n
nA P 故 p n n
在 Bernoulli 定理的证明过程中， Y n 是相互
独立的服从 0-1分布的随机变量序列 {Xk} 的
算术平均值, Y n 依概率收敛于其数学期望 p . 结果同样适用于服从其它分布的独立随
机变量序列
Chebyshev 大数定律 设随机变量序列 X 1 , X 2 ,, X n , 相互独立，
3 概率的频率定义
在一组不变的条件下，重复作n次试验，记m是n次 试验中事件 A 发生的次数。当试验次数 n 很大时， 如果频率 m/n 稳定地在某数值 p 附近摆动，而且一 般地说，随着试验次数的增加，这种摆动的幅度 越来越小，称数值 p 为事件 A 在这一组不变的条件 下发生的概率，记作P(A)=p.
4 频率的基本性质
（1） 对任意事件A，有 （ 2）
P( S ) 1
n
P( ) 0
n
0 P( A) 1
（3）若A1，A2，…，An是互不相容的，则
P( Ak ) P( Ak )
k 1 k 1
频率定义的意义: (1) 提供了估计概率的方法; (2)提供了一种检验理论正确与否的准则. 理论依据： 大数定律
2．产生m*n阶离散均匀分布的随机数矩阵： R = unidrnd(N) R = unidrnd(N,mm,nn)
3.产生 m n 阶均值为 ，方差为 的正态分布的随机数矩阵： normrnd ( , ,m, n)
产生一个均值为 ，方差为 的正态分布的随机数： normrnd ( , )
•当研究对象视为大量相互独立的随机变量之和， 且其中每一种变量对总和的影响都很小时，可以认 为该对象服从正态分布。 •机械加工得到的零件尺寸的偏差、射击命中点与 目标的偏差、各种测量误差、人的身高、体重等， 都可近似看成服从正态分布。
4．产生 m n 阶期望值为 的指数分布的随机数矩阵： exprnd ( ,m, n )
E ( X ik ) k , i 1,2,
则 0 有
n 1 k lim P X i k 0 n n i1
记
1 n k Xi Mk n i 1
则
A1 1
P n

P n
A2 2
大数定律的客观背景 大量的随机现象中平均ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ果的稳定性
大量抛掷硬币 正面出现频率
生产过程中的 字母使用频率 废品率
……
大数定律 贝努里（Bernoulli） 大数定律
设 nA 是 n 次独立重复试验中事件 A 发生的 次数, p 是每次试验中 A 发生的概率，则
0 有
nA lim P p 0 n n
定理的意义：
具有相同数学期望和方差的独立随机变量序列
的算术平均值依概率收敛于数学期望. 当 n 足够大时，算术平均值几乎就是一个常数, 可以用算术平均值近似地代替数学期望.
例如要估计某地区的平均亩产量，要 收割某些有代表性的地块，例如n 块. 计算其平均亩产量，则当n 较大时，可用 它作为整个地区平均亩产量的一个估计.
1．产生m*n阶［a，b］均匀分布U（a，b） 的随机数矩阵： unifrnd (a,b,m, n)产生一个[a， b]均匀分布的随机数：unifrnd (a,b)
当只知道一个随机变量取值在（a，b）内，但不 知道（也没理由假设）它在何处取值的概率大，在 何处取值的概率小，就只好用U（a，b）来模拟它。
例
用蒙特卡洛方法进行计算机模拟的步骤：
[1] 设计一个逻辑框图，即模拟模型．这个 框图要正确反映系统各部分运行时的逻辑关 系。 [2] 模拟随机现象．可通过具有各种概率分 布的模拟随机数来模拟随机现象．
产生模拟随机数的计算机命令
在Matlab软件中，可以直接产生满足各种分布的随机数，命令 如下：
指数分布的均值为10。
指两个顾客到达商店的平均间隔时间是10个单 位时间.即平均10个单位时间到达1个顾客. 顾客 到达的间隔时间可用exprnd(10)模拟。
5．产生 m n 阶参数为 的帕松分布的随机数矩阵： poissrnd ( ,m, n)
•设离散型随机变量X的所有可能取值为0,1,2,…,且取各个值 k 的概率为 P( X k ) e , k 0,1,2,, 其中 >0为常数，则称X服从参数为 的帕松分布。 •帕松分布的期望值为
模拟的方法
1、物理模拟： 对实际系统及其过程用功能相似的实物系统 去模仿。例如，军事演习、船艇实验、沙盘 作业等。 物理模拟通常花费较大、周期较长，且在 物理模型上改变系统结构和系数都较困难。 而且，许多系统无法进行物理模拟，如社会 经济系统、生态系统等。
2、数学模拟
在一定的假设条件下，运用数学运算模拟系统 的运行，称为数学模拟。现代的数学模拟都是在 计算机上进行的，称为计算机模拟。 计算机模拟可以反复进行，改变系统的结构和系 数都比较容易。 在实际问题中，面对一些带随机因素的复杂系 统，用分析方法建模常常需要作许多简化假设， 与面临的实际问题可能相差甚远，以致解答根本 无法应用。这时，计算机模拟几乎成为唯一的选 择。
