抛物线及其性质【考纲说明】1、掌握抛物线的简单几何性质，能运用性质解决与抛物线有关问题。

2、通过类比，找出抛物线与椭圆，双曲线的性质之间的区别与联系。

【知识梳理】1．抛物线定义：平面内到一定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹称为抛物线． 2．抛物线四种标准方程的几何性质：图形参数p 几何意义 参数p 表示焦点到准线的距离，p 越大，开口越阔.开口方向 右左上下 标 准方 程 22(0)y px p => 22(0)y px p =-> 22(0)x py p =>22(0)x py p =->焦 点位 置 X 正X 负Y 正Y 负焦 点坐 标 (,0)2p (,0)2p -(0,)2p(0,)2p -准 线方 程 2p x =-2p x =2p y =-2p y =范 围 0,x y R ≥∈0,x y R ≤∈0,y x R ≥∈0,y x R ≤∈对 称轴 X 轴X 轴Y 轴Y 轴顶 点坐 标 （0,0）离心率 1e =通 径 2p焦半径11(,)A x y 12p AF x =+12p AF x =-+12p AF y =+12p AF y =-+焦点弦长AB12()x x p ++ 12()x x p -++ 12()y y p ++ 12()y y p -++焦点弦长AB以AB 为直径的圆必与准线l 相切3．抛物线)0(22>=p px y 的几何性质：(1)范围 因为p>0，由方程可知x ≥0，所以抛物线在y 轴的右侧，当x 的值增大时，|y |也增大，说明抛物线向右上方和右下方无限延伸． (2)对称性：对称轴要看一次项，符号决定开口方向． (3)顶点（0，0），离心率：1=e ，焦点(,0)2p F ，准线2px -=，焦准距p ． (4) 焦点弦：抛物线)0(22>=p px y 的焦点弦AB ，),(11y x A ,),(22y x B ,则p x x AB ++=21||． 弦长|AB|=x 1+x 2+p,当x 1=x 2时，通径最短为2p 。

4．焦点弦的相关性质：焦点弦AB ，),(11y x A ,),(22y x B ，焦点(,0)2pF (1) 若AB 是抛物线22(0)y px p =>的焦点弦（过焦点的弦），且11(,)A x y ，22(,)B x y ，则：2124p x x =，212y y p =-。

(2) 若AB 是抛物线22(0)y px p =>的焦点弦，且直线AB 的倾斜角为α，则22sin P AB α=（α≠0）。

(3) 已知直线AB 是过抛物线22(0)y px p =>焦点F ,112AF BF AB AF BF AF BF AF BF p++===•• (4) 焦点弦中通径最短长为2p 。

通径：过焦点垂直于焦点所在的轴的焦点弦叫做通径．(5) 两个相切：○1以抛物线焦点弦为直径的圆与准线相切.○2过抛物线焦点弦的两端点向准线作垂线，以两垂足为直径端点的圆与焦点弦相切。

