推理与证明★知识网络★间接证明 一、推理1. 推理：前提、结论2. 合情推理：合情推理可分为归纳推理和类比推理两类：（1）归纳推理：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象具有这些 特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理。

简言之，归纳推理是由部分到整体、 由个别到一般的推理（2 ）类比推理：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象具有的某些已知特征，推出 另一类对象也具有这些特征的推理，简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理。

3. 演绎推理：从一般性的原理出发， 推出某个特殊情况下的结论的推理叫演绎推理， 简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理。

重难点：利用合情推理的原理提出猜想，利用演绎推理的形式进行证明 题型1用归纳推理发现规律 1、观察:.7.15 2 .11 ; 5.5 16.5 2 .11 ; ,3 .3 19 . 32.11 ;-.对于任意正实数a,b ，试写出使 需 Vb 2闪 成立的一个条件可以是 ________________ . 点拨：前面所列式子的共同特征特征是被开方数之和为 22,故a b 222、 蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师，单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形，如图为一组蜂 巢的截面图.其中第一个图有1个蜂巢，第二个图I有7个蜂巢，第三个图有19个蜂巢，按此规律，以f （n ）表示第n 幅图的蜂巢总数.则合情推理推理与证明演绎推理直接证明反证法归纳f (4) = ___ ; f (n) = __________ . 【解题思路】找出 f(n) f(n 1)的关系式［解析］f(1) 1, f (2) 16, f(3) 1 6 12, f (4)1 6 12 18 372f (n) 1 6 12 18 6(n 1) 3n 3n 1【名师指引】处理“递推型”问题的方法之一是寻找相邻两组数据的关系 题型2用类比推理猜想新的命题［例］已知正三角形内切圆的半径是高的 是 ______ .【解题思路】从方法的类比入手［解析］原问题的解法为等面积法，即 S 1 1 等体积法，V Sh 4 Sr r 3 3【名师指引】(1)不仅要注意形式的类比，还要注意方法的类比(2 )类比推理常见的情形有：平面向空间类比；低维向高维类比；等差数列与等比数列类 比；实数集的性质向复数集的性质类比；圆锥曲线间的类比等二、直接证明与间接证明三种证明方法： 综合法、分析法、反证法反证法：它是一种间接的证明方法 •用这种方法证明一个命题的一般步骤：(1) 假设命题的结论不成立；(2) 根据假设进行推理，直到推理中导出矛盾为止 (3) 断言假设不成立 (4) 肯定原命题的结论成立重难点：在函数、三角变换、不等式、立体几何、解析几何等不同的数学问题中，选择好证 明方法并运用三种证明方法分析问题或证明数学命题 考点1综合法在锐角三角形 ABC 中，求证:si nA sinB si nC cosA cosB cosC ［解析］ABC 为锐角三角形， A BA B ，2 2 y sinx 在(0,—)上是增函数，si nA sin( B) cosB2 2同理可得 sinB cosC ， sinCcosAcosB cosCsin A sinB sinCcosA 考点2 分析法1-,把这个结论推广到空间正四面体，类似的结论31 1 1 -ah 3 -ar r - h ，类比问题的解法应为2 2 31 1-h 即正四面体的内切球的半径是高 一4 4已知a b 0,求证、、a,b■, a b［解析］要证-a '一 b -』a b , 只需证(.a , b)2(.. a b)2b ，只需证b... ab ，即证 b显然b a 成立，因此,a , b .. a b 成立【名师指引】注意分析法的“格式”是“要证 ---只需证---”，而不是“因为---所以---考点3反证法已知f(x) a x ^^(a 1)，证明方程f(x) 0没有负数根x 1【解题思路】“正难则反”，选择反证法，因涉及方程的根，可从范围方面寻找矛盾［解析］假设x o 是f(x) 0的负数根，贝y x 0且X 。

1且a x00 a xo 1^0—2 1，解得—x 0 2，这与 x 0 0 矛盾，x o1 2故方程f (x)0没有负数根【名师指引】否定性命题从正面突破往往比较困难，故用反证法比较多三、数学归纳法一般地，当要证明一个命题对于不小于某正整数 N 的所有正整数n 都成立时，可以用以下两个 步骤：(1)证明当n=n0时命题成立；⑵ 假设当n=k (k N ,且k n 。

