2013年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷）理科数学本试卷分第I 卷（选择题）和第H 卷（非选择题）两部分，共6页•考试时间120分钟.满 分150分.答题前，考生务必用0.5毫米的黑色签字笔将自己的姓名、座号、考号填写在第 I 卷答题卡和第n 卷答题纸规定的位置. 参考公式：样本数据X-i , X 2 ,X n 的标准差球的面积公式s 4 R 2第I 卷（选择题共60 分）注意事项：1.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮 擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上. 2 .第I 卷只有选择题一道大题.一、选择题：本大题共 12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的.1 2i1.复数1 2i（ i 是虚数单位）的虚部是3A .—21 B.-2C .3 D . 12.已知R 是实数集，Mx 2 1 ,N y y J x 1 1 ,则 N C R MX3. 现有10个数，其平均数是 4，且这10个数的平方和是200，那么这个数组的标准差是 A . 1B . 2C. 3D . 44. 设S n 为等比数列｛a .｝的前n 项和，8a 2 0 则鱼，S 2A . 5B . 8C.8D . 15的值是(X n2X)其中X 为样本平均数A . (1,2)B . 0,2C.D . 1,25.已知函数f （X ） sin(2x-）,若存在a(0,)，使得 f (x a) f （x a ）恒成立，则aA. B . C. D .63426.已知m、n表示直线，，, 表示平面，给出下列四个命题, 其中真命题为(1) m,n,n m,则(2) m,n,则n m(3) m , m,则//(4) m , n,m n,则A.( 1 )、(2)B. (3)、 (4)C. (2)、(3)D. (2)、 (4)■- ■- | AB |7.已知平面上不共线的四点O,A,B,C，若OA 3OB 2OC,则等于|BC|A. 1B. 2C. 3D. 48.已知三角形ABC的三边长成公差为2的等差数列，且最大角的正弦值为—，则这个三2 角形的周长是A. 18B. 21C. 24D. 159.函数f (x) lg x 1的零点所在的区间是xA. 0,1B. 1,10C. 10,100D. (100,)10.过直线y 2x上一点P引圆x6x 7 0的切线，则切线长的最小值为2A.2B. D. ■■ 211.已知函数f (x) ax 2b.若a,b都是区间0,4 内的数，则使f(1) 0成立的概率是3 A.-4 B.5D.-812.已知双曲线的标准方程为9 161 , F为其右焦点，A1, A2是实轴的两端点，设P为双曲线上不同于A1,A2的任意一点, 直线AP,A2P与直线x a分别交于两点M , N ,若FM FN 0,则a的值为第口卷(非选择题共90 分)注意事项:1.请用0.5毫米的黑色签字笔将每题的答案填写在第n 卷答题纸的指定位置•书写的答案如需改动，要先划掉原来的答案，然后再写上新答案.2 •不在指定答题位置答题或超出答题区域书写的答案无效•在试题卷上答题无效.3 •第n 卷共包括填空题和解答题两道大题. 二、填空题：本大题共 4小题，每小题4分，共16分.13. _______________________________________ 如图所示的程序框图输出的结果为 ____________________________ .14. 若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如下图所示，其一个球面上，则该球的表面积为 _____________ .的能量是2008年地震能量的 __________ 倍.16. 给出下列命题：① 已知a ,b 都是正数，且旦，则a b ；b 1 b② 已知f (x)是f(x)的导函数，若 x R,f(x) 0,贝y f (1) f(2)—定成立; ③ 命题“ x R ，使得x 2 2x 10 ”的否定是真命题；④ “ x 1,且y T 是“ x y 2 ”的充要条件. 其中正确命题的序号是________ .(把你认为正确命题的序号都填上)15.地震的震级R 与地震释放的能量E 的关系为R 彳(IgE311.4) • 2011 年 3 月 11 日，日本东海岸发生了 9.0级特大地震,2008年中国汶川的地震级别为8.0级，那么2011年地震第14题图三、解答题：本大题共6小题，共 74分•解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17. (本小题满分12分)已知向量a (1, cos-)与b C 3sin° cos X , y)共线，且有函数y f (x). 2 2 22(i)若 f (x) 1，求 cos(-2x)的值；3(n)在 ABC 中，角A, B,C ,的对边分别是a, b, c ，且满足2a cosC c 2b ，求函数f (B)的取值范围.18.(本小题满分 12分)已知等差数列 a n 的前n 项和为S n ,公差d 0,且S 3 S 5 50, a 1,a 4,a 13成等比数列. (I )求数列a n 的通项公式；b n是首项为1，公比为3的等比数列，求数列a nb n 的前n 项和T n .(本小题满分12分)在某种产品表面进行腐蚀性检验，得到腐蚀深度y 与腐蚀时间x 之间对应的一组数据:时间x (秒)5 10 15 20 30 40 深度y (微米)61010131617现确定的研究方案是：先从这 6组数据中选取2组，用剩下的4组数据求线性回归方程， 再对被选取的2组数据进行检验.(I )求选取的2组数据恰好不相邻的概率；(n )若选取的是第2组和第5组数据，根据其它 4组数据，求得y 关于x 的线性回归方4139程? x，规定由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误13 26差均不超过2微米，则认为得到的线性回归方程是可靠的，判断该线性回归方程是 否可靠.19.(本小题满分12分)已知四棱锥A BCDE ，其中AB BC // CD , F 为AD 的中点•(I )求证：EF //面 ABC ; (n)求证：面ADE 面ACD ； (III )求四棱锥 A BCDE 的体积•AC BE 1, CD 2 ,CD 面 ABC , BE20. B21.(本小题满分12分)ax b已知函数f(x) 2在点(1, f( 1))的切线方程为x y 3 0.x 1(I)求函数f(x)的解析式；(n)设g(x) ln x，求证：g(x) f (x)在x [1,)上恒成立.22.(本小题满分14分)实轴长为4 •. 3的椭圆的中心在原点, 其焦点F2在x轴上.抛物线的顶点在原点0 ,对称轴为y轴，两曲线在第一象限内相交于点A,且AF1 AF2, △ AF1F2的面积为3.(I )求椭圆和抛物线的标准方程;(n )2参考答案及评分标准•选择题（本大题共 12小题，每小题5分，共60分.）B D B A D B B D BC C B•填空题（本大题共 4小题，每小题4分，共16分.）三•解答题17.（本小题满分12分） 解：（I ）： a 与b 共线13 s in x cos-2 2y .3.x x 2sin cos cosx3 .sin x 丄(1 cosx) sin(x )1...... 3分2 222 26 2• f(x) sin(x1 2 1 , 即 sin(x 6) 12……4分cos( 32x) cos2( 3 x) 2cos 2(— x) 1 2si n 2(x6) 112............................. 6分(n)已知 2acosC c 2b2sin AcosC sin C 2sin B 2si n(A C)2sin AcosC sin C 2sin AcosC 2cosAsinC• cosA -, •••在 ABC 中 / A -.............. 8分23f (B) sin(B6) 12•••/ A —• 0B 2,B —5.............. 10分由正弦定理得:33 666 13. 214. 19315. 10216.①③x cos 2 ysin(B 点)1,1 f(B)•••函数 3f （B ）的取值范围为（1,12分18. (本小题满分12 分、)解: (I )依题〕意得3 24 53a1d21 5a12d 50 ......... 2分3d)2a1(a112d)解得a13.......... 4分d 2a n a1 (n 1)d 3 :2(n 1) 2n 1,即a. 2n 1 .......................... 6分(n) b n3n 1, b n a n3n 1(2n 1) 3n 1 ............. ............ 7分a nT n 3 5 37 32(2n1) 3n 13T n33 5 327 33(2n1) 3n 1(2n 1) 3n-....... 9分2T n 3 2 3232 2 3n1(2n n1)3n 1、3(1 3 )3 2 (2n 1)31 32n 3n••• T n n 3n19.(本小题满分12分)解：(I)取AC中点G连结FG BG,••• F,G分别是AD,AC的中点1• FG// CD且FG=—DC=12 '•/ BE// CD • FG与BE平行且相等•EF// BG. ................... 