数字特性：余数问题、植树问题⑴奇数和偶数的运算规律奇数±奇数＝偶数偶数±偶数＝偶数奇数±偶数＝奇数奇数×奇数＝奇数偶数×偶数＝偶数奇数×偶数＝偶数⑵质合性质数：一个大于1的正整数，只能被1和它本身整除，则这个正整数叫质数也叫素数如：2、3、5、7、9、11、13、17、19、23.....合数：一个正整数除了能被1和它本身整除外，还能被其它的正整数整除，则这个正整数叫做合数。
如：2、4、6、8、10✿ 1既不是质数也不是合数✿ 2是唯一的一个是偶数的质数✿如果两个质数的和或者差是奇数，其中一个数必定是2✿如果两个质数的积石偶数，其中一个数必定是2余数问题两个整数a,b除以自然数m(m>1),所得额余数相同，则整数a.b对自然数m同余。
例如23除以5余3，18除以5余3，23和18对于5同余。
①余同取余，公倍数做周期。
如果一个数除以几个不同的数，余数相同，那么这个数可以表示成这几个除数的最小公倍数的倍数和余数相加的形式。
例如一个整数除以3余1，除以4余1，除以10余1，则这个数可以表示为60n＋1，60是3，4，10的最小公倍数，n＝0,1,2,3,4,......②和同加河，公倍数做周期。
一个数除以几个不同的数，除数与余数的和相同，则这个是可以表示为这几个除数的最小公倍数的倍数与该和(除数和余数的和)相加的形式。
一个数除以5余4，除以6余3，除以8余1，可以表示为120n＋9，5+4=9，6+3=9，8+1=9③差同减差，公倍数做周期。
一个数除以几个不同的数，除数和余数的差相同，这个数可以表示为成这个急除数的最小公倍数的倍数与该差(除数和余数的差)相减的形式。
例如一个数除以3余1，除以4余2，除以10余8，可以表示成60n－2，60是3.4.10的最小公倍数，3-1=2.4-2=2.10-8=2；N=0，1，2，3，4，5，④如果三个都不符合，先两个结合，在和第三个结合。
乘方位数问题底数留个位，质数末两位除以4留余数，余数为0变成420082008+20092009的个位数是84+91的尾数分别是6和9个位数就是5植树问题：①两端种树棵树比段数多1 棵树=线路总长÷株距＋1②一端种树棵树和段数相等棵树=线路总长÷株距③两端不种树棵树=段数-1 棵树=线路总长÷株距-1④双边种树要在一条路德基础上乘以2⑤封闭型种树棵树=线路总长÷株距=总段数⑥上楼梯，上N楼用M分钟，每层楼用M÷(N-1)；锯木头剪绳子N段要(N-1)次;N个人站一列，相邻两人相距M米，队伍长=M×(N-1)鸡兔同笼法、计数模型、行程工程问题鸡兔共有35只，脚有94个，求鸡和兔的个数。
鸡=(兔脚数×总头数－总脚数)÷(兔脚数－鸡脚数)兔=(总脚数－鸡脚数×总头数)÷(兔脚数－鸡脚数)先假设全部是一种，求出的值与实际值的差值÷他们一个得差得出的是另外一个例题：100道选择题，作对一个得1.5分，不做或错一个扣1分，小李得分100，不做或错多少个？鸡兔同笼法：假如全对了(1.5×100－100)÷[1.5－(－1)]=50÷2.5=20 等差数列求和：S=首(项+尾项)×项数÷2；第N项的值=首项+(项数－1)×公差奇数等差数列求和=项数的平方数例题：一堆木头最上面的是6，共25层，共有多少。
第25层的数目=6＋(25-1)X1=30 总数=(6＋30)×25÷2=450计数模型方阵：方阵的核心是一个等差数列，可以将方阵的狠一层看做一列，每一层边长的差是2，每一层周长的差是8.每层总数=(每边人数－1)×4或者每边人数×4－4；每边人数=每层总数÷4＋1 空心方阵总数=(最外层每边数－空心方阵层数)×空心方阵层数×4行程工程问题：距离=速度×时间相遇距离=(大速度＋小速度)×相遇时间；追击距离=(大速度－小速度)×追击时间行船：顺水速度=船速＋水速; 逆水速度=船速－水速漂流瓶：(2×逆水时间×顺水时间)÷(逆水时间－顺水时间)扶梯：顺行扶梯长度=(人速＋电梯速度)×顺行时间逆行扶梯长度=(人速－电梯速度)×逆行时间顺行扶梯阶数=人走过的阶数+扶梯运行的阶数逆行扶梯阶数=人走过的阶数－扶梯运行的阶数队首→队尾：队伍长度=人的速度－队伍的速度×时间队尾→队首：队伍长度=人的速度＋队伍的速度×时间环形运动：同向环形周长=大速度－小速度×时间反向环形周长=大速度＋小速度×时间等距离平均速度=(2×速度1×速度2)÷(速度1＋速度2)往返相遇⑴两物体从两端同时出发，相向而行，不断往返.第N次迎面相遇第N次迎面相遇路程和=全程×(2N－1)第N次追上相遇路程差=全程×(2N－1)⑵两物体从一端同时出发相向而行，不断往返，第N次迎面相遇。
第N次迎面相遇路程和=全程×2N第N次追上相遇路程差=全程×2N两次相遇：两个物体从两个端点相向而行，相遇后继续前行到达端点后返回然后第二次相遇。