)时命题成立，证明n=k+1时命题也成立.在完成了这两个步骤后，就可以断定命题对于不小于 n0的所有正整数都成立.这种证明方法称为数学归纳法• 考点1数学归纳法题型：对数学归纳法的两个步骤的认识［例1 ］已知n 是正偶数，用数学归纳法证明时，若已假设 n=k ( k 2且为偶数)时命题为 真，，则还需证明() A. n=k+1时命题成立 B. n=k+2 时命题成立 C. n=2k+2 时命题成立D. n=2( k+2)时命题成立［解析］因n 是正偶数，故只需证等式对所有偶数都成立，因k 的下一个偶数是k+2,故选B 【名师指引】用数学归纳法证明时， 要注意观察几个方面：(1) n 的范围以及递推的起点 (2) 观察首末两项的次数(或其它)，确定n=k 时命题的形式f (k) ( 3)从f(k 1)和f(k)的 差异，寻找由k 到k+1递推中，左边要加(乘)上的式子 考点2数学归纳法的应用题型1：用数学归纳法证明数学命题xo2x 1用数学归纳法证明不等式..1 2 2 3 n(n 1) g(n 1)2[解析](1 )当n=1时，左= -.2，右=2,不等式成立__ j_____ , ___________ 1(2)假设当n=k时等式成立，即、..1 2 2 3 . k(k 1) -(k 1)2则d 2 2 3 ,k(k 1) , (k 1)(k 2) 1(k 1)2.. (k 1)(k 2)2(k 1),k 20 2(k 1)2.(k 1)(k 2) x(k 1)(k 2)2 2 21 2 ,2 3 , k(k 1) ,(k 1)(k 2) £[(k 1) 1]2当n=k+1时，不等式也成立综合(1)( 2)，等式对所有正整数都成立【名师指引】(1)数学归纳法证明命题，格式严谨，必须严格按步骤进行；(2 )归纳递推是证明的难点，应看准"目标”进行变形；(3)由k推导到k+1时，有时可以“套”用其它证明方法，如：比较法、分析法等，表现出数学归纳法“灵活”的一面习题1、用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于 60度”时，反设正确的是()。

(A)假设三内角都不大于 60度; (B)假设三内角都大于 60度；(C)假设三内角至多有一个大于 60度； (D) 假设三内角至多有两个大于60度。

2、在十进制中2004 4 100 0 101 0 102 32 10，那么在5进制中数码2004折合成十进制为 ( )A.29B. 254C. 602D. 2004时，左边应增添的式子是数)时命题为真，则还需要用归纳假设再证6、否定结论“至多有两个解”的说法中，正确的是( )A.有一个解B.有两个解C.至少有三个解D .至少有两个解7、否定“自然数 a 、b 、c 中恰有一个偶数”时的正确反设为( )C. a 、b 、c 都是偶数D. a 、b 、c 中至少有两个偶数8、已知：a + b + c >0, ab + bc + ca >0, abc >0.求证：a >0, b >0, c >0.3、利用数学归纳法证明“ n + 11(a 工 1, n € N) ”时, 在验证n=1 成立时，左边应该是 (A)1(B)1+ a)(C)1(D)14、用数学归纳法证明(n 1)(n 2) (n n)2n 1 (2n 1) ”)时, A.2k 1 B . 2(2k 1)C.2k 15、已知 n 为正偶数, 用数学归纳法证明111 1 -2 3 4丄)时,2n若已假设n k(k 2为偶A. n k 1时等式成立B.k 2时等式成立C. n 2k 2时等式成立D. n 2(k2)时等式成立A. a 、b 、c 都是奇数B. a 、b 、c 或都是奇数或至少有两个偶数19、已知 a, b , c € (0,1).求证：(1 — a ) b , (1 — b ) c , (1 — c ) a 不能同时大于 4.10、(1)用数学归纳法证明：n 3 5n 能被6整除；(2)求证 n 3 (n 1)3 (n 2)3(n € N *)能被 9 整除11、若a,b,c 均为实数，且 错误！未找到引用源。

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，求证：a ， b ， c 中至少有一个大于 0。

13、用数学归纳法证明下述不等式：1 1 119口(n N ,且n 2)尸 n 1 n 2 n 3 3n 1012、用数学归纳法证明：1 12 1 n ;2n 1 ；。