u x
x
=-，(0)
x>.当前此公司的财富为5.该公司将
要遭受一笔损失X，X的密度函数为()0.5,(02)
f x x x
=<<.为了对这笔未来的损失投保，求该公司愿意支付的最大保费.
8.某保险公司承保了如下特性的保单组合：
(1) 每张保单最多发生一次索赔，并且索赔发生的概率为0.02;
(2) 索赔发生时的个体理赔额分布如下：
理赔额 1 2 3 4
概率 0.4 0.3 0.2 0.1
(3) 安全附加系数为1/3。

为了使所收取保费总额低于赔付总额的概率不超过5%，保险公司需承保的最小保单数是多少。

9.某人拥有财产 100，其效用函数是()0)
u x x
=>
他面临的损失X的分布列是
若他购买了有免赔额的保险，保费为 10，则在此情况下他的期望效用可能的最大值为多少？
10. 某保险公司0时刻的盈余为3，每年年初的保费收入为2。

每年的理赔额如下表所示：
如果每年的年末该保险公司的盈余大余3，它将超出3的部分作为红利发放。

如果该保险公司无法支付理赔，或它的盈余为0，则该保险公司破产。

计算该保险公司第三年末不破产的概率。

11.设盈余过程中理赔过程是复合泊松过程，个别理赔额C 的密度函数
3412()23
x x x p x e e e ---=++又设调节系数R 满足方程 11131412213364R R R R +=
++---则安全附加系数θ等于多少？ 12.设保险人的效用函数为 21()2
u x x x =-，x ∈(0,1)。

假设某险种保单的理赔额X 服从0到1之间的均匀分布，求保险人所能接受的最低保费。

13.假设保险公司代理欲向某人推销一种新保单，已知该投保人的初始财富为50，效用函数为ln(x)，其面临的损失X 的分布为(0)0.5,(40)0.5P X P X ==== 保险人的初始资本为100，效用函数为0.1(),0x I u x e x -=>。

新保单规定在承保的损失发生条件下，赔偿投保人20的损失。

请问这张保单是否有可能成交？
三.证明求解题
1.如果效用函数满足()0,()0,u x u x '''><则对于随机变量X ，有(())((E u X u E X ≤
2.利用矩母函数法证明两个独立且都有共同分布(0,1)N 随机变量和仍服从正态分布.
3.设有一个鸟窝，里面的蛋数服从()Poisson λ分布，又设孵化出一只雌鸟的概率等于p ，求鸟窝中雌鸟个数的分布.
4.设有一个鸟窝，里面的蛋数服从()Poisson λ分布，又设孵化出一只雌鸟的概率等于p ，求鸟窝中雌鸟个数的分布.
P40—2、4、6、12、14
P60—1、2、5、7、9
P110—6、9、22、
P148—1、3、13、14
P164—3、4、6、10、11。