《数学建模》模拟试题
一、（02'）
人带着猫、鸡、米过河，船除希望要人计划之外，至多能载猫、鸡、米三者之一，而当人不在场时猫要吃鸡、鸡要吃米，设计一个安全过河方案，并使渡河次数尽量地少。

二、（02'）
雨滴的速度v 与空气密度ρ、粘滞系数μ和重力加速度g 有关，其中粘滞系数的定义是：运动物体在六题中受的摩擦力与速度梯度和接触面积的乘积成正比，比例系数为粘滞系数，用量纲分析方法给出速度v 的表达式。

三、（03'）
要在雨中从一处沿直线跑到另一处，若雨速为常数且方向不变，试建立数学，模型讨论是否跑都越快，淋雨量越少。

将人体简化成一个长方体，高m a 5.1=（颈部以下），宽m b 5.0=厚m c 2.0=，设跑步距离
,1000m d =跑步最大速度s m v m /5=，雨速s m u /4= ，降雨量h cm w /2=，记跑步速度为v ，按以下步骤进行讨论；
（1）不考虑雨的方向，设降雨淋遍全身，以最大速度跑步，估计跑完全程的总淋雨量
（2）雨从迎面吹来，雨线与跑步方向在同一铅直平面内，且与人体的夹角为θ，如图1建立总淋雨量与速度v 及参数θ,,,,,,w u d c b a 之间的关系，问速度v 多大，总淋雨量最少，计算0
30,0==θθ时的总淋雨量。

（3））雨从背面吹来，雨线方向与跑步方向在同一铅直平面内，且与人体的夹角为∂，如图2建立总淋雨量与速度v 及参数∂,,,,,,w u d c b a 之间的关系，问速度v 多大，总淋雨量最少，计算030=θ时的总淋雨量。

四、（03'）
建立铅球掷远模型，不考虑阻力，设铅球初速度为v ，出手高度为h 出手角度为α（与地面夹角），建立投掷距离与α,,h v 的关系式，并在h v ,一定的条件下求最佳出手角度。

参考答案
一、人、猫、鸡、米分别记为4,3,2,1=i ，当i 在此岸时记1=i x ，否则记0=i x ，则此岸
的状态可用()4321,,,x x x x s =表示。

记s 的反状态为()4321'1,1,1,1x x x x s ----=，允许
状态集合为()()()()(){}0,1,0,1,1,1,0,1,1,0,1,1,0,1,1,1,1,1,1,1=S 及他们的5个反状态 决策为乘船方案，记作()4321,,,u u u u d =，当i 在船上时记1=i u ，否则记0=i u ，允许决策集合为()()()(){}0,0,0,1,1,0,0,1,0,1,0,1,0,0,1,1=D
记第k 次渡河前此岸的状态为k s ，第k 次渡河的决策为k d ，则状态转移律为()k k
k k d s s 11-+=+，设计安全过河方案归结为求决策序列,,,,21D d d d n ∈ ，使状态S s k ∈按状态转移律由初始状态()1,1,1,11=s 经n 步达到()0,0,0,01=+n s 。

一个可行的方案
二、1][-=LT v ,M L 3][-=ρ,[]11--=T ML μ,2][-=LT g .
由量纲分析设(),0,,,=g v f μρ 解得(),,0,2/12/1121--==g vr F πππ
2/112/12/32g r --=μρπ于是()μρϕ/2/12/3g r rg v =，ϕ是未定函数.
三、
1) 全身面积22.222m bc ac ab s =++=，淋雨时间s v d
t m 200==，降雨量s m h cm 181024-==ω，所以总淋雨量44.2≈=ωst Q 升
2) 顶部淋雨量v bcd Q θωcos 1=；雨速水平分量θsin u ，方向与v 相反，合速度v u +θsin ，迎面单位时间、单位面积的淋雨量()u v u +θωsin ，迎面淋雨量
()uv v u abd Q +=θωsin 2，所以总淋雨量()v v u a cu u bd Q Q Q ++=+=θθωsin cos 21。

m v v =时Q 最小，15.1,0≈=Q θ升。

55.1,300≈=Q θ升。

3) 与2）不同的是，合速度为v u -αsin ，于是总淋雨量
()()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+-=-+≤-+=-+=αααωααωαααωααωsin ,sin cos sin cos sin ,sin cos sin cos u v v
av a c u u bd v u v a cu u bd u v v av a c u u bd v v u a cu u bd Q ，若,0sin cos <-ααa c 即a
c >αtan ，则αsin u v =时Q 最小。

否则m v v =时Q 最小。

当24.0,2,5.12.0tan ,300≈=>=Q s
m v αα升最小。

四、在图中坐标下铅球运动方程为
()()()().sin 0,cos 0,0,00,,0ααv y v x h y x g y
x ====-== 解出()t x ，()t y 后，可以求得铅球掷远为
,cos 2sin cos sin 2/12222ααααv g h g v g v R ⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛++=这个关系还可表为()ααtan cos 2222R h v g R +=
由此计算0*=ααd dR
，得最佳出手角度()gh v v +=-21*2sin α，和最佳成绩gh v g
v R 22*+=设m h 5.1=，s m v /10=，则0*4.41≈α，m R 4.11*=。