v0 ?
S
l
x/2
x x

tan 2 tan
α 2θ
y tan
y

v0
y tanα
l
vy
y
v
x
lx
Байду номын сангаас
2
结论：平抛运动任一时刻速度的反向延长 线总交于这段时间内水平位移的中点。
平抛运动典型例题
•1、平抛运动中，（除时间以外）所有物 理量均由高度与初速度两方面决定。
例1、一小球以初速度水平抛出，抛 出点离地面的高度为h，阻力不计， 求：（1）小球在空中飞行的时间； （2）落地时速度；（3）水平射程； （4）小球的位移。
例21、在研究平抛物体运动的实验中，用一张印有 小方格的纸记录轨迹，小方格的边长l=1.25厘米．若 小球在平抛运动途中的几个位置如图中的a、b、c、 d所示,则小球平抛的初速度的计算式为v0＝____ __(用g,l表示)，其值是 (取g=9.8米/秒2)
16、类平抛运动 a、b两质点从同一点O分别以相同的水平速度v0沿x 轴正方向抛出，a在竖直平面内运动，落地点为p1， b沿光滑斜面运动，落地点为p2，p1和p2在同一水平 面上，设斜面高h，倾角为θ ，如图4－2－16，不计 空气阻力，求 1．a、b的运动时间 2．a、b沿x轴方向的位移 3．a、b落地时的速度大小 4．a、b落地时的速度
3.飞行时间<等时性>
2
2
知（x、y)求v0.
推论Ⅱ：做平抛(或类平抛)运动的物体，任意时刻的瞬时速度 方向的反向延长线一定通过此时水平的位移中点。 5．平抛运动的两个重要推论 推论Ⅰ：做平抛(或类平抛)运动的物体在任一时刻任一位置 处，设其末速度方向与水平方向的夹角为α，位移与水平方 向的夹角为θ，则tan α＝2tan θ。
。 和
v0
AB
v0
37°
53°
9. 从竖直方向是自由落体运动的角度出发求解 在研究平抛运动的实验中，由于实验的不规范， 有许多同学作出的平抛运动的轨迹，常常不能直 接找到运动的起点(这种轨迹，我们暂且叫做“残 缺轨迹”)，这给求平抛运动的初速度带来了很大 的困难。为此，我们可以运用竖直方向是自由落 体的规律来进行分析。
x
x
2）最大高度表达式
3）最大射程表达式
竖直上抛到最高点： 竖直方向落回地面： 1 2 0=v0sinq-gt 0=v0 sin q ?t gt
1 2 H = v0 sin q ?t gt 2 v0 2 sin q2 2v0 2 sin q cos q v0 2 sin 2q 解得：H = 解得：X = = g g 2g
vy = v0 sin q - gt
1 2 y = v0 sin q t - gt 2
斜抛运动规律应用：
y
若初速度v0，与水平面 V0 地面夹角为θ，写出： 1）运动中最小的速度， θ 此时物体在何处？ 落回水平地面时，速度多大？ mg 最小值：Vx=v0cosθ y 落回地面时：v=v0 与水平成θ角 斜抛运动 具有对称性
6、平抛运动的基本计算题类型——关键在于对 公式、结论的熟练掌握程度；建立等量关系 例7、一个物体从某一确定的高度以v0 的初速度 水平抛出，已知它落地时的速度为v1，那么它的 运动时间是（ ）
A．
A
B
C
D
例8、作平抛运动的物体，在水平方向通过的最大距离取 决于( ) A.物体所受的重力和抛出点的高度 B.物体所受的重力和初速度 C.物体的初速度和抛出点的高度 D.物体所受的重力、高度和初速度
• 落地速度:
vt v0 2 gh
2
• 任意两个相等时间间隔内的速度变化量相等：
v g t
1 3
x
5
结论：平抛运动任意 相等时间内水平位移 相等，从抛出点开始 竖直位移比为1：3： 5：7 · · · · · · ·
y
x v0 t 1 x=v0t vy=gt h= g t 1 2 2 y gt 4.轨迹方程（以抛出点为原点）： 2 X=v0t g 2 消去t g 2 y x 2 x y= 1 2 2v0 2v 0 y= gt
11. 灵活分解求解平抛运动的最值问题 例15、如图6所示，在倾角为θ 的斜面上以 速度ν 0水平抛出一小球，该斜面足够长，则 从抛出开始计时，经过多长时间小球离开斜 面的距离的达到最大，最大距离为多少？
12. 利用平抛运动的推论求解 推论1：任意时刻的两个分速度与合速度构成一个矢 量直角三角形。
D、 2
3 3
s
8.从分解位移的角度进行解题 对于一个做平抛运动的物体来说，如果知道了某 一时刻的位移方向(如物体从已知倾角的斜面上水 平抛出，这个倾角也等于位移与水平方向之间的夹 角)，则我们可以把位移分解成水平方向和竖直方 向，然后运用平抛运动的运动规律来进行研究问题 (这种方法，暂且叫做“分解位移法”) 例10、 若质点以V0正对倾角为θ 的斜面水平抛出, 如果要求质点到达斜面的位移最小，求飞行时间为 多少?
