蒙特卡罗方法及应用实验讲义东华理工大学核工系2016.8实验一 蒙特卡罗方法基本思想一、实验目的1、了解蒙特卡罗方法方法的基本思想；2、掌握蒙特卡罗方法计算面积、体积的方法；3、掌握由已知分布的随机抽样方法。

二、实验原理Monte Carlo 方法，又称统计模拟方法或计算机随机模拟方法，是一种基于“随机数”进行数值模拟的方法，一种采用统计抽样理论近似求解物理或数学问题的方法。

如待求量可以表述成某些特征量的期望值、某些事件出现的概率或两者的函数形式，那么可采用蒙特卡罗方法求解。

在求解某些特征量的期望值或某些事件出现的概率时，必须构建合符实际的数学模型。

例如采用蒙特卡罗方法计算某函数所围面积时，构建的数学模型是构造一已知面积的可均匀抽样区域，在该区域投点，由伯努利定理大数定理可知，进入待求区域投点的频率依概率1收敛于该事件出现的概率（面积之比）。

由已知分布的随机抽样方法指的是由已知分布的总体中抽取简单子样。

具体方法很多，详见教材第三章。

三、实验内容1、安装所需计算工具（MATLAB 、fortran 、C++等）；2、学习使用rand(m,n)、unifrnd(a,b,m,n)函数3、求解下列问题：3.0、蒲丰氏投针求圆周率。

3.1、给定曲线y =2 – x 2 和曲线y 3 = x 2，曲线的交点为：P 1( – 1，1 )、P 2( 1，1 )。

曲线围成平面有限区域，用蒙特卡罗方法计算区域面积；3.2、计算1z z ⎧≥⎪⎨≤⎪⎩所围体积其中{(,,)|11,11,02}x y z x y z Ω=-≤≤-≤≤≤≤。

4、对以下已知分布进行随机抽样：4.1、()()[]23321,0,12f x x x x =+-∈； 4.2、()()()[]11,1,21E f x f x x E k E =⋅∈+ 其中()()()()()2123221111211411ln 212221E x f x E x x x x E k E E E E E ⎧+-⎛⎫=+-+⎪ ⎪⋅⎝⎭⎪⎨+⎡⎤⎪=-⋅+++-⎢⎥⎪+⎣⎦⎩。

四、实验报告编写1、给出各题的抽样程序并解释语句的含义；2、给出3.1和3.2抽样结果误差随抽样次数的关系图，并解释原因；表1 实验记录表3、给出4.1和4.2的抽样框图、试验累积频率与理论累积频率关系图，并给出抽样次数（>106）与抽样时间。

实验二 由已知分布的随机抽样方法一、实验目的1、掌握由已知分布的随机抽样方法。

2、用编程语言实现某具体随机抽样方法。

二、实验原理由已知分布的随机抽样方法指的是由已知分布的总体中抽取简单子样。

具体方法很多，本实验综合直接抽样方法、挑选抽样方法和替换抽样方法，以散射方位角余弦分布的抽样为例。

实验原理详见教材对应章节。

1.连续型分布的直接抽样方法对于连续型分布，如果分布函数F(x) 的反函数F －1(x)存在，则直接抽样方法是：1()F X F ξ-=2.挑选抽样方法为了实现从己知分布密度函数f(x)抽样，选取与f(x)取值范围相同的分布密度函数h(x)，如果()sup()x f x M h x -∞<<∞=<∞ 则挑选抽样方法为：3.替换法抽样方法为了实现某个复杂的随机变量 y 的抽样，将其表示成若干个简单的随机变量x 1，x 2，…，x n 的函数12(,,,)n y g x x x =得到 x 1，x 2，…，x n 的抽样后，即可确定 y 的抽样，这种方法叫作替换法抽样。

