高中数学选修4-4参数方程本章整合及题型归纳
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要点归纳
1．直线的参数方程
直线的参数方程可以从它的普通方程转化而来，设直线的点斜式方程为y －y 0＝k (x －x 0)．其中k ＝tan α.α为直线的倾斜角，代入上式得，
y －y 0＝sin αcos α(x －x 0)，α≠π
2，即x －x 0cos α＝y －y 0sin α
.
记上式的比值为t ，整理后得⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝x 0＋t cos α，
y ＝y 0＋t sin α.
2．圆的参数方程
若圆心在点M 0(x 0，y 0)，半径为r ，则圆的参数方程为⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝x 0＋r cos θ
y ＝y 0＋r sin θ，0≤θ≤2π.
3．椭圆的参数方程
若椭圆的中心不在原点，而在点M 0(x 0，y 0)，相应的椭圆(x －x 0)2a 2＋(y －y 0)2
b 2
＝1的参数方
程为⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝x 0＋a cos t y ＝y 0＋b sin t ，
0≤t <2π.
4．双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1的参数方程是⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝a sec θ，y ＝b tan θ，
5．抛物线y 2＝2px
的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝2pt 2，
y ＝2pt .
专题一 参数方程化为普通方程的考查
参数方程是用第三个变量(即参数)，分别表示曲线上任一点M 的坐标x 、y 的另一种曲线方程的形式，它体现了x 、y 之间的一种关系，这种关系借助于中间桥梁——参数．有些参数具有物理或几何意义，在解决问题时，要注意参数的取值范围．
在参数方程与普通方程的互化中，要注意参数方程与普通方程应是等价的，即它们所表示的应是同一条曲线．
【例1】 (1)(2012·广东高考)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1和C 2的参数方程分别为
⎩⎨⎧ x ＝t
y ＝t (t 为参数)和⎩⎨⎧
x ＝2cos θy ＝2sin θ
(θ为参数)，则曲线C 1与C 2的交点坐标为________． (2)将参数方程⎩⎨⎧
x ＝t ＋1t
，
y ＝t 2
＋1
t
2
(t 为参数)，化为普通方程为________．
解析 (1)把C 2的方程化成普通方程为x 2＋y 2＝2，∴t 2＋(t )2＝2，∴t ＝1或t ＝－2(舍)，∴两曲线的交点坐标为(1,1)．
(2)由x ＝t ＋1t 得，x 2＝t 2＋1t 2＋2，又y ＝t 2＋1t 2，∴x 2＝y ＋2.∵t 2＋1
t
2≥2，∴y ≥2.
答案 (1)(1,1) (2)x 2－y ＝2(y ≥2)
专题二 圆的参数方程及其应用
圆的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝x 0＋r cos θ，
y ＝y 0＋r sin θ
(θ为参数)表示中心在(x 0，y 0)，半径为r 的圆的参数方
程，是近几年高考的热点和重点．
【例2】 (2013·福建五校联考)已知圆的极坐标方程为ρ2－42ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π
4＋6＝0. (1)将极坐标方程化为普通方程，并选择恰当的参数写出它的参数方程；
(2)若点P (x ，y )在该圆上，求x ＋y 的最大值和最小值．
解 (1)由ρ2－42ρcos ⎝⎛⎭
⎫θ－π
4＋6＝0得， ρ2－4ρcos θ－4ρsin θ＋6＝0，
即x 2＋y 2－4x －4y ＋6＝0为所求， 由圆的标准方程(x －2)2＋(y －2)2＝2， 令x －2＝2cos α，y －2＝2sin α，
得圆的参数方程为⎩⎨⎧
x ＝2＋2cos α，
y ＝2＋2sin α
(α为参数)．
(2)由上述可知，
x ＋y ＝4＋2(cos α＋sin α)＝4＋2sin ⎝⎛⎭
⎫α＋π
4，故x ＋y 的最大值为6，最小值为2. 专题三 关于直线参数方程的应用
1．利用直线的参数方程⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝x 0＋t cos α，
y ＝y 0＋t sin α (α为参数)中参数的几何意义，在解决直线
与曲线交点问题时，可以方便地求出相应的距离．
2．直线的参数方程有不同的形式，可以允许参数t 没有明显的几何意义，在直线与圆锥曲线的问题中，利用参数方程有时可以简化计算．
【例3】 已知直线l 过点P (2,0)，斜率为4
3
，直线l 和抛物线y 2＝2x 相交于A 、B 两点，
设线段AB 的中点为M ，求：
(1)P 、M 两点间的距离|PM |； (2)线段AB 的长|AB |.