例11、 在倾角为α 的斜面上的P点，以水平 速度ν0向斜面下方抛出一个物体，落在斜面 上的Q点，证明落在Q点物体速度 2
0 1 tan
例12、 如图3所示，在坡度一定的斜面顶点 以大小相同的速度ν 0同时水平向左与水平向右 抛出两个小球A和B，两侧斜坡的倾角分别为 370和530，小球均落在坡面上，若不计空气阻 力，则A和B两小球的运动时间之比为多少？
推论3、做平抛运动的物体经过一段时间，到达 某一位置时，设其末速度与水平方向的夹角为 θ ， 位移与水平方向的夹角为α ，则tanθ =2tanα
如图7所示，从倾角为θ的斜面上的某点先后将同一小球以 不同的初速度水平抛出，小球均落在斜面上。当抛出的速 度为ν 1时，小球到达斜面时速度方向与斜面的夹角为α 1； 当抛出的速度为ν 2时，小球到达斜面时速度方向与斜面 的夹角为α 2，则下列说法中正确的是（ ） A、当ν1<ν2时，α1>α2 B、当ν1>ν2时，α1<α2 C、无论ν 1、ν 2大小如何，均有α 1=α 2 D、α 1、α 2的大小关系与斜面倾角θ 无关
例4、如图所示，甲乙两球位于同一竖直线上的 不同位置，甲比乙高h，将甲乙两球分别以 v1．v2的速度沿同一水平方向抛出，不计空气 阻力，下列条件中有可能使乙球击中甲球的是 （） A．同时抛出，且v1< v2 B．甲后抛出，且v1> v2 C．甲先抛出，且v1> v2 D．甲先抛出，且v1< v2
4、平抛运动轨迹问题——认准参考系
例16、从空中同一点沿水平方向同时抛出两个小球，它 们的初速度大小分别为ν 1和ν 2，初速度方向相反，求 经过多长时间两小球速度之间的夹角为900？
推论2：任意时刻的两个分位移与合位移构成一 个矢量直角三角形
例17、宇航员站在一星球表面上的某高度处，沿水平方向 抛出一个小球，经过时间t，小球落到星球表面，测得抛 出点与落地点之间的距离为 l ，若抛出时初速度增大到 两倍，则抛出点与落地点之间的距离为 3l 。已知两落地 点在同一水平面上，求该星球的重力加速度。
讨论：初速度大小一定时 1）θ=90°时，射高最大 2）θ=45°时，水平射程最远
2 水平方向最大射程： X =v0 cos q × t
练习
1.如右图所示，某同学为了找出平抛运动物体的初速度之间的 关系，用一个小球在O点对准前方的一块竖直放置的挡板，O与 A在同一高度，小球的水平初速度分别是v1、v2、v3，打在挡板 上的位置分别是B、C、D，且AB∶BC∶CD＝1∶3∶5。则v1、 v2、v3之间的正确关系是( ) A．v1∶v2∶v3＝3∶2∶1 B．v1∶v2∶v3＝5∶3∶1 C．v1∶v2∶v3＝6∶3∶2 D．v1∶v2∶v3＝9∶4∶1
，
例13、 某一平抛的部分轨迹如图4所示， 已知ｘ1=ｘ2=a，ｙ1=b,ｙ2=c,求ν 0。
10. 从平抛运动的轨迹入手求解问题
例14、 从高为H的A点平抛一物体，其水平射程 为2s，在A点正上方高为2H的B点，向同一方向平 抛另一物体，其水平射程为s。两物体轨迹在同一 竖直平面内且都恰好从同一屏的顶端擦过，求屏的 高度。
例 5、 从水平匀速飞行的直升机上向外自由 释放一个物体，不计空气阻力，在物体下落过程 中，下列说法正确的是（ ） A．从飞机上看，物体静止 B．从飞机上看，物体始终在飞机的后方 C．从地面上看，物体做平抛运动 D．从地面上看，物体做自由落体运动
飞机沿水平方向匀速飞行，每隔一定时间投下一枚炸弹，这些 炸弹在空中排列成直线还是抛物线？相邻炸弹间距离有何特点
3、平抛运动“撞球”问题——判断两球运动的时 间是否相同（h是否相同）；类比追击问题，利用 撞上时水平位移、竖直位移相等的关系进行解决
在同一水平直线上的两位置分别沿同方向抛出小两小 球A和B，其运动轨迹如图所示，不计空气阻力.要使两 球在空中相遇，则必须 A．甲先抛出A球 B．先抛出B球 C．同时抛出两球 D．使两球质量相等
一般的抛体运动------斜抛运动分析方法
将运动沿水平、竖直分解成两个分运动
匀速 运动 y 水平方向做___________ 竖直上抛 运动 竖直方向做___________
水平规律：vx = v0 cos q V0
x = vxt = v0 cos q t
竖直规律，向上为正：
θ
x 根据分运动的 mg 初速度和分加速度 ，判定分运动的规 律
推论4、在做平抛运动的物体任意时刻瞬时速 度方向的反向延长线一定通过水平位移的中 点
体育竞赛中有一项运动为掷镖，如图8所示。墙壁 上落有两只飞镖，它们是从同一位置水平射出的， 飞镖A与竖直墙壁成角θ 1=530，飞镖B与竖直墙壁 成角θ 2=370，两者相距为d。假设飞镖的运动为平 抛运动，求射出点离墙壁的水平距离。 （sin37°=0．6，cos37°=0．8）