模型：
dx

dt

r (1
x xm
)x
x(0) x0
1、 试解释模型中涉及的所有变量、参数，用尽可能简洁的语言表述清楚该模型的建模 思想。
2、 这个模型的解是什么？画草图说明人口的变化趋势。
四、（15 分）经济系统有三个生产部门，它们的直接消耗系数矩阵如下：
0.1 0 0 0.2 0.2 0.1

8x2 3x2

6x3 9x3

79 33
x1, x2 , x3 0
编写 matlab 程序如下：
c=[-12,-15,-10]; A=[5 8 6；3 3 9]; b=[79；33];
Aeq=[];
beq=[];
vlb=[0,0,0];
vub=[];
[x,fval]=linprog(c,A,b,Aeq,beq,vlb,vub
数量无关），随机需求量 r 的概率密度为 f (r) ，每件商品的存贮费为 c3 （与时间无关）。
问如何确定订购量才能使商场的平均利润最大，这个平均利润是多少？若随机需求量 r 服
从均匀分布，则使平均利润最大的订购量是多少？ 。
参考答案
一、解 Q AK L
0 <, 1，它是 次齐次函数
当 t 时， x(t) xm
5分
x0
四、解 （1）由 AX Y X 得 Y X AX (E A)X
0.9 0 0.2 20 16
Y


0
0.8
0.1


20

15

5分
0.2 0.1 1 10 4
A 代表科技进步对产出的影响，， 分别表示产出关于资金和劳动投入的弹性。 5 分
在 1 时，表示规模报酬不变，在 1 时，表示规模报酬增加，在 1
时，表示规模报酬减少。
5分
二 解 由题意，价格满足下列微分方程问题
dp

dt

k (QD
QS
)
p(0) p0

1

5分
0 0
（3）二者关系是 B (E A)1 E
完全消耗系数 bij 是第 j 部门对第 I 部门的直接消耗于间接消耗之和。完全消耗系数不一定大
于直接消耗系数
5分
五、解 损益阵如下（6 分）
需求
10
20
30
策略
10
100
100
100
20
80
200
200
即

dp dt

k(a

c)
p

k
(d

b)
p(0) p0
利用一阶线性非齐次微分方程通解公式得
p(t) b d Cek(ac)t ac
由初始条件得 C

p0

bd ac
，所以得价格函数为
p(t)

bd ac
（p0

b d ）ek (ac)t ac
若需求量服从区间（a,b）的均匀分布，
（5 分）
u* b-a

c2 c2

c1 c3
u* c2 c1 (b a) c2 c3
（5 分）
10 分
（2）因为生产一单位新产品是收入下降的值为
售价超过 60/7 千元时才可生产。
七、设订购量为 u ，则平均利润为
1
6

3
7

6

60 7
所以当该新产品 5分
u

u
E(L) c2[ 0 rf (r)dr
u
uf (r)dr] [c0
c1u c3
(u r) f (r)dr]
8
6
79
乙
3
3
9
33
产品价格(千元) 12
15
10
（1）、建立数学模型，并编写求最优生产方案的 matlab 程序。
（2）、已知资源甲、乙的影子价格分别为 1 和 3 ，若企业又研制了一种新产品，它对 7
两种资源的单位消耗分别是 6,6 吨，问在什么条件下应生产这种新产品？
七、（15 分）某商场要定购一批商品零售，设购进价为 c1 ，售出价为 c2 ，订购费为 c0（与
30
60
180
300
第一种：期望值决策法 采取 3 种策略的期望分别是 100，140，144，所以生产
30 台。
3分
第二种：悲观法 10 台
3分
第三种：乐观法 30 台
3分
max z 12x1 15x2 10x3
六、解: （1）设
x1,
x2
,
x3
分别为
A、B、C
的产量，则数学模型为
5x1 3x1
0.2 0.1 0
（1）、已知各部门的总产值为：第一部门 20 亿元，第二部门 20 亿元，第三部门 10
亿元，问各部门的最终产品是多少？ （2）求部门间相互消耗量； （3）、直接消耗系数矩阵和完全消耗系数矩阵的关系是什么？完全消耗系数的经济
意义是什么？完全消耗系数一定大于直接消耗系数吗？ 五、（15 分）某工厂生产某种机器，决策者可选择生产 10 台，20 台或 30 台。实际需求
0
u
(c2 c1 )u c0 (c2 c3 ) 0 (u r) f (r)dr
令 dE(L) 0 ，得最优订购量 u* 满足的条件为 du
（5 分）
u* f (r)dr c2 c1
0
c2 c3
u*
最大平均利润 E(L) (c2 c3 ) 0 rf (r)dr c0
可能是 10 台，20 台或 30 台。假设卖出一台利润为 10 万，滞销一台损失为 2 万，决 策者应如何决策？(列出三种方法)
六、（15 分）某企业生产 A, B, C 三种产品，消耗甲、乙两种资源，有关数据如下表：（其
中消耗系数为单位产品对资源的消耗量）
消耗
产
系数
品
ห้องสมุดไป่ตู้
A
B
C
资源限量(吨)
原料
甲
5
（2）因为第一、二、三部门的总产值为 20、20、10 亿元，所以各部门的消耗量分 别为
0.1 2
20

0



0

0.2 4
0 0
20

0.2



4
0.1 2
0.2 2
10

0.1

QS d cp
(c 0， d 0)
又设价格 p 随时间 t 的变化率与超额需求 QD QS 成正比，试求价格函数，并证明随着
时间的推移，价格稳定于均衡价格。（设 p(0) p0 ）
三、（15分）以 x(t) 表示某地区时刻 t 的人口数，下面是人口预测的阻滞增长（Logistic）
西安交通大学考试题
成绩
课程
系别 专业班号
经济数学建模
考试日期
年月 日
姓名
学号
一、（10分）写出柯布—道格拉斯生产函数，其中参数的经济意义是什么，分析经济学中
的规模报酬问题。
二、（15 分）设某商品的市场价格 p p(t) 随时间 t 变化，其需求函数为
供给函数为
QD b ap
(a 0，b 0)
故 lim p(t) b d ，这正是均衡价格。
t
ac
5分
5分 5分
三、解：（1）r 为人口固有增长率，x0 为初始人口数，xm 为最大人口数数。 r(1 x ) 为阻滞 xm
增长率。建模思路就是认为人口增长率会随着人口的增长而下降。
10 分
（2） 解得 x(t)
xm
1 ( xm 1)ert