2 分EF 面ABC, BG 面ABC•EF //面ABC ................ 4 分(n ) •/ △ ABC为等边三角形• BG丄AC又T DC丄面ABC,BG 面ABC • DC丄BGA••• BG 垂直于面ADC 的两条相交直线 ACQC ， ••• BG 丄面 ADC . ................. •/ EF// BG• EF 丄面ADC•/ EF 面 ADE,.••面 ADE 丄面 ADC .• CD AO,BC CD C,•- AO 平面 BCDE , •- AO 为 V A BCDE 的高，-J3 一(1 2) 1 3V A BCDE1 3、33 AO - ,S BCDE2223 2 2420.（本小题满分12 分）V A BCDE1V E ABC V E ACD—1 v 3 V3 1 -V3 V3....... 12分3 432 126 4另法：取 BC 的中点为0，连结 AO ，则 AO BC ，又 CD 平面ABC ,（川）连结EC 该四棱锥分为两个三棱锥E - ABC 和 E - ADC ...............................8分 解：（I ）设6组数据的编号分别为123,4,5,6.设抽到不相邻的两组数据为事件A , 从 6组数据中选取2组数据共有15种情况: (1,2 ) (1,3 ) (1,4 ) (1,5 ) (1,6 ) (2,3 ) (2,4 ) (2,5 ) (2,6 ) ( 3,4 ) ( 3,5 ) ( 3,6 ) ( 4,5 ) (4,6 ) ( 5,6 ),其中事件A 包含的基本事件有10种.所以10 P (A )15| .所以选取的2组数据恰好不相邻的概率是x 10 时, ?- 1310 139 26 219 |21926 ,126 10| 2;x 30 时,30139 26所以，该研究所得到的回归方程是可靠的.379 |379 26112616| 2;12分21.（本小题满分12分） 解：（I ）将x1代入切线方程得y 2 b af( 1) 2，化简得 b a 4.1 1............................. 2分f (x)2a(x 1) (ax b) 2x2 2(1 x )设 h(x) x 21n x ln x 2x 2 ,1 h (x) 2xlnx x 2x1 T x 1 2xlnx 0, x 2，即 h (x) 0 .x••• h(x)在［1,)上单调递增，h(x) h(1)(2)设直线 l 的方程为 y 1 k(x 2 2), B(x 1, y 1), C(x 2, y 2)f (1)2a 2( b a) 2bb442解得：a 2,b2• f (x)2x 22x12x 2（n ）由已知得ln x 在［1,2x 1..............................6分即 x 2 ln x ln x 2x 20在［1, ）上恒成立............................. 8分10分• g(x) f (x)在x ［1,)上恒成立............................. 12分解（1）设椭圆方程为2 2X2y21 (a ba b22 , 2m n 4c由题意知 m n i 4 3mn 6 解得c 29 , •• b 2 12 93 .2 2•椭圆的方程为x y1123I A c 3, …y A1，代入椭圆的方程得将点A 坐标代入得抛物线方程为X 20)， AF 1 m, AF 2 n.......................... 2分............................. 4分X A 2 2 , 8y ........................... 6 分1）上恒成化简得(x 21)lnx 2x 222.（本小题满分14分）由 AC 2AB 得 x 2 2 . 2 2(x 1 2、、2),化简得2x 1 x 2 2 •、2 联立直线与抛物线的方程y 1 k(X 2-'2),2 cx 8y 得 x 2 8kx 16 .、2k 8 0二 x 1 2 •一 2 8k ① .......................... 10 分 联立直线与椭圆的方程y 1 k(X 2,2)x 2 4y 2 12得(1 4k 2)x 2 (8k 16..2k 2)x 32k 2 16.2k 8 0••• 2x 1 x 2 2(8k 2..2)吟护 2、2 “•— .?2k整理得：(16k 4,2)(1 — ) 01 4k2••• k ，所以直线l 的斜率为 — 4 4 --X 2 2 ■- 2 2 162k 8k 1 4 k 2 12分 ............................. 14分。