1.（西城10）佩香囊是端午节传统习俗之一.香囊内通常填充一些中草药,有清香、驱虫、开窍的功 效.因地方习俗的差异,香囊常用丝布做成各种不同的形状,形形色色,玲珑夺目. 图1的▱ ABCD 由六个正三角形构成.将它沿虚线折起来,可得图2所示的六面 体形状的香囊.那么在图2这个六面体中,棱 AB 与 CD 所在直线的位置关系为( A)平行 ( B)相交 ( C)异面且垂直 ( D)异面且不垂直 答案B2．（海淀10）为了预防新型冠状病毒的传染，人员之间需要保持一米以上的安全距离.某公司会议室共有四行四列座椅，并且相邻两个座椅之间的距离超过一米，为了保证更加安全，公司规定在此会议室开会时，每一行、每一列均不能有连续三人就座.例如下图中第一列所示情况不满足条件（其中“√”表示就座人员）.根据该公司要求，该会议室最多可容纳的就座人数为（A ）9 （B ）10（C ）11（D ）12答案 C3.（东城10） 函数()f x 是定义域为R 的奇函数，且它的最小正周期是T ，已知,[0,],4()=,(,],242⎧∈⎪⎪⎨⎪-∈⎪⎩T x x f x T T T x x ()()()g x f x a a R =+∈. 给出下列四个判断：①对于给定的正整数n ，存在∈a R ，使得1()()0ni i T i Tg f n n=⋅⋅=∑成立; ②当=4Ta 时，对于给定的正整数n ，存在(1)∈≠k k R ，使得1()()0ni i T i T g k f n n =⋅⋅=∑成立; ③当=4Ta k(∈k Z )时，函数()()g x f x +既有对称轴又有对称中心; ④当=4T a k (∈k Z )时，()()g x f x +的值只有0或4T.其中正确判断的有(A)1个(B)2个(C) 3个(D)4个 答案 C4.（密云10）10.已知函数()f x的定义域为，且满足下列三个条件： ①对任意的，且，都有；②； ③是偶函数；若，，(2020)c f =，则，，的大小关系正确的是 A ．a b c <<B ．C ．D ．答案 D5.（丰台10） 某中学举行了科学防疫知识竞赛.经过选拔，甲、乙、丙三位选手进入了的最后角逐.他们还将进行四场知识竞赛.规定：每场知识竞赛前三名的得分依次为,,(,a b c a b c >>且,,)N a b c *∈；选手总分为各场得分之和．四场比赛后，已知甲最后得分为16分，乙和丙最后得分都为8分，且乙只有一场比赛获得了第一名，则下列说法正确的是（A ）每场比赛的第一名得分a 为4 （B ）甲至少有一场比赛获得第二名 （C ）乙在四场比赛中没有获得过第二名 （D ）丙至少有一场比赛获得第三名答案C6.（昌平10）一次数学考试共有8道判断题，每道题5分，满分40分.规定正确的画√，错误的画╳.甲、乙、丙、丁四名同学的解答及得分情况如下表所示，则m 的值为（A ）35 （B ）30 （C ）25 （D ）20 答案B7.（昌平15）曲线C :3,点P 在曲线C 上．给出下列三个结论：①曲线C 关于y 轴对称；②曲线C 上的点的横坐标的取值范围是[2,2]-； ③若(1,0)A -,(1,0)B ，则存在点P ,使△PAB 的面积大于32. 其中，所有正确结论的序号是________． 答案①②8.（丰台15）已知集合{}22()|(cos )(sin )40P x y x y θθθ=-+-=≤≤π,,.由集合P 中所有的点组成的图形如图中阴影部分所示，中间白色部分形如美丽的“水滴”. 给出下列结论： ① “水滴”图形与y 轴相交，最高点记为A ，则点A 的坐标为（0，1）； ②在集合P 中任取一点M ，则M 到原点的距离的最大值为3；③阴影部分与y 轴相交，最高点和最低点分别记为C ，D ，则3CD =+④白色“水滴”图形的面积是116π其中正确的有__________． 答案②③④9. （密云15） 已知集合22{,,A a a x y x y ==-∈∈Z Z}．给出如下四个结论： ①2A ∉，且3A ∈；②如果{|21,}B b b m m ==-∈N*，那么B A ⊆；③如果{|22,}C c c n n ==+∈N*，那么对于c C ∀∈，则有c A ∈； ④如果1a A ∈，2a A ∈，那么12a a A ∈． 其中，正确结论的序号是__________． 答案①②④10.（海淀15）已知函数1,0,()|ln |,0.ax x f x x x ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩给出下列三个结论：①当2a =-时，函数()f x 的单调递减区间为(,1)-∞； ②若函数()f x 无最小值，则a 的取值范围为(0,)+∞；③若1a <且0a ≠，则b ∃∈R ，使得函数()y f x b =-恰有3个零点1x ,2x ,3x ，且1231x x x =-. 其中，所有正确结论的序号是_______.答案②③11.（东城15）配件厂计划为某项工程生产一种配件，这种配件每天的需求量是200件.由于生产这种配件时其他生产设备必须停机，并且每次生产时都需要花费5000元的准备费，所以需要周期性生产这种配件，即在一天内生产出这种配件，以满足从这天起连续n 天的需求，称n 为生产周期(假设这种配件每天产能可以足够大).配件的存储费为每件每天2元（当天生产出的配件不需要支付存储费，从第二天开始付存储费）.在长期的生产活动中，为使每个生产周期内每天平均的总费用最少，那么生产周期n 为_______. 答案 512.（西城15）已知函数 f ( x )的定义域为R,满足 f ( x +2) =2 f ( x ) ,且当 x ∈( 0, 2]时, ()23xf x =-. 有以下三个结论: ① f (-1)=12—② 当 11,42a ⎛⎤∈⎥⎝⎦时,方程 f ( x )= a 在区间[-4,4]上有三个不同的实根; ③ 函数 f ( x )有无穷多个零点,且存在一个零点 b ∈Z. 其中,所有正确结论的序号是 ______. 答案① ②13. （房山9）把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是1C θo，空气的温度是0C θo，经过t 分钟后物体的温度C θo 可由公式010()ektθθθθ-=+-求得，其中k 是一个随着物体与空气的接触状况而定的大于0的常数．现有80C o 的物体，放在20C o 的空气中冷却，4分钟以后物体的温度是40C o ，则k 约等于（参考数据：ln3 1.099≈） （A ）0.6 （B ）0.5 （C ）0.4 （D ）0.3答案D14. （房山10）李明自主创业种植有机蔬菜，并且为甲、乙、丙、丁四家超市提供配送服务，甲、乙、丙、丁四家超市分别需要每隔2天、3天、5天、6天去配送一次．已知5月1日李明分别去了这四家超市配 送，那么整个5月他不用去配送的天数是 （A ）12 （B ）13 （C ）14 （D ）15答案B15. （房山15）对任意两实数a ，b ，定义运算“*”：22,,22,.a b a b a b b a a b -⎧*=⎨-<⎩≥给出下列三个结论：①存在实数a ，b ，c 使得a b b c c a *+**≥成立； ②函数()sin cos f x x x =*的值域为[0,2]； ③不等式2(1)1x x *-*≤的解集是[1,)+∞．答案 ①③16. （朝阳10）设函数()f x 的定义域为D ，如果对任意1∈x D ，都存在唯一的2∈x D ，使得12()()+=f x f x m （m为常数）成立，那么称函数()f x 在D 上具有性质ψm ．现有函数：①()3=f x x ；②()3=xf x ；③3()log =f x x ；④()tan =f x x ．其中，在其定义域上具有性质ψm 的函数的序号是 （A ）①③（B ）①④ （C ）②③（D ）②④ 答案A17. （朝阳15）颗粒物过滤效率η是衡量口罩防护效果的一个重要指标，计算公式为out inout100%C C C η-=⨯，其中outC 表示单位体积环境大气中含有的颗粒物数量（单位：ind./L ），in C 表示经口罩过滤后，单位体积气体中含有的颗粒物数量（单位：ind./L ）．某研究小组在相同的条件下，对两种不同类型口罩的颗粒物过滤效率分别进行了4次测试，测试结果如图所示．图中点i j A 的横坐标表示第i 种口罩第j 次测试时out C 的值，纵坐标表示第i 种口罩第j 次测试时in C 的值(1,2,1,2,3,4)==i j ．该研究小组得到以下结论：① 在第1种口罩的4次测试中，第4次测试时的颗粒物过滤效率最高； ② 在第2种口罩的4次测试中，第3次测试时的颗粒物过滤效率最高；③ 在每次测试中，第1种口罩的颗粒物过滤效率都比第2种口罩的颗粒物过滤效率高；④ 在第3次和第4次测试中，第1种口罩的颗粒物过滤效率都比第2种口罩的颗粒物过滤效率低． 其中，所有正确结论的序号是________．答案②④18.（丰台21）已知无穷集合,A B ,且,A B ⊆⊆N N ，记{},A B a b a A bB +=+∈∈，定义：满足*()A B ⊆+N 时，则称集合,A B 互为“完美加法补集”.（Ⅰ）已知集合{}21,,A a a m m ==+∈N {}2,B b b n n ==∈N .判断2019和2020是否属于集合A B +，并说明理由；（Ⅱ）设集合{}2422024222+2+2++2++2,0,1;0,1,,,N ,i s i s i A x x i s s εεεεεε==⨯⨯⨯⨯==∈L L L{}132121*132121212+2++2++2,0,11,,,N i s i s i B x x i s s εεεεε-----==⨯⨯⨯⨯==∈L L L ；.(ⅰ)求证：集合,A B 互为“完美加法补集”；（ⅱ）记()A n 和()B n 分别表示集合,A B 中不大于*()n n ∈N 的元素个数，写出满足()A n ()1B n n =+的元素n 的集合.（只需写出结果，不需要证明）答案：解: （Ⅰ）由21a m =+，2b n =得2)1a b m n +=++（是奇数， 当210091a =⨯+，20=0b =⨯时，2019a b +=，所以2019A B ∈+，2020A B ∉+. ………4分（Ⅱ）(ⅰ)首先证明：对于任意自然数p 可表示为唯一一数组012i k εεεεε（，，，，，，）L L ，其中0101i i k k ε==∈N ,;,,,,L ， （第15题图）使得1210121+2+2++2+2++20101i i k i i k i p i k k εεεεεεε++=⨯⨯⨯⨯⨯==∈N ,;,,,,，L L L ，由于12112101210+2+2++2+2++22+2++2++221ii k i k k i i k εεεεεε+++≤⨯⨯⨯⨯⨯≤=-L L L L这种形式的自然数p 至多有12k +个，且最大数不超过121k +-.由0101i i k k ε==∈N ,;,,,,L ，每个i ε都有两种可能， 所以这种形式的自然数p 共有1122222k k ++⨯⨯⨯=L 14444244443个个结果.下证1210121+2+2++2+2++2i i k i i k p εεεεεε++=⨯⨯⨯⨯⨯L L 121121+2+2++2+2++2ii k i i kεεεεεε++''''''=⨯⨯⨯⨯⨯L L 其中010101i i i k k εε===∈'N ,；,；,,,,L ，则i i εε'= 假设存在i i εε'≠中，取i 最大数为j ，则12112101210121(+2+2++2+2++2)+2+2++2+2++2()i i k i i k i i k i i k εεεεεεεεεεεε++++''''''⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯-L L L L1001111001111110111111=()+()2++()2()2()+()2++()2()2(+2++2))2(122)1j j j i j j j j j jj j j j j j j εεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεε-------'''--⨯-⨯''''≥-⨯---⨯-⨯''''≥-⨯---⨯-⨯≥-+++=L L L L所以01≥ 不可能.综上，任意正整数p 可唯一表示为1210121+2+2++2+2++2i i k i i k p εεεεεε++=⨯⨯⨯⨯⨯L L 2130213(+2)(2+2+)εεεε=⨯++⨯⨯L L显然2130213(+2)(2+2+)A B εεεε⨯+∈⨯⨯∈,L L ，满足*()A B ⊆+N ，所以集合,A B 互为“完美加法补集”. ………11分（ⅱ）{}*21k n n k =-∈N ,. ………14分19（密云21）设n 为正整数，集合A =12{|(,,,),{0,1},1,2,,}n k t t t t k n αα=∈=L L ．对于集合A 中的任意元素12(,,,)n x x x α=L 和12(,,,)n y y y β=L ，记111122221(,)[(||)(||)(||)]2n n n n M x y x y x y x y x y x y αβ=+-++-+++-+++L ．（Ⅰ）当n =3时，若(0,1,1)α=，(0,0,1)β=，求(,)M αα和(,)M αβ的值； （Ⅱ）当4n =时，对于A 中的任意两个不同的元素,αβ，证明：(,)(,)(,)M M M αβααββ+≤．（Ⅲ）给定不小于2的正整数n ，设B 是A 的子集，且满足：对于B 中的任意两个不同元素α,β，(,)(,)(,)M M M αβααββ=+．写出一个集合B ，使其元素个数最多，并说明理由．答案：（Ⅰ）解：因为(0,1,1)α=，(0,0,1)β=，所以1(,)[(00|00|)(11|11|)(11|11|)]22M αα=++-+++-+++-=，1(,)[(00|00|)(10|10|)(11|11|)]22M αβ=++-+++-+++-=．（Ⅱ）证明：当4n =时，对于A 中的任意两个不同的元素,αβ，设12341234(,,,)(,,,)x x x x y y y y αβ==，，有12341234(,)(,)M x x x x M y y y y ααββ=+++=+++，．对于任意的,i i x y ，1,2,3,4i =，当i i x y ≥时，有11(||)[()]22i i i i i i i i i x y x y x y x y x ++-=++-=， 当i i x y ≤时，有11(||)[()]22i i i i i i i i i x y x y x y x y y ++-=+--=． 即1(||)max{,}2i i i i i i x y x y x y ++-=． 所以，有11223344(,)max{,}max{,}max{,}max{,}M x y x y x y x y αβ=+++． 又因为,{0,1}i i x y ∈，所以max{,}i i i i x y x y ≤+，1,2,3,4i =，当且仅当0i i x y =时等号成立． 所以，11223344max{,}max{,}max{,}max{,}x y x y x y x y +++11223344()()()()x y x y x y x y ≤+++++++ 12341234()()x x x x y y y y =+++++++， 即(,)(,)(,)M M M αβααββ≤+，当且仅当0i i x y =（1,2,3,4i =）时等号成立．（Ⅲ）解：由（Ⅱ）问，可证，对于任意的123123(,,,,)(,,,,)n n x x x x y y y y αβ==L L ，，若(,)(,)(,)M M M αβααββ=+，则0i i x y =，1,2,3,,i n =L 成立． 所以，考虑设012312{(,,,,)|,0}n n A x x x x x x x =====L L ， 11231{(,,,,)|1,{0,1},2,3,,}n i A x x x x x x i n ==∈=L L ，对于任意的2,3,,k n =L ，123123121{(,,,,)|(,,,,),0,1}k n n k k A x x x x x x x x A x x x x -=∈=====L L L ．所以01n A A A A =U UL U ．假设满足条件的集合B 中元素个数不少于2n +， 则至少存在两个元素在某个集合k A （1,2,,1k n =-L ）中， 不妨设为123123(,,,,)(,,,,)n n x x x x y y y y αβ==L L ，，则1k k x y ==． 与假设矛盾，所以满足条件的集合B 中元素个数不多于1n +． 取0(0,0,0)e =L ；对于1,2,,1k n =-L ，取123(,,,,)k n k e x x x x A =∈L ，且10k n x x +===L ；n n e A ∈． 令01{,,,}n B e e e =L ，则集合B 满足条件，且元素个数为1n +．故B 是一个满足条件且元素个数最多的集合．20.（西城21）答案解：（Ⅰ）存在表1，使得,100i j b i j =--；不存在表1，使得,i j b 等于2j i -+. ……… 3分 （Ⅱ）因为对于任意的1,2,,391,2,,20i j ==L L ；，都有,1,1i j i j b b +-≥， 所以1,202,201b b -≥，2,203,201b b -≥，L ，39,2040,201b b -≥， 所以1,202,202,203,2039,2040,20(39b b b b b b ---L )+()++()≥，即1,2040,203940b b +=≥. ……………… 6分 又因为对于1,2,,401,2,,19m n ==L L ；，都有,,12m n m n b n +-≥， 所以1,11,22b b -≥，1,21,32b b -≥，L ，1,191,202b b -≥， 所以1,11,21,21,31,191,20(38b b b b b b ---L )+()++()≥， 所以1,11,2038403878b b ++=≥≥.即1,178b ≥. ……………… 8分 （Ⅲ）当表1如下图时：其中，每行恰好有1个0和19个1；每列恰好有2个0和38个1；因此每行的和均为19. 符合题意. 重新排序后，对应表2中，前38行中每行各数均为1，每行的和均为20；后2行各数均为0，因此39k ≥. ……………… 10分以下先证：对于任意满足条件的表1，在表2的前39行中，至少包含原表1中某一行（设为第r 行）的全部实数（即包含,1,2,20,,,r r r a a a L ）.假设表2的前39行中，不能包含原表1中任一行的全部实数. 则表2的前39行中至多含有表1中的4019760⨯=个数， 这与表2中前39行中共有3920780⨯=个数矛盾.所以表2的前39行中，至少包含原表1中某一行（设为第r 行）的全部实数.……………… 12分其次，在表2中，根据重排规则得：当39i ≥时，,39,,i j j r j b b a ≤≤1,2,20j =L （，）， 所以,1,2,20,1,2,2019i i i r r r a b b b a a ++++++L L ≤≤. 所以39k ≤.综上，39k =. ……………… 14分21. （海淀21）在平面直角坐标系中，O 为坐标原点.对任意的点(,)P x y ，定义||||||||OP x y =+. 任取点1122(,),(,)A x y B x y ，记1221'(,),'(,)A x y B x y ，若此时2222||||||||||'||||'||OA OB OA OB +≥+ 成立，则称点,A B 相关.（Ⅰ）分别判断下面各组中两点是否相关，并说明理由；①(2,1),(3,2)A B -； ②(4,3),C -(2,4)D .（Ⅱ）给定*n ∈N ，3n ≥，点集{(,)|,,,}n x y n x n n y n x y Ω=-≤≤-≤≤∈Z .(ⅰ)求集合n Ω中与点(1,1)A 相关的点的个数；(ⅱ)若n S ⊆Ω，且对于任意的,A B S ∈，点,A B 相关，求S 中元素个数的最大值.答案解：（Ⅰ）①由题知'(2,2),'(3,1)A B -，进而有2222||||||||(2+1)(32)34OA OB +=++=， 2222||'||||'||(2+2)(31)32OA OB +=++=， 所以2222||||||||||'||||'||OA OB OA OB +≥+. 所以,A B 两点相关；②由题知'(4,4),'(2,3)C D -，进而有2222||||||||=4+3)(24)85OC OD +++=（， 2222||'||||'||4+4)(23)89OC OD +=++=（， 所以2222||||||||||'||||'||OC OD OC OD +<+， 所以,C D 两点不相关.（Ⅱ）(ⅰ)设(1,1)A 的相关点为(,)B x y ，,x y ∈Z ，,n x n n y n -≤≤-≤≤,由题意，'(1,)A y ，'(,1)B x .因为点,A B 相关，则222242||||12||12||x y x y y y x x +++≥+++++. 所以||||||||10x y x y --+≥. 所以(||1)(||1)0x y --≥. 当0x =时,{}||0,1y ∈,则(1,1)A 相关点的个数共3个;当||1x =时,则(1,1)A 相关点的个数共42n +个;当||2x ≥时,||1y ≥，则(1,1)A 相关点的个数共4(1)n n -个. 所以满足条件点B 共有24(1)42345n n n n -+++=+(个). (ⅱ)集合S 中元素个数的最大值为81n -.{(0,0),(0,1),(1,1),(1,),(2,),,(,)}S n n n n =±±±±±±±±±L L 符合题意下证：集合S 中元素个数不超过81n -. 设1122(,),(,)A x y B x y ，若点,A B 相关，则2222111122222||||2||||x y x y x y x y +++++2222121221212||||2||||x y x y x y x y ≥+++++.则11221221||||||||x y x y x y x y +≥+. 所以1212(||||)(||||)0x x y y --≥.设集合S 中共有m 个元素，分别为(,)i i i A x y ，1i m ≤≤，*i N ∈， 不妨设12||||||m x x x ≤≤L ，而且满足当1||||i i x x +=，1||||i i y y +≤. 下证：12||||||m y y y ≤≤≤L . 若1||||i i x x +=，1||||i i y y +≤. 若1||||i i x x +<，则必有1||||i i y y +≤.记，11||||||||i i i i i d x y x y ++=+--，11i m ≤≤-，*i ∈N ， 显然，数列{}i d 至多连续3项为0，必有1231i i i i d d d d ++++++≥， 假设81m n >-，则1281123481()21n n d d d d d d d d n --+++=+++++≥-L L . 而12818181||||||||21n n n d d d x x y y n -+++=-+-≥-L , 因此，必有10x =或10y =.可得，12,d d 不可能同时为0，则121d d +≥.所以1281123481()()2n n d d d d d d d d n --+++=+++++≥L L . 必有88||||n n x y n ==，110x y ==. 所以，11d =，230d d ==.因此22||||1x y +=，33||||1x y +=，44||||1x y +=. 若2||1x =，则234,,{(1,0),(1,0)}A A A ∈-，矛盾. 同理，2||1y =，矛盾. 因此，假设不成立. 所以81m n ≤-.所以集合S 中元素个数的最大值为81n -.22.