蒲丰氏问题的算法 如何产生任意的（x,θ）？x 在［0，a ］上任意取值，表示x 在［0，a ］上是均匀分布的，其分布密度函数为：11/,0()0,a x af x ≤≤⎧=⎨⎩其他 类似地，θ的分布密度函数为：21/,0()0,f πθπθ≤≤⎧=⎨⎩其他 因此，产生任意的（x,θ）的过程就变成了由f 1(x)抽样x 及由f 2(θ)抽样θ的过程了。

由此得到：12x a ξθπξ==其中ξ1，ξ2均为（0,1）上均匀分布的随机变量。

每次投针试验，实际上变成在计算机上从两个均匀分布的随机变量中抽样得到（x,θ），然后定义描述针与平行线相交状况的随机变量s(x,θ)，为1,sin (,)0x l s x θθ≤⋅⎧=⎨⎩,其他 如果投针Ｎ次，则11(,)NN i i i s s x N θ==∑是针与平行线相交概率Ｐ的估计值。

事实上，12sin 00(,)()()d d d d 2ππl P s x f x f x x la aπθθθθθ===⎰⎰⎰⎰于是有22πNl laP as =≈1、给出源程序程序并解释语句的含义；2、作出抽样框图、试验累积频率与理论累积频率关系图，并给出抽样次数（>106）与抽样时间。

实验三MCNP方法在实验核物理中的应用一、实验目的1、了解MCNP程序运行流程；2、掌握MCNP输入文件编写规范；3、理解模拟内容、并能编写输入文件、运行，并获得计算结果；二、实验原理MCNP是一种常见的粒子输运模拟软件，软件的安装、运行和输入文件编写方法详见相关参考资料。

MCNP输入文件编写完成后，先确认输入模型是否正确，在DOS环境下进行，打开运行DOS环境，进行以下操作：DOS命令操作命令含义Mcnp i=name.inp o=name.o 打开画图框PX vx 输出模型在x=vx面上的切面PY vy 输出模型在y=vy面上的切面PZ vz 输出模型在z=vz面上的切面FACTOR m 将输出图放大1/m倍Extent a b 切面沿两坐标轴方向分别放大ORIGIN X Y Z 定义画图中心位置（X,Y,Z）三、实验内容1、学习MCNP程序常见各种运行方法；2、编写以下问题的输入文件；2.1对课堂讲解的实例，模拟溴化镧探测器对点源的能谱，实验做一遍。

2.2有一HPGe探测器，结构如图1所示。

分别给出位于探测器轴心、距离探测器晶体中心25cm处的137Cs源、60Co、131I源对应特征γ射线的探测效率（计算时相应特征射线的源粒子至少为107个），并给出三者混合源（活度比为1:1:3）的能谱图（源发射总粒子数大于3×108个）。

Cu 的尺寸1.75cm0.09cmAl 壳0.05cm图1 HPGe 探测器结构图四、实验报告1、给出2.1和2.2的MCNP 输入文件并解释每一行的含义；2、分别运行实例，给出实验结果，并对结果进行分析。

实验四 MCNP 模拟计算γ射线造成的剂量一、实验目的1、掌握应用软件MCNP 、应用范围以及在辐射剂量计算和防护中的作用；2、进一步掌握MCNP 程序基本用法；3、利用MCNP 解决一个简单的求解γ射线在空气、组织等效材料(肌肉)中造成的剂量沉积的计算问题，并进行结果分析，得出结论；4、利用MCNP 程序解决实际工作中碰到的实际问题； 二、实验内容1、学习MCNP 程序的基本组成、操作方法以及问题描述文件的写法；2、利用MCNP 程序计算简单的γ射线源在空气、肌肉模型中的剂量沉积分布，并对计算结果进行分析并绘图，得出结论，调整数据重新计算，并与理论计算结果进行比较； 三、内容简介1、MCNP 程序的计算流程如下图1所示：2、MCNP 输入文件通过这个文件描述并建立一个蒙特卡罗计算问题，对问题的几何结构、材料、记数要求等给以描述，如果需要，便可直接运行。