解 (1)∵直线l 过点P (2,0)，斜率为4
3，
设直线的倾斜角为α，tan α＝43，sin α＝45，cos α＝3
5，
∴直线l 的参数方程为⎩
⎨⎧
x ＝2＋35
t ，
y ＝45
t (t 为参数)(*)
∵直线l 和抛物线相交，将直线的参数方程代入抛物线方程y 2＝2x 中，整理得 8t 2－15t －50＝0，Δ＝(－15)2－4×8×(－50)>0. 设这个二次方程的两个根分别为t 1、t 2，
由根与系数的关系，得t 1＋t 2＝158，t 1t 2＝－25
4
，
由M 为线段AB 的中点，根据t 的几何意义，得
|PM |＝⎪⎪⎪⎪t 1＋t 22＝15
16.
(2)|AB |＝|t 2－t 1|＝(t 1＋t 2)2－4t 1t 2＝5
8
73.
专题四 圆锥曲线的参数方程及其应用
(1)椭圆x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)的一个参数方程为⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝a cos φ，y ＝b sin φ
(φ为参数)；
(2)双曲线x 2
a 2－y 2
b
2＝1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝a cos φ，
y ＝b tan φ
(φ为参数)；
(3)抛物线y 2＝2px 的参数方程为⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＝2pt 2，y ＝2pt
(t 为参数)．
【例4】 设P 是椭圆4x 2＋9y 2＝36上的一个动点，求x ＋2y 的最大值和最小值．
解 法一 令x ＋2y ＝t ，且x ，y 满足4x 2＋9y 2＝36，
故点(x ，y )是方程组⎩
⎪⎨⎪⎧
4x 2＋9y 2＝36
x ＋2y ＝t 的公共解．
消去x 得，25y 2－16ty ＋4t 2－36＝0，
由Δ＝(－16t )2－4×25×(4t 2－36)≥0，即t 2≤25， 解得－5≤t ≤5，
∴x ＋2y 的最大值为5，最小值为－5.
法二 由椭圆方程4x 2＋9y 2＝36，得x 29＋y 2
4
＝1，
设x ＝3cos θ，y ＝2sin θ，代入x ＋2y 得 x ＋2y ＝3cos θ＋4sin θ＝5sin(θ＋φ)，
其中，tan φ＝3
4
，φ角的终边过点(4,3)．
由于－1≤sin(θ＋φ)≤1， 所以－5≤5sin(θ＋φ)≤5.
当sin θ＝45，cos θ＝3
5时，(x ＋2y )max ＝5；
当sin θ＝－45，cos θ＝－3
5
时，(x ＋2y )min ＝－5.
∴x ＋2y 的最大值为5，最小值为－5.
专题五 极坐标、参数方程与普通方程的综合应用
纵观历年来高考试题，极坐标、参数方程与普通方程的综合试题是高考热点与重点，掌握好极坐标方程与普通方程、参数方程与普通方程的互化是解题的关键点．
【例5】 (2012·湖北高考)在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴
建立极坐标系．已知射线θ＝π
4与曲线⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝t ＋1，y ＝(t －1)2
(t 为参数)相交于A ，B 两点，则线段AB
的中点的直角坐标为________．
解析 曲线⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝t ＋1，y ＝(t －1)2可化为y ＝(x －2)2，射线θ＝π
4
可化为y ＝x (x ＞0)，联立这两个
方程得：x 2－5x ＋4＝0，点A ，B 的横坐标就是此方程的根，线段AB 的中点的直角坐标为
⎝⎛⎭
⎫52，52. 答案 ⎝⎛⎭⎫
52，52
【例6】 已知直线l 的参数方程为⎩⎨
⎧
x ＝－1＋22t y ＝22t
(t 为参数)，曲线C 的极坐标方程是
ρ＝sin θ
1－sin 2 θ
，以极点为原点，极轴为x 轴正方向建立直角坐标系，点M (－1,0)，直线l 与曲线C 交于A 、B 两点．
(1)写出直线l 的极坐标方程与曲线C 的普通方程； (2)线段MA ，MB 长度分别记为|MA |，|MB |，求|MA |·|MB |的值．
解 (1)直线l 的极坐标方程2ρcos ⎝⎛⎭
⎫θ＋π
4＝－1， 曲线C 普通方程y ＝x 2.
(2)将⎩⎨
⎧
x ＝－1＋22t y ＝22t
代入y ＝x 2得t 2－32t ＋2＝0，
|MA |·|MB |＝|t 1t 2|＝2.。