5．弦长公式：),(11y x A ,),(22y x B 是抛物线上两点，则AB =||11||1212212y y kx x k -+=-+=【经典例题】（1）抛物线——二次曲线的和谐线椭圆与双曲线都有两种定义方法，可抛物线只有一种：到一个定点和一条定直线的距离相等的所有点的集合.其离心率e=1，这使它既与椭圆、双曲线相依相伴，又鼎立在圆锥曲线之中.由于这个美好的1，既使它享尽和谐之美，又生出多少华丽的篇章.【例1】P 为抛物线px y 22=上任一点，F 为焦点，则以PF 为直径的圆与y 轴（ ）.A 相交 .B 相切 .C 相离 .D 位置由P 确定【解析】如图，抛物线的焦点为,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，准线是 :2pl x =-.作PH ⊥l 于H ，交y 轴于Q ，那么PF PH =， 且2pQH OF ==.作MN ⊥y 轴于N 则MN 是梯形PQOF 的中位线，()111222MN OF PQ PH PF =+==.故以PF 为直径的圆与y 轴相切，选B.【评注】相似的问题对于椭圆和双曲线来说，其结论则 分别是相离或相交的.（2）焦点弦——常考常新的亮点弦有关抛物线的试题，许多都与它的焦点弦有关.理解并掌握这个焦点弦的性质，对破解这些试题是大有帮助的.【例2】 过抛物线()022p px y =的焦点F 作直线交抛物线于()()1122,,,A x y B x y 两点，求证：（1）12AB x x p =++ （2）pBF AF 211=+ 【证明】（1）如图设抛物线的准线为l ，作1AA l ⊥11111,2p A BB l B AA x ⊥==+于，则AF ， 122pBF BB x ==+.两式相加即得：12AB x x p =++（2）当AB ⊥x 轴时，有AF BF p ==，112AF BF p∴+=成立； 当AB 与x 轴不垂直时，设焦点弦AB 的方程为：2p y k x ⎛⎫=-⎪⎝⎭.代入抛物线方程： 2222p k x px ⎛⎫-= ⎪⎝⎭.化简得：()()222222014p k x p k x k -++=∵方程（1）之二根为x 1，x 2，∴1224k x x ⋅=.l XY FA(x,y)11B(x,y)22A 1B 1l那么：22121112.y y p CA CB y y p =-⇒⋅==设抛物线的准线交x 轴于C ，那么.CF p =2111111.90A FB CF CA CB A FB ∴∆=⋅∠=︒中故.这就说明：以A 1B 1为直径的圆必过该抛物线的焦点.● 通法 特法 妙法（1）解析法——为对称问题解困排难解析几何是用代数的方法去研究几何，所以它能解决纯几何方法不易解决的几何问题（如对称问题等）. 【例5】（10.四川文科卷.10题）已知抛物线 y=-x 2+3上存在关于直线x+y=0对称的相异两点A 、B ，则|AB|等于（ ）A.3B.4C.32D.42【分析】直线AB 必与直线x+y=0垂直，且线段 AB 的中点必在直线x+y=0上，因得解法如下.【解析】∵点A 、B 关于直线x+y=0对称，∴设直线AB 的方程为：y x m =+. 由()223013y x m x x m y x =+⎧⇒++-=⎨=-+⎩设方程（1）之两根为x 1，x 2，则121x x +=-. 设AB 的中点为M （x 0，y 0），则120122x x x +==-.代入x+y=0：y 0=12.故有11,22M ⎛⎫- ⎪⎝⎭.从而1m y x =-=.直线AB 的方程为：1y x =+.方程（1）成为：220x x +-=.解得： 2,1x =-，从而1,2y =-，故得：A （-2，-1），B （1，2）.AB ∴=，选C.（2）几何法——为解析法添彩扬威虽然解析法使几何学得到长足的发展，但伴之而来的却是难以避免的繁杂计算，这又使得许多考生对解析几何习题望而生畏.针对这种现状，人们研究出多种使计算量大幅度减少的优秀方法，其中最有成效的就是几何法.【例6】（11.全国1卷.11题）抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l ，经过F的直线与抛物线在x 轴上方的部分相交于点A ，AK l ⊥，垂足为K ，则AKF △的面积（ ）A ．4 B． C． D ．8【解析】如图直线AF 时∠AFX=60°. △AFK 为正三角形.设准线l 交x 轴于M ，则2,FM p ==XYABFA 1B 11MC XOYABM 0l x y +=ÿXY O F(1,0)AK60°Y2=2px L:x=-1M且∠KFM=60°，∴24,44AKF KF S ∆===选C. 【评注】（1）平面几何知识：边长为a 的正三角形的面积用公式2S ∆=计算. （2）本题如果用解析法，需先列方程组求点A 的坐标，，再计算正三角形的边长和面积.虽不是很难，但决没有如上的几何法简单.（3）定义法——追本求真的简单一着许多解析几何习题咋看起来很难.但如果返朴归真，用最原始的定义去做，反而特别简单. 【例7】（07.湖北卷.7题）双曲线22122:1(00)x y C a b a b -=>>，的左准线为l ，左焦点和右焦点分别为1F 和2F ；抛物线2C 的线为l ，焦点为21F C ；与2C 的一个交点为M ，则12112F F MF MF MF -等于（ ） A ．1- B ．1C ．12-D ．12【分析】 这道题如果用解析法去做，计算会特别繁杂，而平面几何知识又一时用不上，那么就从最原始的定义方面去寻找出路吧.如图，我们先做必要的准备工作：设双曲线的半 焦距c ，离心率为e ，作 MH l H ⊥于，令1122,MF r MF r ==.∵点M 在抛物线上，1112222,MF MF r MH MF r e MH MF r ∴=====故，这就是说：12||||MF MF 的实质是离心率e.其次，121||||F F MF 与离心率e 有什么关系？注意到： ()1212111122111F F e r r c e a e e MF r r r e +⋅⎛⎫====-=- ⎪⎝⎭. 这样，最后的答案就自然浮出水面了：由于()12112||||11||||F F MF e e MF MF -=-+=-.∴选 A..（4）三角法——本身也是一种解析三角学蕴藏着丰富的解题资源.利用三角手段，可以比较容易地将异名异角的三角函数转化为同名同角的三角函数，然后根据各种三角关系实施“九九归一”——达到解题目的.因此，在解析几何解题中，恰当地引入三角资源，常可以摆脱困境，简化计算.抛物线x y 82=的【例8】（09.重庆文科.21题）如图，倾斜角为a 的直线经过焦点F ，且与抛物线交于A 、B 两点。