（昌平21）已知有限数列{}n a ，从数列{}n a 中选取第1i 项、第2i 项、⋯、第m i 项12()m i i i <<⋯<，顺次排列构成数列{}k b ，其中k k i b a =，1k m ≤≤，则称新数列{}k b 为{}n a 的长度为m 的子列．规定：数列{}n a 的任意一项都是{}n a的长度为1的子列．若数列{}n a 的每一子列的所有项的和都不相同，则称数列{}n a 为完全数列．设数列{}n a 满足,125,n a n n n =≤≤∈*N .（Ⅰ）判断下面数列{}n a 的两个子列是否为完全数列，并说明由； 数列⑴：3,5,7,9,11；数列⑵：2,4,8,16．（Ⅱ）数列{}n a 的子列{}k b 长度为m ，且{}k b 为完全数列，证明：m 的最大值为6；（Ⅲ）数列{}n a 的子列{}k b 长度5m =，且{}k b 为完全数列，求1234511111b b b b b ++++的最大值．18.（东城21）设数列：12n A a a a ：，，，L ，12n B b b b ：，，，L .已知{}01i j a b ∈，，（,,,;,,,i n j n ==L L 1212），定义n n ⨯数表111212122212()n n n n nn x x x x x x X A B x x x ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪⎪⎝⎭，L LM M M M L ，其中10i j ij i j a b x a b =⎧=⎨≠⎩，，（Ⅰ）若:1,1,1,0A ，:0,1,0,0B ，写出()X A B ，;（Ⅱ）若A B ，是不同的数列，求证：n n ⨯数表()X A B ，满足“=ij ji x x （,,,;,,,;1212==≠L L i n j n i j ）”的充分必要条件为“1(1,2,,)+==k k a b k n L ”;（Ⅲ）若数列A 与B 中的1共有n 个, 求证：n n ⨯数表()X A B ，中1的个数不大于22n .答案解：（Ⅰ）数列⑴不是{}n a 的完全数列；数列⑵是{}n a 的完全数列． …………….2分 理由如下：数列⑴：3,5,7,9,11中，因为3+9=5+7=12，所以数列⑴不是{}n a 的完全数列； 数列⑵：2,4,8,16中，所有项的和都不相等，数列⑵是{}n a 的完全数列．….4分（Ⅱ）假设数列{}k b 长度为7m ≥，不妨设7m =，各项为1237b b b b <<<<L ．考虑数列{}k b 的长度为2,3,,7L 的所有子列，一共有7217120--=个．记数列{}k b 的长度为2,3,,7L 的所有子列中，各个子列的所有项之和的最小值为a ，最大值为A . 所以12a b b =+，12122524232221115A b b b b =++++++=++． 所以其中必有两个子列的所有项之和相同．所以假设不成立． 再考虑长度为6的子列：12，18，21，23，24，25，满足题意.所以子列{}k b 的最大长度为6． …………….9分 （Ⅲ）数列{}n a 的子列{}k b 长度5m =，且{}k b 为完全数列，且各项为1235b b b b <<<<L ．所以，由题意得，这5项中任意i (15)i ≤≤项之和不小于21i -． 即对于任意的15i ≤≤，有1221i i b b b +++-L ≥，即1121242i i b b b -+++++++L L ≥.对于任意的15i ≤≤， 112(1)(2)(20i i b b b --+-++L -)≥，设12i i i c b -=-（(1,2,3,4,5)i =），则数列{}i c 的前j 项和0j D ≥(1,2,3,4,5)j =．下面证明：12345111111111124816b b b b b ++++++++≤． 因为123451111111111)(24816b b b b b ++++-++++() 12345111111111(1)()()()(24816b b b b b =-+-+-+-+-) 351241234541612824816b b b b b b b b b b -----=++++3243541211234524816D D D D D D D D D b b b b b ----=++++5123412233445511111111()()()()022********D D D D D b b b b b b b b b =-+-+-+-+≥， 所以123451111111113112481616b b b b b ++++++++=≤，当且仅当 12i i b -=(1,2,3,4,5)i =时，等号成立．所以1234511111b b b b b ++++的最大值为3116． …………….14分23.