离散型随机变量及其分布列
知识点
1随机变量的有关概念
(1) 随机变量：随着试验结果变化而变化的变量，常用字母 X , Y , E, n …表示.
(2) 离散型随机变量：所有取值可以一- 变量.
2. 离散型随机变量分布列的概念及性质 (1)概念：若离散型随机变量
X 可能取的不同值为 X 1, X 2,…，X i ,…，x n , X 取每一个值X i (i = 1,2,…，n)
的概率P(X = X i )= P i ，以表格的形式表示如下：
此表称为离散型随机变量 P(X = X i )= p i , = 1,2,…,
n 表示X 的分布列.
(2)分布列的性质： n
① p i >0 i = 1,2,3,…,n ；①
P i 1
i 1
3. 常见的离散型随机变量的分布列 (1)两点分布
若随机变量X 的分布列具有上表的形式，则称 X 服从两点分布，并称 p = P(X = 1)为成功概率.
(2)超几何分布
其中 m = min{ M , n}，且 n 汆，
M 哥，n , M , N ①N *.
如果随机变量X 的分布列具有上表的形式，则称随机变量 X 服从超几何分布.
题型一离散型随机变量的理解
【例 1】 下列随机变量中，不是离散型随机变量的是 ( ) A ．某个路口一天中经过的车辆数 X
B .把一杯开水置于空气中，让它自然冷却，每一时刻它的温度 X
C .某超市一天中来购物的顾客数 X
在含有M 件次品的N 件产品中，任取
n 件，其中恰有X 件次品，则
P(X = k)= c M c N —M
c N
,k = 0,1,2,
m ,
1，小胡在线
D .小马登录QQ找小胡聊天，设X= 、口十亠/4
0，小胡不在线
【例2】写出下列各随机变量的可能取值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果.
(1) 抛掷甲、乙两枚骰子，所得点数之和X；
(2) 某汽车在开往目的地的道路上需经过5盏信号灯，Y表示汽车首次停下时已通过的信号灯的盏数.
【例3】袋中装有10 个红球、 5 个黑球.每次随机抽取 1 个球，若取得黑球则另换 1 个红球放回袋中，直到取到红球为止•若抽取的次数为E,则表示事件“放回5个红球”的是()
A . E= 4
B . E= 5
C. E= 6 D .葺5
【例4】袋中装有大小相同的5个球，分别标有1,2,3,4,5五个号码，在有放回取出的条件下依次取出两个球，
设两个球号码之和为随机变量E,则E所有可能取值的个数是()
A. 5
B. 9
C. 10
D. 25
【过关练习】
1.指出下列变量中，哪些是随机变量，哪些不是随机变量，并说明理由.
①掷一枚质地均匀的硬币 5 次，出现正面向上的次数；
②掷一枚质地均匀的骰子，向上一面出现的点数；
③某个人的属相随年龄的变化；
④在标准状态下，水结冰的温度.
2•某人射击的命中率为p(0<p<1)，他向一目标射击，若第一次射中目标，则停止射击，射击次数的取值是()
A. 1,2,3，…，n B . 1,2,3,…，n，…
C. 0,1,2，…，n D . 0,1,2，…，n，…
3•同时抛掷5枚硬币，得到硬币反面向上的个数为 E,贝U E 的所有可能取值的集合为 ________ .
4•一木箱中装有8个同样大小的篮球，编号为 123,4,5,6,7,8，现从中随机取出3个篮球，以E 表示取出的篮
球的最大号码，则
8表示的试验结果有 _________ 种.
5.一个袋中装有5个白球和5个黑球，从中任取 3个，其中所含白球的个数为 E,
(1) 列表说明可能出现的结果与对应的
E 的值；
(2) 若规定抽取3个球中，每抽到一个白球加 5分，抽到黑球不加分，且最后不管结果都加上 6分，求最终
得分n 的可能取值，并判定
n 的随机变量类型.
