1
X z 1 2z 1 y1 2 y 2
1 z 1 2z 2
1 z 1 2z 2
将X z z ，y1 1，y 2 1 代入，得：
z 1
4
Y
z
z
z3
1z 1z
2
z
1 z2 2z 2
1z 2
Yzs
z
Yzi
z
Yzs z
z
z
z2
1z 1z
2
z
A 1
B z 1
C z
2
1 1 1 1 4 1 遮挡法
求出f 。
(1)
F
z
z2 z 1
z 1z 3
解：Fz的极点为 z1 1，z2 3
由于z2 3位于单位圆外，因此不 能用终值定理
5-7 计算下列卷积。
(1) akuk k 2
解： akuk z , k 2 z 2
za 由时域卷积定理得：
akuk k 2 z z 2
za
z
AB 2 1
z z2 3 z 1 z 1 z 1 z 1 z 1
48
2
4
2
4
hk
2 1 k
1 k
uk
2 4
3 由H z Y (z)
z2
可得系统差分方程：
X (z) z2 3 z 1
48
yk 2 3 yk 1 1 yk xk 2
4
8
或 yk 3 yk 1 1 yk 2 xk
求F z 的反变换：
z a z 1
F z 1 1 A B 遮挡法
z z a z 1 z a z 1 1 1 1 1 1 1 1 a 1 z a 1 a z 1 1 a z 1 z a
f k 1 uk akuk 1 ak uk
1 a
1 a
akuk uk 1 1 ak uk 1 ak uk 1
1 a
1 a
5-8 用Z变换解下列差分方程。
(2) yk 2 3yk 1 2yk 3k uk ，y0 y1 0
解： 由于y0 y1 0为零状态，对差分方程 作Z变换得：
z 2Y z 3zY z 2Y z z ，即Y z 1 z
z3
z2 3z 2 z 3
Y z
1
1 ABC
第五章 离散时间信号与系统的 变换域分析
作业
1
南京邮电大学
通信与信息工程学院
信息工程系
5-1 用定义求下列序列的Z变换。
(5)
1
k
uk
uk
3
2
解：
Fz
k 0
1 2
k
u
k
u
k
3z k
2 1 k
k0 2
z k
2
1
k
1
0
1
1
1
2
1
1
1
2
k0 2z 2z 2z 2z
Y (z)
2 单位函数响应hk ；
X (z)
z 1
z 1
3 4
1 8
3 写出系统差分方程； 4 求系统单位阶跃响
应gk 。
解： 1 对加法器列方程得：
Y z X z 3 z 1Y z 1 z 2Y z
4
8
Hz
Y z X z
1
1 3 z 1 1 z 2
z2
z2 3z1
48
48
2 H z
4
8
4 系统阶跃响应为：
Gz HzX z z2 z
z3
z2 3 z 1 z 1 48
z 1 z 1 z 1
2 4
8
1
Gz
z2
3 2 3
z z 1 z 1 z 1 z 1 z 1 z 1
2 4
2
4
gk
8
2 1 k
1 1 k
uk
3 2 3 4
f 1 lim zFz f 0 1
z
f 2 lim z 2 Fz f 0 f 0z 1
z
lim
z
z
2
z
z2
2z z z2
z 2 1 z 0.5
1 z 0.5
lim
z
z
2
z
2.5z 2 z 0.5
z 2 1 z 0.5
2.5
5-6 序列Z变换如下，能否应用终值定理，如果能，
2z 2z
(8) 2 1 3
解：F z f k zk f 0z0 f 1z1 1 3z1 k 0
5-3 用Z变换的性质求下列序列的Z变换。
k
(4) n2 n0
解： k 2uk zz 1 z 13
k
n2
z
zz 1 z2 z 1
序列求和
k 0
z 1 z 13 z 14
(5) k 12uk 1
5-14 已知离散系统函数 H z的零极点分布如题图 5 2所示，
且
lim
k
hk
1 ，系统的初始状态 3
yzi
0
2，yzi
1
1，求
j Imz
求：1 求H z；
解： k 2uk zz 1 z 13
k
12 uk
1
1 z
zz 1 z 13
z 1
z 13
因果序列右移
5-5 序列Z变换如下，试求 f 0，f 1，f 2。
(1) Fz
z2 2z
z2 1 z 0.5
解： 由初值定理得：
也可以通过长除得：
f 0 lim Fz 0 z
F (z) z 1 2.5z 2
yk yk 1 2 yk 2 xk ，已知y1 1，
y 2 1 ，输入xk uk ，求该系统的零输入响应
4
yzi k ，零状态响应yzs k 及全响应yk 。
解：对差分方程进行Z变换，得：
Y z z 1Y z y1 2 z 2Y z z 1 y1 y 2 X z
Yz
2 z 1 6 z 1 3 z 2
y zs
k
1 2
1 6
1k
4 3
2k
uk
Yzi z
z
1 z 2 2
z 1z 2
D z 1
z
E 2
1 2
1 z 1
z
1
2
遮挡法
yzi k
1 1k
2
2k ,
k 0
yk
y zs
k
yzi k
1 2
2 3
1k
1 2k
3
,
k 0
5-11 某离散系统得模拟图如下图所示。求：1 求H z YXzz；
z z2 3z 2 z 3 z 1 z 2 z 3
1 1 1 1 1 1 遮挡法
4 z 1 5 z 2 20 z 3
yk
1 4
1k
1 5Leabharlann 2k1 3k20
uk
或 0.251k 0.2 2k 0.053k uk
5-9 某线性时不变离散系统，其差分方程为
a k－2uk－2 z z 2
za
因果序列右移性质
a kuk k 2 a k－2uk－2
另解：根据含信号的卷积运算性质直接可得
a kuk k 2 a k－2uk－2
(2) akuk uk 1
解： akuk z , uk 1 z 1 z 1
za
z 1 z 1
由时域卷积定理得：akuk uk 1 z 1 Fz