题目给出相遇点和端点的距离，求两个端点的距离两边型：第一次相遇甲乙共走了1S，甲走了S1，第二次相遇共走了3S，离B地S2，难么有3S1=S+S2,于是有S=3S1－S2单边型：指的是两次相遇都是相对同一个点S=(3S1＋S2)÷2工程问题与牛吃草工程总量=工作效率×工作时间工作效率=工程总量÷工作时间工作时间=工程总量÷工作效率浓度问题：①溶质、溶剂、溶液的质量比等于X∶Y∶(X＋Y),X为溶质，如酒精硫酸等，Y 为溶剂如水等，(X＋Y)就是溶液就是溶质溶剂的总称。
②溶解度=溶质质量÷溶剂质量×100%③溶液浓度=溶质质量÷溶质质量×100%✿牛逼的十字交叉法：以两种溶液混合为例，分别设两个溶液质量为M1,M2浓度为C1，C2,混合后浓度是C，则混合后公式：M1×C2＋M2×C2=(M1＋M2)×CM1 C1 C－C2C (C－C2)÷(C1－C)=M1÷M2M2 C2 C1－C利润问题定价=进价×(1＋利润率) 利润=售价－进价利润率=利润÷进价折扣=售价÷定价四大必杀技：方程法、特值法(没有告诉价格或数量)、鸡兔同笼(打折问题)、十字相乘法(两次不同价格卖出同一商品)几何问题面积公式：三角形S=(a×h)÷2 梯形=(a＋b)×h÷2圆的周长=2πr 圆的面积 S=πr2 扇形面积 =nπr2 ÷360=Lr÷2 立体几何：球体表面积=4πr2 圆柱体表面积=2πr2 ＋2πrh球的体积=4/3πr3圆柱体=πr2h 圆锥体=1/3πr2h牛吃草问题原有草量=(牛头数－每天草涨量)×天数牛数1×吃草时间1－牛数2×吃草时间2 草的增长速度= 吃草时间1－吃草时间2排列组合与年龄问题排列:从N 个元素中任意拿M 个(M ≤N),按照一定的顺序排成一列，与顺序有关 A33=3×2×1=6 A55=5×4×3×2×1=120组合:从N 个元素中任意拿M 个(M ≤N),组成一组。
与顺序无关 C33= 1321123=X X X X C53=10321345=X X X X 排列组合五大经典技巧(缺一不可用乘法，可以缺少用加法)① 特殊优先法：题目特征表述为一个或几个元素在指定的位置或不在指定的位置。
例题 一次会议某单位请了10名专家，订了10个房间，一层5间，二层5间，专家中4人要求住二层，3人要求住一层，其余住任意一层都行，。
问满足他们的条件且每人一间房，有多少种不同的安排方案？解答 先从二楼的5间房中选出4间给有要求的4个专家，再从一楼选出3个房间给有要求的3个专家，剩下的3间房给剩下的3个人，因为没有说那间房固定给某个人，所以是要相乘A54×A53×A33=43200② 捆绑法：就是将几个人或物体捆绑在一起，它解决的问题是相邻问题，题目表述为要求某两个或几个物体相邻，求符合要求的种数。
解题思路：对于某几个元素要求相邻的问题，可先将相邻的元素捆绑在一起，看做一个单独的元素(组)，与其他元素排列，然后再对相邻的元素(组)内进行排列。
例题 某市计划在6月上旬组织5个单位参观，其中一个单位由于人数较多，需要连续参观2天，其他4个单位参观一条，每天最多只能安排一个单位参观，共有多少种安排解答 可以把连续参观的2天看做一个元素，与剩下的8天形成9个元素，这5个单位从这9个元素中选5个进行参观A95=9×8×7×6×5=15120③ 插空法 题目表述为要求某两个或几个人或物体不相邻，问符合要求的种数。
解题思路：对于某几个元素不相邻的排列问题，可先将其他元素排列好，然后再将不相邻的元素，在已经排列好的元素之间及两端的空隙之间插入即可。
例题 自来水公司计划在下周7天内选2天停水，停水的两天不相邻，问有几种方案解答 不停水的有五天 ¤ ¤ ¤ ¤ ¤形成六个空，也就是在6个空中插入2天停水C62=15④ 插板法 题目表述为一组相同的元素分成若干组，要求每组至少一个元素。
解题思路：将比所需要分组数目少1的插板元素之间形成分组，假设M 个元素，分成N 组，方法为C(M-1,N-1) 插板法的三个要件：相同元素分配；每组至少分一个；所分组是不相同的。
缺一不可。
例题 30份报纸发给3个部门，每个部门至少发9份，问有多少种不同的方法。
解答 枚举法：10、10、10一中情况，9、9、12C31三种情况，9、10、11有A33六种情况总情况1、3、6共10种情况插板法：先给每个部门发8份报纸，剩下30-3×8=6份报纸，将剩下的6份报纸发给3个部门，每个部门至少一份，方法为C52=10⑤ 反面(最不原则)：题目表述为完成排列的组合分裂情况很多，依赖枚举不能完成或非常复杂。
解题思路：考虑反面情况，考虑发只需要用总数减去反面情况就可以了。