1．函数y ＝2x 3－3x 2－12x ＋5在[－2,1]上的最大值、最小值分别是( )
A ．12；－8
B ．1；－8
C ．12；－15
D ．5；－16
[答案] A
[解析] y ′＝6x 2－6x －12，由y ′＝0⇒x ＝－1或x ＝2(舍去)．x ＝－2时y ＝1，x ＝－1时y ＝12，x ＝1时y ＝－8.
∴y max ＝12，y min ＝－8.故选A.
2．函数y ＝2－x 2－x 3的极值情况是( )
A ．有极大值，没有极小值
B ．有极小值，没有极大值
C ．既无极大值也无极小值
D ．既有极大值也有极小值
[答案] D
[解析] y ′＝－3x 2－2x ＝－x (3x ＋2)，
当x >0或x <－23时，y ′<0，
当－23<x <0时y ′>0，
∴当x ＝－23时取极小值，当x ＝0时取极大值．
3．设函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋a 在x ＝±1处均有极值，且f (－1)＝－1，则a 、b 、c 的值为( )
A ．a ＝－1，b ＝0，c ＝－1
B ．a ＝12，b ＝0，c ＝－32
C ．a ＝－3，b ＝0，c ＝－3
D ．a ＝3，b ＝0，c ＝3
[答案] C
[解析] ∵f ′(x )＝3x 2＋2bx ＋c ，∴由题意得，
⎩⎪⎨⎪⎧ f ′(1)＝0f ′(－1)＝0f (－1)＝－1，即⎩⎪⎨⎪⎧ 3＋2b ＋c ＝03－2b ＋c ＝0－1＋b －c ＋a ＝－1，
解得a ＝－3，b ＝0，c ＝－3.
4．函数y ＝2x x 2＋1
的极大值为____________，极小值为____________．
[答案] 1，－1
[解析] y ′＝2(1＋x )(1－x )(x 2＋1)2
，令y ′>0得－1<x <1， 令y ′<0得x >1或x <－1，∴当x ＝－1时，取极小值－1，当x ＝1时，取极大值1.
5．(2012·重庆文)已知函数f (x )＝ax 3＋bx ＋c 在点x ＝2处取得极值c －16.
(1)求a 、b 的值；
(2)若f (x )有极大值28，求f (x )在[－3,3]上的最小值．
[解析] (1)因f (x )＝ax 3＋bx ＋c ，故f ′(x )＝3ax 2＋b ，由于f (x )在点x ＝2处取得极值c －16
故有⎩⎪⎨⎪⎧
f ′(2)＝0f (2)＝c －16，
即⎩⎪⎨⎪⎧ 12a ＋b ＝08a ＋2b ＋c ＝c －16，化简得⎩⎪⎨⎪⎧ 12a ＋b ＝04a ＋b ＝－8， 解得a ＝1，b ＝－12.
(2)由(1)知f (x )＝x 3－12x ＋c ，
f ′(x )＝3x 2－12＝3(x －2)(x ＋2)．
令f ′(x )＝0，得x 1＝－2，x 2＝2，
当x ∈(－∞，－2)时，f ′(x )>0，
故f (x )在(－∞，－2)上为增函数；
当x ∈(－2,2)时，f ′(x )<0，
故f (x )在(－2,2)上为减函数；
当x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )>0，
故f (x )在(2，＋∞)上为增函数．
由此可知f (x )在x 1＝－2处取得极大值f (－2)＝16＋c ，f (x )在x 2＝2处取得极小值f (2)＝c －16.
由题设条件知16＋c ＝28，得c ＝12.
此时f (－3)＝9＋c ＝21，f (3)＝－9＋c ＝3， f (2)＝c －16＝－4，
因此f (x )在[－3,3]上的最小值为f (2)＝－4.。