该文件的格式如下： 栅元卡1 栅元卡2 。

栅元卡n空行分隔符曲面卡1曲面卡2。

曲面卡n空行分隔符数据卡1数据卡2。

数据卡n空行分隔符(optional)其它选择项(optional)其中栅元卡用来描述由不同的封闭曲面分割的立体空间区域，并用独有的数字ID号加以标示，同时在各个栅元卡中说明包围该区域的曲面类型(曲面卡)、填充该区域的材料类型(材料卡)以及对应的材料密度等；曲面卡是用来描述不同类型曲面的，并用独有的数字ID号加以标示，最终曲面卡被应用在栅元卡中，并利用交(与)、联(或)、补(非)这些逻辑运算符号联合不同曲面组成所需要的复杂的栅元。

在mcnp中支持的常见曲面类型见参考文献[3,4]。

数据卡类型很多，主要有粒子类型标识卡mode、重要性卡imp、通用源卡sdef、粒子计数器卡Fn、材料描述卡Mn以及粒子截断卡(nps或ctme)等，数据卡的类型涉及到了方方面面，类型很多，具体请见参考文献[3,4]。

下面利用一个简单的例子来配合说明mcnp中的输入卡(inp)的编写格式。

3、一个简单的说明例子为说明如何填写INP文件，这里例举一个简单问题。

如图3所示，在一个边长10cm的石墨立方体3中有两个半径0.5cm的球形空间，球1中充满氧气，球2是铁球。

在球1中置一14MeV各向同性中子点源，计算球2外表面与能量相关的中子通量。

建立的INP文件如下：SAMPLE PROBLEM INPUT DECK1 1 –0.0014 -72 2 –7.86 -83 3 –1.60 1 –2 –34 –567 84 0 -1:2:3:-4:5:-6空行1 PZ -54321874321y 图3 例子的几何示意图2 PZ 53 PY 54 PY -55 PX 56 PX -57 S 0 –4 –2.5 .58 S 0 4 4 .5←空行MODE pIMP:p 1 1 1 0SDEF POS=0 –4 –2.5 ERG=14F2:n 8E0 1E-5 1E-4 1E-3 .01 .1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13M1 8016 1M2 26000 1M3 6000 1NPS 100000←空行本例中没有信息块，第一行是标题卡，之后至空格前为栅元块。

栅元卡上依次填写栅元号、材料号、密度和构成栅元界面的曲面号(带正负号)，这里定义了4个栅元：栅元1由球面7围成，里面填充材料1(16O2气体)，密度是0.0014g/cm3；栅元2由球面8围成，填充材料2(铁)，密度7.86g/cm3；栅元3由平面1、2、3、4、5、6围成，不包括球面7、8以内的空间，填充材料3(石墨)，密度1.6g/cm3；栅元4是栅元3以外的空间，为真空。

曲面卡上需要填写曲面号、曲面类型和曲面参数，本例中定义了8个曲面，前6个为与原点距离5cm垂直于各坐标轴的平面，后两个是半径0.5cm的球面，球心分别在(0,-4,-2.5)和(0,4,4)。

数据块中指定了问题类型、源、记数方式、材料和运行粒子数，各卡数据项的意义如下：MODE卡问题类型是中子输运IMP卡4个栅元的中子重要性分别是1 1 1 0SDEF卡位于(0,-4,-2.5)、能量14MeV的各向同性点源F2卡在曲面8上做中子通量记数E0卡对记数能量分区，1~14MeV之间间隔为1MeV，1MeV~10-5MeV之间间隔为一个数量级M1卡材料1是16O核素M2卡材料2是Fe元素M3卡材料3是C元素NPS卡运行源粒子数100000以上例子仅用于说明INP文件格式，有关各输入卡的详细内容，具体使用方法见参考文献[3,4]。