题型二离散型随机变量分布列的求法及性质
【例1】某一随机 变量E 的概率分布列如表，且 m + 2n = 1.2,则m —号的值为(
)
A. — 0.2 B . 0.2 C . 0.1
D . — 0.1
【例2】已知离散型随机变量X 的分布列如下：
则P(X = 10)等于(
)
1
D ・109
【例3】已知随机 变量X 只能取三个 值X1,X2,X3,其概率依次成等差数列，则公差d 的取值范围为 _____________
【过关练习】
1.随机变量E 的分布列如下:
C.39
则E为奇数的概率为 _________
2•若离散型随机变量 X 的分布列为:
则常数c 的值为( )
2 3
1 C.3
D -
1
3•由于电脑故障，随机变量 X 的分布列中部分数据丢失，以’—I 代替，其表如下:
根据该表可知X 取奇数值时的概率为 ____________
题型三两种特殊分布的应用
【例1】某10人组成兴趣小组，其中有 团员人数，则P(X = 3)=( )
5名团员，从这10人中任选4人参加某种活 动，用X 表示4人中的 4 A.21 9
B.21
C.21
時
【例2】一个袋中有形状、大小完全相同的
3个白球和4个红球•从中任意摸出两个球，用
X = 0”表示两个
球全是白球，用 X = 1”表示两个球不全是白球，求 X 的分布列.
【过关练习】
1•从装有除颜色外其余均相同的 3个红球，2个白球的袋中随机取出 2个球，设其中有 E 个红球，随机变量
E 的概率分布列如下：
则X 1 , X 2, X 3的值分别为 ________
2 1 A -或- A3或3
2•在一次购物抽奖活动中，假设某10张奖券中有一等奖券1张，可获价值50元的奖品；有二等奖券3张,
每张可获价值10元的奖品；其余6张没有奖•某顾客从这10张奖券中任抽2张，求：
（1）该顾客中奖的概率；
⑵该顾客获得的奖品总价值X（元）的分布列.
课后练习
【补救练习】
1 .袋中装有大小和颜色均相同的5个乒乓球，分别标有数字1,2,3,4,5，现从中任意抽取2个，设两个球上的数字之积为X,则X所有可能值的个数是（）
A . 6
B . 7
C. 10 D . 25
2•甲、乙两队在一次对抗赛的某一轮中有3个抢答题，比赛规定：对于每一个题，没有抢到题的队伍得0 分, 抢到题并回答正确的得1分，抢到题但回答错误的扣1分（即得一1分）•若X是甲队在该轮比赛获胜时的得分（分数高者胜），则X的所有可能取值是 _______ .
3•在8个大小相同的球中，有2个黑球，6个白球，现从中取3个，求取出的球中白球个数X的分布列. 【巩固练习】
1•设实数x€ R,记随机变量片1, x€ 0,+^ ,
1
0, x- 0, 则不等式1的解集所对应的E的值为（
）
x
A. 1 B . 0 C.—1 D . 1 或0
2.若P( W n) = 1 —a, P( m) = 1 —b,其中m v n,贝U P(m w gw n)等于()
A . (1 —a)(1 —b)
B . 1—a(1 —b)
C. 1 —(a + b) D . 1 —b(1 —a)
3.在15个村庄中有7个村庄交通不方便，现从中任意选10个村庄，用X表示这10个村庄中交通不方便的
C4C6
村庄数，下列概率中等于CC8的是()
A. P(X= 2) B . P(X w 2)
C. P(X= 4) D . P(X w 4)
4•某篮球运动员在一次投篮训练中的得分E的分布列如下表，其中a, b, c成等差数列，且c= ab,
则这名运动员投中3分的概率是
5•在学校组织的足球比赛中，某班要与其他4个班级各赛一场，在这4场比赛的任意一场中，此班级每次胜、
负、平的概率相等.已知当这4场比赛结束后，该班胜场多于负场.
(1)求该班级胜场多于负场的所有可能的个数和;
(2)若胜场次数为X，求X的分布列.
【拔高练习】
a 1 5
1. 随机变量E的概率分布列为P(E= n)= n n+ 1, n= 1,2,3,4，其中a是常数，则P 2＜氏？的值为()
2 3
A.3
B.4
4 5
C.5
D.6
2. 小王参加一次比赛，比赛共设三关，第一、二关各有两个必答题，如果每关两个问题都答对，可进入下一
关，第三关有三个问题，只要答对其中两个问题，则闯关成功.每过一关可一次性获得价值分别为 1 000元, 3 000元，6 000元的奖品(不重复设奖),每个问题回答正确与否相互之间没有影响，用X表示小王所获奖品的价值，写出X的所有可能取值及每个值所表示的随机试验的结果.。