（房山21）知集合P 的元素个数为3n ()n ∈*N 且元素均为正整数，若能够将集合P 分成元素个数相同且两两没有公共元素的三个集合A ，B ，C ，即P A B C =U U ，A B =∅I ，A C =∅I ，B C =∅I ，其中12{,,,}n A a a a =L ，12{,,,}n B b b b =L ，12{,,,}n C c c c =L ，且满足12n c c c <<<L ，k k k a b c +=，1,2,,k n =L ，则称集合P 为“完美集合”．（Ⅰ）若集合{1,2,3}P =，{1,2,3,4,5,6}Q =，判断集合P 和集合Q 是否为“完美集合”？并说明理由；（Ⅱ）已知集合{1,,3,4,5,6}P x =为“完美集合”，求正整数x 的值；（Ⅲ）设集合{|13,}P x x n n =∈*N ≤≤，证明：集合P 为“完美集合”的一个必要条件是4n k =或41n k =+()n ∈*N ． 答案（Ⅰ）将P 分为集合{1},{2},{3}满足条件，是完美集合．将Q 分成3个，每个中有两个元素，若为完美集合，则111a b c +=，222a b c +=Q 中所有元素之和为21，1221210.510.5c c ÷==+=，不符合要求；（Ⅱ）若集合{1,4}A =，{3,5}B =，根据完美集合的概念知集合{6,7}C =，若集合{1,5}A =，{3,6}B =，根据完美集合的概念知集合{4,11}C =， 若集合{1,3}A =，{4,6}B =，根据完美集合的概念知集合{5,9}C =，故x 的一个可能值为7,9,11中任一个； （Ⅲ）证明：P 中所有元素之和为 3(31)1232n n n ++++=L 111222n n n a b c a b c a b c =++++++++L1212()n n c c c c -=++++L∵3n c n =∴1213(31)34n n n c c c n -+=++++L ∴1219(1)4n n n c c c --=+++L ，等号右边为正整数，则等式左边9(1)n n -可以被4整除， ∴4n k =或14n k -=()n ∈*N ，即4n k =或41n k =+()n ∈*N ．24. （朝阳21）设集合1234{,,,}=A a a a a ，其中1a ，2a ，3a ，4a 是正整数，记1234=+++A S a a a a ．对于i a ，∈j a A(14)≤<≤i j ，若存在整数k ，满足()+=i j A k a a S ，则称+i j a a 整除A S ，设A n 是满足+i j a a 整除A S 的数对(,)(<)i j i j 的个数．（Ⅰ）若{1,2,4,8}=A ，{1,5,7,11}=B ，写出A n ，B n 的值； （Ⅱ）求A n 的最大值；（Ⅲ）设A 中最小的元素为a ，求使得A n 取到最大值时的所有集合A ． 答案解：（Ⅰ）2=A n ；4=B n ．……………4分 （Ⅱ）不妨设12340<<<<a a a a ．因为1234243411()22=+++<+<+<A A S a a a a a a a a S ，所以24+a a ，34+a a 不能整除A S ． 因为(,)i j 最多有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)六种情况，而(2,4)，(3,4)不满足题意，所以624≤-=A n ．当{1,5,7,11}=A 时，4=A n ，所以A n 的最大值为4．……………9分 （Ⅲ）假设12340<=<<<a a a a a ．由（Ⅱ）可知，当A n 取到最大值4时，12+a a ，13+a a ，14+a a ，23+a a 均能整除A S ． 因为14231max{,}2≤++<A A S a a a a S ，故14231=max{,}2++A S a a a a ， 所以1423+=+a a a a ．设12=+u a a ，13=+v a a ，则u ，v 是2312()2(2)=+=+-A S a a u v a 的因数， 所以v 是12(2)-u a 的因数，且u 是12(2)-v a 的因数． 因为<u v ，所以12(2)22-<<u a u v ， 因为v 是12(2)-u a 的因数，所以124=-v u a ．因为u 是112(2)412-=-v a u a 的因数，所以u 是112a 的因数．因为124<=-u v u a ，所以14>u a ，所以166u a a ==，或11212u a a ==． 故1111{,5,7,11}=A a a a a ，或1111{,11,19,29}=A a a a a ．所以当A n 取到最大值4时，{,5,7,11}=A a a a a ，或{,11,19,29}=A a a a a ．……………14分。