人教版高中数学精品资料高中数学 1.3.2函数的极值与导数练习 新人教A 版选修2-2一、选择题1．(2015·吉林实验中学高二期中)已知函数y ＝f (x )在定义域内可导，则函数y ＝f (x )在某点处的导数值为0是函数y ＝f (x )在这点处取得极值的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．非充分非必要条件 [答案] B[解析] 根据导数的性质可知，若函数y ＝f (x )在这点处取得极值，则f ′(x )＝0，即必要性成立；反之不一定成立，如函数f (x )＝x 3在R 上是增函数，f ′(x )＝3x 2，则f ′(0)＝0，但在x ＝0处函数不是极值，即充分性不成立．故函数y ＝f (x )在某点处的导数值为0是函数y ＝f (x )在这点处取得极值的必要不充分条件，故选B.2．函数y ＝14x 4－13x 3的极值点的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3[答案] B[解析] y ′＝x 3－x 2＝x 2(x －1)，由y ′＝0得x 1＝0，x 2＝1. 当x 变化时，y ′、y 的变化情况如下表3．已知实数a 、b 、c 、d 成等比数列，且曲线y ＝3x －x 3的极大值点坐标为(b ，c )，则ad 等于( )A ．2B ．1C ．－1D ．－2[答案] A[解析] ∵a 、b 、c 、d 成等比数列，∴ad ＝bc ， 又(b ，c )为函数y ＝3x －x 3的极大值点， ∴c ＝3b －b 3，且0＝3－3b 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1，c ＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－1，c ＝－2.∴ad ＝2.4．已知f (x )＝x 3＋ax 2＋(a ＋6)x ＋1有极大值和极小值，则a 的取值范围是( ) A ．－1<a <2 B ．－3<a <6 C ．a <－3或a >6 D ．a <－1或a >2[答案] C[解析] f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋a ＋6， ∵f (x )有极大值与极小值， ∴f ′(x )＝0有两不等实根，∴Δ＝4a 2－12(a ＋6)>0，∴a <－3或a >6.5．已知函数f (x )＝x 3－px 2－qx 的图象与x 轴切于(1,0)点，则f (x )的极大值、极小值分别为( )A.427，0 B ．0，427C ．－427，0D ．0，－427[答案] A[解析] f ′(x )＝3x 2－2px －q ， 由f ′(1)＝0，f (1)＝0得，⎩⎪⎨⎪⎧3－2p －q ＝0，1－p －q ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝2，q ＝－1，∴f (x )＝x 3－2x 2＋x .由f ′(x )＝3x 2－4x ＋1＝0得x ＝13或x ＝1，易得当x ＝13时f (x )取极大值427.当x ＝1时f (x )取极小值0.6．函数f (x )＝－xe x (a <b <1)，则( )A ．f (a )＝f (b )B ．f (a )<f (b )C ．f (a )>f (b )D ．f (a )，f (b )的大小关系不能确定[答案] C[解析] f ′(x )＝(－x e x )′＝－xx－－xxx2＝x －1ex.当x <1时，f ′(x )<0，∴f (x )为减函数， ∵a <b <1，∴f (a )>f (b )． 二、填空题7．(2014～2015·福建安溪一中、养正中学联考)曲线y ＝x (3ln x ＋1)在点(1,1)处的切线方程为________________．[答案] 4x －y －3＝0[解析] y ′|x ＝1＝(3ln x ＋4)|x ＝1＝4，∴切线方程为y －1＝4(x －1)，即4x －y －3＝0. 8．(2014～2015·河北冀州中学期中)若函数f (x )＝x ＋a sin x 在R 上递增，则实数a 的取值范围为________________．[答案] [－1,1][解析] f ′(x )＝1＋a cos x ，由条件知f ′(x )≥0在R 上恒成立，∴1＋a cos x ≥0，a ＝0时显然成立；a >0时，∵－1a ≤cos x 恒成立，∴－1a ≤－1，∴a ≤1，∴0<a ≤1；a <0时，∵－1a≥cos x 恒成立，∴－1a≥1，∴a ≥－1，即－1≤a <0，综上知－1≤a ≤1.9．设x ＝1与x ＝2是函数f (x )＝a ln x ＋bx 2＋x 的两个极值点，则常数a ＝______________.[答案] －23[解析] f ′(x )＝a x＋2bx ＋1，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2b ＋1＝0，a2＋4b ＋1＝0.∴a ＝－23.三、解答题10．已知f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx (a ≠0)在x ＝±1时取得极值，且f (1)＝－1. (1)试求常数a 、b 、c 的值；(2)试判断x ＝±1时函数取得极小值还是极大值，并说明理由．[解析] (1)由f ′(－1)＝f ′(1)＝0，得3a ＋2b ＋c ＝0,3a －2b ＋c ＝0. 又f (1)＝－1，∴a ＋b ＋c ＝－1. ∴a ＝12，b ＝0，c ＝－32.(2)f (x )＝12x 3－32x ，∴f ′(x )＝32x 2－32＝32(x －1)(x ＋1)．当x <－1或x >1时，f ′(x )>0；当－1<x <1时，f ′(x )<0，∴函数f (x )在(－∞，－1)和(1，＋∞)上是增函数，在(－1,1)上为减函数． ∴当x ＝－1时，函数取得极大值f (－1)＝1；当x ＝1时，函数取得极小值f (1)＝－1. [点评] 若函数f (x )在x 0处取得极值，则一定有f ′(x 0)＝0，因此我们可根据极值得到两个方程，再由f (1)＝－1得到一个方程，解上述方程组成的方程组可求出参数．一、选择题11．(2014～2015·山东省德州市期中)已知函数f (x )＝e x(sin x －cos x )，x ∈(0,2013π)，则函数f (x )的极大值之和为( )A.e 2π－e 2012πe 2π－1 B ．e π－e 2012π1－e 2πC.eπ－e 1006π1－e2πD ．e π－e1006π1－eπ[答案] B[解析] f ′(x )＝2e xsin x ，令f ′(x )＝0得sin x ＝0，∴x ＝k π，k ∈Z ，当2k π<x <2k π＋π时，f ′(x )>0，f (x )单调递增，当(2k －1)π<x <2k π时，f ′(x )<0，f (x )单调递减，∴当x ＝(2k ＋1)π时，f (x )取到极大值，∵x ∈(0,2013π)，∴0<(2k ＋1)π<2013π，∴0≤k <1006，k ∈Z .∴f (x )的极大值之和为S ＝f (π)＋f (3π)＋f (5π)＋…＋f (2011π)＝e π＋e 3π＋e 5π＋…＋e2011π＝e π[1－2π1006]1－e2π＝e π－e 2012π1－e2π，故选B.12．(2015·海南文昌中学高二期中)对于三次函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d (a ≠0)，给出定义：设f ′(x )是函数y ＝f (x )的导数，f ″(x )是f ′(x )的导数，若方程f ″(x )＝0有实数解x 0，则称点(x 0，f (x 0))为函数y ＝f (x )的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．设函数g (x )＝13x 3－12x 2＋3x －512，则g (12015)＋g (22015)＋…＋g (20142015)＝( )A ．2013B ．2014C ．2015D ．2016[答案] B[分析] 由题意对已知函数求两次导数可得图象关于点(12，1)对称，即f (x )＋f (1－x )＝2，即可得到结论．[解析] 函数的导数g ′(x )＝x 2－x ＋3，g ″(x )＝2x －1，由g ″(x 0)＝0得2x 0－1＝0，解得x 0＝12，而g (12)＝1，故函数g (x )关于点(12，1)对称，∴g (x )＋g (1－x )＝2，故设g (12015)＋g (22015)＋…＋g (20142015)＝m ，则g (20142015)＋g (20132015)＋…＋g (12015)＝m ，两式相加得2×2014＝2m ， 则m ＝2014. 故选B.[点评] 本题主要考查导数的基本运算，利用条件求出函数的对称中心是解决本题的关键．求和的过程中使用了倒序相加法．二、填空题13．已知函数y ＝x 3＋ax 2＋bx ＋27在x ＝－1处有极大值，在x ＝3处有极小值，则a ＝______________，b ＝________________.[答案] －3 －9[解析] y ′＝3x 2＋2ax ＋b ，方程y ′＝0有根－1及3，由韦达定理应有⎩⎪⎨⎪⎧－1＋3＝－2a3，－3＝b 3.∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝－9.经检验a ＝－3，b ＝－9符合题意．14．(2015·郑州市质量检测)已知偶函数y ＝f (x )，对于任意的x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2满足f ′(x )cos x ＋f (x )sin x >0(其中f ′(x )是函数f (x )的导函数)，则下列不等式中成立的有________________．①2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4 ②2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4③f (0)<2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4 ④f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6<3f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3[答案] ②③④ [解析] 令g (x )＝f x cos x，由已知得g ′(x )＝fxx ＋f x xcos 2x>0，∴g (x )＝f x cos x 在⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2上单调递增，故得g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3>g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，g (0)<g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，即2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，f (0)<2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4， ∴2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，①错误，②正确；③正确；又g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6<g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6cos π6<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3cosπ3，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6<3f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，④正确． 三、解答题15．已知函数f (x )＝e x(ax ＋b )－x 2－4x ，曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝4x ＋4.(1)求a ，b 的值；(2)讨论f (x )的单调性，并求f (x )的极大值． [解析] (1)f ′(x )＝e x(ax ＋a ＋b )－2x －4. 由已知得f (0)＝4，f ′(0)＝4，故b ＝4，a ＋b ＝8. 从而a ＝4，b ＝4.(2)由(1)知，f (x )＝4e x(x ＋1)－x 2－4x ，f ′(x )＝4e x (x ＋2)－2x －4＝4(x ＋2)(e x －12)．令f ′(x )＝0得，x ＝－ln2或x ＝－2.从而当x ∈(－∞，－2)∪(－ln2，＋∞)时，f ′(x )>0；当x ∈(－2，－ln2)时，f ′(x )<0. 故f (x )在(－∞，－2)，(－ln2，＋∞)上单调递增，在(－2，－ln2)上单调递减． 当x ＝－2时，函数f (x )取得极大值，极大值为f (－2)＝4(1－e －2)． 16．(2015·北京文，19)设函数f (x )＝x 22－k ln x ，k ＞0.(1)求f (x )的单调区间和极值；(2)证明：若f (x )存在零点，则f (x )在区间(1，e]上仅有一个零点．[分析] 本题主要考查导数的运算、利用导数判断函数的单调性、利用导数求函数的极值和最值、函数的零点等基础知识，考查学生分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力．第一问，先对f (x )求导，令f ′(x )＝0解出x ，将函数的定义域分段，列表，分析函数的单调性，求极值；第二问，利用第一问的表求函数的最小值，如果函数有零点，只需最小值≤0，从而解出k 的取值范围，后面再分情况分析函数有几个零点．[解析] (1)由f (x )＝x 22－k ln x ，(k ＞0)得，f ′(x )＝x －k x ＝x 2－kx.由f ′(x )＝0解得x ＝k (负值舍去)．f (x )与f ′(x )在区间(0，＋∞)上的情况如下：k－ln k2f (x )在x ＝k 处取得极小值f (k )＝k－ln k2.(2)由(1)知，f (x )在区间(0，＋∞)上的最小值为f (k )＝k－ln k2.因为f (x )存在零点，所以k－ln k2≤0，从而k ≥e.当k ＝e 时，f (x )在区间(1，e)上单调递减，且f (e)＝0， 所以x ＝e 是f (x )在区间(1，e]上的唯一零点． 当k ＞e 时，f (x )在区间(0，e)上单调递减， 且f (1)＝12＞0，f (e)＝e －k2＜0，所以f (x )在区间(1，e]上仅有一个零点．综上可知，若f (x )存在零点，则f (x )在区间( 1，e]上仅有一个零点. 17．(2014～2015·山东省菏泽市期中)已知函数f (x )＝12x 2＋a ln x .(1)若a ＝－1，求函数f (x )的极值，并指出是极大值还是极小值；(2)若a ＝1，求证：在区间[1，＋∞)上，函数f (x )的图象在函数g (x )＝23x 3的图象的下方．[解析] (1)由于函数f (x )的定义域为(0，＋∞)， 当a ＝－1时，f ′(x )＝x －1x＝x ＋x －x，令f ′(x )＝0得x ＝1或x ＝－1(舍去)，当x ∈(0,1)时，f ′(x )<0，因此函数f (x )在(0,1)上单调递减，当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0，因此函数f (x )在(1，＋∞)上单调递增， 则x ＝1是f (x )的极小值点，所以f (x )在x ＝1处取得极小值为f (1)＝12.(2)证明：设F (x )＝f (x )－g (x )＝12x 2＋ln x －23x 3，则F ′(x )＝x ＋1x －2x 2＝－2x 3＋x 2＋1x＝－x －x 2＋x ＋x，当x >1时，F ′(x )<0，故f (x )在区间[1，＋∞)上单调递减， 又F (1)＝－16<0，∴在区间[1，＋∞)上，F (x )<0恒成立， 即f (x )<g (x )恒成立．因此，当a ＝1时，在区间[1，＋∞)上，函数f (x )的图象在函数g (x )图象的下方．。