高中数学选修4-4坐标系与参数方程------高考真题演练
1（1）(2018全国卷III ) 在平面直角坐标系xOy 中，O ⊙的参数方程为cos sin x y θθ=⎧⎨
=⎩
，
（θ为参数），
过点(0，且倾斜角为α的直线l 与O ⊙交于A B ，两点． （1）求α的取值范围；
（2）求AB 中点P 的轨迹的参数方程．
1（2）(2018全国卷II )在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参
数），直线的参数方程为（为参数）．
（1）求和的直角坐标方程；
（2）若曲线截直线所得线段的中点坐标为，求的斜率．
1（3）(2018全国卷I )在直角坐标系
中,曲线的方程为,以坐标原点为
极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线
的极坐标方程为
（1）求的直角坐标方程 （2）若
与有且仅有三个公共点,求
的方程
1（1）(2018全国卷III ) 在平面直角坐标系xOy 中，O ⊙的参数方程为cos sin x y θθ
=⎧⎨
=⎩，
（θ为参数），
过点(0，且倾斜角为α的直线l 与O ⊙交于A B ，两点． （1）求α的取值范围；
（2）求AB 中点P 的轨迹的参数方程．
xOy C 2cos 4sin x θy θ=⎧⎨
=⎩
，
θl 1cos 2sin x t αy t α=+⎧⎨=+⎩
，
t C l C l (1,2)
l
解：（1）O e 的参数方程为cos sin x y θθ
=⎧⎨
=⎩，∴O e 的普通方程为22
1x y +=，当90α=︒时，
直线：:0l x =与O e 有两个交点，当90α≠︒时，设直线l
的方程为tan y x α=-直线l 与O e
1<，得2tan 1α>，∴tan 1α>或tan 1α<-，∴
4590α︒<<︒或90135α︒<<︒，综上(45,135)α∈︒︒.
（2）点P 坐标为(,)x y ，当90α=︒时，点P 坐标为(0,0)，当90α≠︒时，设直线
l
的方程为y kx =-1122(,),(,)A x y B x y ，
∴221x y y kx ⎧+=⎪⎨=⎪⎩①②
有22(1x kx +-=，
整理得22
(1)10k x +-+=
，∴122
1x x k
+=
+
，1221y y k -+=+，∴
2
211x k y k ⎧=⎪⎪+⎨
⎪=⎪+⎩
③④
得x k y =-
代入④得22
0x y ++=.当点(0,0)P
时满足方程220x y ++=，∴AB 中点的P
的轨迹方程是220x y ++=，即
221()22x y ++
=
，由图可知，22
A -
，(22B --
，则02y -<<，故点P
的参数方程为cos 2
22
x y ββ⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（β为参数，0βπ<<）.
1（2）(2018全国卷II )在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），
直线的参数方程为（为参数）．
（1）求和的直角坐标方程；
（2）若曲线截直线所得线段的中点坐标为，求的斜率．
解：（1）曲线的直角坐标方程为．
当时，的直角坐标方程为，
当时，的直角坐标方程为．
（2）将的参数方程代入的直角坐标方程，整理得关于的方程
．①
因为曲线截直线所得线段的中点在内，所以①有两个解，设为，，则
．又由①得，故，于是直线
的斜率．
1（3）(2018全国卷I )在直角坐标系
中,曲线的方程为,以坐标原点为极
点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为
（1）求
的直角坐标方程
xOy C 2cos 4sin x θy θ=⎧⎨
=⎩
，
θl 1cos 2sin x t αy t α
=+⎧⎨=+⎩，
t C l C l (1,2)l C 22
1416
x y +=cos 0α≠l tan 2tan y x αα=⋅+-cos 0α=l 1x =l C t 22(13cos )4(2cos sin )80t t ααα+++-=C l (1,2)C 1t 2t 120t t +=1224(2cos sin )
13cos t t ααα
++=-
+2cos sin 0αα+=l tan 2k α==-
（2）若与有且仅有三个公共点,求的方程
1.
则,即
所以
的直角坐标方程为
2.由题可知圆心坐标为,半径
又曲线方程
,关于轴对称,且曲线过圆外定点
∴当曲线与圆有且仅有个交点时,设曲线在轴的右半部分与圆相切于点,
此时,
则,
,即直线的方程为
1（3）(2017全国卷3) [选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系xOy 中，直线l 1的参数方程为,
,x t y kt =2+⎧⎨=⎩
（t 为参数），直线l 2的参数方程
为,,x m m
y k =-2+⎧⎪⎨=⎪⎩
（m 为参数），设l 1与l 2的交点为P ，当k 变化时，P 的轨迹为曲线C ． （1）写出C 的普通方程：
（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，
设:(cos sin )l ρθθ3+-=0，M 为l 3与C 的交点，求M 的极径． 【解析】⑴将参数方程转化为一般方程
()1:2l y k x =- ……①
()21
:2l y x k
=
+ ……② ①⨯②消k 可得：224x y -= 即P 的轨迹方程为22
4x y -=；
⑵将参数方程转化为一般方程
3:0l x y +-= ……③
联立曲线C 和3
l 2
2
4x y x y ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩
解得x y ⎧=⎪⎪⎨
⎪
=⎪⎩ 由cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩
解得ρ=
即M
．。