蒙特卡洛方法基本思想
实验目的
学习计算机模拟的基本过程与方法。
实验内容
1、模拟的概念。 2、产生随机数的计算机命令。 3、计算机模拟实例。 4、实验作业。
模拟的概念
模拟就是利用物理的、数学的模型来类比、模 仿现实系统及其演变过程，以寻求过程规律的一 种方法。 模拟的基本思想是建立一个试验模型，这个模 型包含所研究系统的主要特点．通过对这个实验 模型的运行，获得所要研究系统的必要信息
辛钦大数定律 设 X 1 , X 2 ,, X n , 相互独立，服从同一
分布，且具有数学期望 E(X k) = , k= 1,2,…, 则对任意正数 > 0
n 1 lim P X k 0 n n k 1
注3: 设随机变量序列X 1 , X 2 ,, X n , 相互独立， 具有相同的分布，且
或
nA lim P p 1 n n
nA 在概率的统计定义中，事件 A 发生的频率 n “ 稳定于”事件 A 在一次试验中发生的概率是 指： nA nA 频率 与 p 有较大偏差 p 是 n n
小概率事件, 因而在 n 足够大时, 可以用频率 近似代替 p . 这种稳定称为依概率稳定.
在Matlab命令行中输入以下命令： liti1(1,0.5,1000)
在Matlab命令行中输入以下命令： liti1(1,0.5,10000)
练习
频率的稳定性
1 事件的频率 R = binornd(N,P,mm,nn) 在一组不变的条件下，重复作n次试验， 记m是n次试验中事件A发生的次数。 频率 f=m/n 2.频率的稳定性
练习掷一枚不均匀硬币，正面出现概率为0.3， 记录前 1000 次掷硬币试验中正面频率的波动 情况，并画图。
在Matlab命令行中输入以下命令： liti1(1,0.3,1000)
例 2 掷两枚不均匀硬币，每枚正面出现概率 为0.4，记录前1000次掷硬币试验中两枚都为 正面频率的波动情况，并画图。 在Matlab中编辑.m文件输入以下命令： function liti2(n,p,mm) pro=zeros(1,mm); randnum = binornd(n,p,2,mm)；a=0; for i=1:mm a=a+randnum(1,i)*randnum(2,i); pro(i)=a/i; end pro=pro，num=1:mm;plot(num,pro)
例1 频率的稳定性
1 事件的频率 在一组不变的条件下，重复作n次试验， 记m是n次试验中事件A发生的次数。 频率 f=m/n 2.频率的稳定性 掷一枚均匀硬币，记录掷硬币试验中频率 P* 的波动情况。 R = binornd(N,P,mm,nn)
在Matlab中编辑.m文件输入以下命令： function liti1(n,p,mm) pro=zeros(1,mm); randnum = binornd(n,p,1,mm) a=0; for i=1:mm a=a+randnum(1,i); pro(i)=a/i; end pro=pro num=1:mm; plot(num,pro)
• • • • • • • • • • •
熊宇乐 y=zeros(1,1000); a=binornd(1,0.4,1,1000);b=binornd(1,0.4,1,1000); c=0;d=0; for i=1:1000 c=c+a(1,i).*b(1,i); y(i)=c/i; end y=y; num=1:1000; plot(num,y)
(指任意给定 n > 1, X 1 , X 2 ,, X n 相互独立)，且 具有相同的数学期望和方差
E ( X k ) , D( X k ) 2 , k 1,2,
则 0 有 1 n lim P X k 0 n n k 1 n 1 lim P X k 1 或 n n k 1
蒙特卡洛（Monte Carlo）方法是一 种应用随机数来进行计算机模拟的方 法．此方法对研究的系统进行随机观察 抽样，通过对样本值的观察统计，求得 所研究系统的某些参数．
蒙特卡洛方法也称为随机模拟方法,其起 源最早可以追溯到18世纪下半叶的Buffon试 验.
在1777年,法国学者Buffon提出用试验方法求圆 周率鸬闹.其原理如下：假设平面上有元数条距离 为1的等矩平行线,现向该平面随机地投掷一根长度 为KI《1〉的针,则我们可以计算该针与任一平行线 相交的概率.此处随机投针可以这样理解z针的中心 点与最近的平行线间的距离Z均匀地分布在区间 [0.1/2]上,针与平行线的夹角以不管相交与否)均匀 地分布在区间[0,而上(见图6· 。.于是,针与线相交的 充要条件是本寸,从而针线相交概率为1