（Ⅰ）求抛物线的焦点F 的坐标及准线l 的方程； （Ⅱ）若a 为锐角，作线段AB 的垂直平分线m 交 x 轴于点P ，证明|FP|-|FP|cos2a 为定值，并求此定值。

【解析】（Ⅰ）焦点F （2，0），准线;2l x =-. （Ⅱ）直线AB ：()()tan 21.y x α=-28y x =代入（1），整理得：()2tan 816tan 02y y αα--=设方程（2）之二根为y 1，y 2，则12128tan 16y y y y α⎧+=⎪⎨⎪⋅=-⎩.设AB 中点为()1200020044cot ,,2tan cot 24cot 2y y y M x y x y αααα+⎧===⎪⎨⎪=⋅+=+⎩则 AB 的垂直平分线方程是：()24cot cot 4cot 2y x ααα-=---. 令y=0，则()224cot 64cot 6x P αα=++，有，0故()2224cot 624cot 14cos FP OP OF ααα=-=+-=+= 于是|FP|-|FP|cos2a=()2224csc1cos24csc 2sin 8αααα-=⋅=，故为定值.（5）消去法——合理减负的常用方法.避免解析几何中的繁杂运算，是革新、创新的永恒课题.其中最值得推荐的优秀方法之一便是设而不求，它类似兵法上所说的“不战而屈人之兵”.【例9】 是否存在同时满足下列两条件的直线l ：（1）l 与抛物线x y 82=有两个不同的交点A 和B ；（2）线段AB 被直线1l ：x+5y-5=0垂直平分.若不存在，说明理由，若存在，求出直线l 的方程.【解析】假定在抛物线x y 82=上存在这样的两点()()1122.A x y B x y ，，，则有：AM()()()211121212222888y x y y y y x x y x ⎧=⇒+-=-⎨=⎩()()()1212128ABy y k x x y y -⇒==-+∵线段AB 被直线1l ：x+5y-5=0垂直平分，且1155l AB k k =-∴=，，即()1285y y =+1285y y ⇒+=.设线段AB 的中点为()12000425y y M x y y +==，，则.代入x+5y-5=0得x=1.于是： AB 中点为415M ⎛⎫⎪⎝⎭，.故存在符合题设条件的直线，其方程为： ()4512552105y x x y -=---=，即：（6）探索法——奔向数学方法的高深层次有一些解析几何习题，初看起来好似“树高荫深，叫樵夫难以下手”.这时就得冷静分析，探索规律，不断地猜想——证明——再猜想——再证明.终于发现“无限风光在险峰”.【例10】（10.安徽卷.14题）如图，抛物线y =-x 2+1与x 轴的正半轴交于点A ，将线段OA 的n 等分点从左至右依次记为P 1,P 2,…,P n -1,过这些分点分别作x 轴的垂线，与抛物线的交点依次为Q 1，Q 2，…，Q n -1，从而得到n -1个直角三角形△Q 1OP 1, △Q 2P 1P 2,…, △Q n -1P n -1P n -1,当n →∞时，这些三角形的面积之和的极限为 .【解析】∵11OA n=∴，图中每个直角三角形的底边长均为设OA 上第k 个分点为2220.11.k k k P y x y n n ⎛⎫=-+=- ⎪⎝⎭，代入： 第k 个三角形的面积为：2111.2k k a n n ⎛⎫=⋅- ⎪⎝⎭()()()()22212212114111212n n n n S n n n n -⎡⎤+++--+∴=--=⎢⎥⎢⎥⎣⎦. 故这些三角形的面积之和的极限()()21411111lim lim 1412123n n n n S n n n →∞→∞-+⎛⎫⎛⎫==-+= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭。