上海市2015年12月大同杯数学竞赛(含答案)BCO 1O 2PA倍，则这三个素数为________．解答：设这三个素数为,,a b c 。

则有23()abc a b c =++。

因为23是素数，从23()abc a b c =++，可以得到23能够整除三个素数,,a b c 的abc 积。

从而可以得到其中有一个素数必为23。

假设23a = 这样就有23124(1)(1)2446212bc b c bc b c b c =++⇒--+=⇒--==⨯=⨯因为,b c 为素数，所以得到5,7b c ==或3,13b c == 这样得到三个素数为5,7,23或3,13,23。

5. 如图，圆1O 与圆 2O 外切于点P ，从圆1O 上点A作圆2O 的切线AB ， B 是切点，连接AP 并延长，与圆2O 交于点C ．已知圆1O 、圆2O 的半径分别为2、1，则ACAB=________．解答：做如图所示的辅助线。

可以得到21211//2CO PC AO CO PA AO ⇒==为此设PC k=，则2.PA k = 应用切割线定理有：223.AB AP AC k k AB=⋅=⨯⇒=所以AC AB ==。

A 'B AM NPQ6、 如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，MON的两边分别是射线 y x (x0)与x 轴正 半轴．点A (6,5)，B (10,2)是MON内的两个定点，点P 、Q 分别是MON两边上的动点，则四边形ABQP 周长的最小值是________．解答：本题主要就是应用对称。

应为四边形ABQP ，其中一个边AB 为定值。

要求四边形 ABQP 周长的最小值，只要求另外三边的最小值。

从对称可以得到/(5,6)A ,/(10,2)B -.四边形另外三边的最小值为//A B依据两点间距离公式有 。

//22(105)(26)89A B=----=22(105)(25)34AB =---=8934+。

7. 不定方程2222x y xy x y+=++的整数(,y)x 解共有________组。

解答：设x y k +=，所以从2222x y xy x y+=++，可以得到222k xy xy k -=+所以222233k kk k xy xy --=⇒=。

这样,y x 是方程22203k kt kt --+=的两个根，并且根为整数。

所以2222()40803k kk k k -∆=--⨯≥⇒-≤。

因此有08k ≤≤。

同时要保证22(2)33k k k k xy --==为整数。

这样就有0k =，3，5，6，8当0k =时，(,y)(0,0)x = 当3k =时，方程为方程2310t t -+=没有整数解。

当5k =时，方程为方程2550tt -+=没有整数解。

当6k =时，方程为方程2680t t -+=，有整数解为2,4。

所以(,y)(2,4)x =或(4,2) 当8k =时，方程为方程28160t t -+=，有整数解为4,4。

所以(,y)(4,4)x = 整数(,y)x 解共有4组8. 设a 是给定的正实数，n 是给定的大于1 的整数，实数123,,,,nx x x x ⋅⋅⋅ 满足2222123n xx x x a+++⋅⋅⋅+=，则2222212131232()()()()()n n x x x x x x x x x x -+-+⋅⋅⋅+-+-+⋅⋅⋅+-21()n n x x -+⋅⋅⋅+-的最大值________________。

解答： 因为2222212131232()()()()()n n x x x x x x x x x x -+-+⋅⋅⋅+-+-+⋅⋅⋅+-21()n n x x -+⋅⋅⋅+-C22212123234211(1)()2()2()2()2n n n n x n n nn x x x x x x x x x x x x x x x x ---=-++⋅⋅⋅+-++⋅⋅+-++⋅⋅+-⋅⋅⋅-+-123234211(1)2()2()2()2n n n x n n nn a x x x x x x x x x x x x x ---=--++⋅⋅+-++⋅⋅+-⋅⋅⋅-+- 有这样的一个结论，因为222222222222()2x y x y x y xy x y x y xy x y +=+≥⇒≤+⇔-+≤-≤+而1232342112()2()2()2n n n x n n nx xx x x x x x x x x x x ----++⋅⋅+-++⋅⋅+-+-22222222222212131232422222222222223435321212222221212[()()()][()()()][()()()][()()]()](1)(1)(1)(1)(n n n n n n n n n n n x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x n x x x x x n x x x ----≤++++⋅⋅+++++++⋅⋅+++++++⋅⋅++⋅⋅⋅++++++=-+-+⋅⋅+-=-++⋅⋅+)(1)n a=-所以最大值为2(1)n a -二、解答题（第9、10 题，每题15分，第11、12 题，每题20 分，共70 分） 9. 如图，在△ABC 中，BCa，CAb，ACB 60，△ABD是正三角形，P 是其中心，求CP 的长度．解答：分析作D 点关于AB 的对称点/D 。

则/AD B ∆/60AD B ∠=ACB 60所以/,,,A C D B过P点。

连接AP ，BP 。

因为P 是正三角形ABD 02sin 603AP BP AB AB ===因为A ,C ,B ,P 四点共圆，也就是四边形ACBP 为 圆内接四边形，应用圆内接四边形托勒密定理 可以得到AB PC BP AC AP BC ⋅=⋅+⋅ 所以3)3PC a b =+。

10. 在1，2，… ，2015 这2015 个正整数中选出k 个数，使得其中任意两个不同的数的和 都不是50 的倍数，求k 的最大值． 解答：因为所有的整数，被5除余数为0,1,2,3,4，… ,47,48,49。

共50中情况。

而2015504015÷=⋅⋅⋅。

下面吧从1,2，… ，2015这2015个数被50除，余数的情况列表如下。

第1行取1到25这25个数，取50这个个数，任意两个数的和都不能被50整除。

第2行取51到74这24个数，和第一组取得的数组成新的数集，则这新的数集任意两个数的和不能被50整除。

以后每行都取前24个数，取到第40行位置。

最后一行取15个数。

这样正整数集合最大数值个数为2624(4021)15977+⨯-++=这样集合为这样式样⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅{1,2,,25,50,51,52,,74,101,102,,124,151,152,,174,,1951,1952,,1974,⋅⋅⋅2001,,2015}G ICA50这个数可以换成1到2015之间50的倍数任意一个数。

因此k 的最大值为977.11. 已知△ABC 的三边长均为正整数，周长为 35，G 和I 分别为△ABC 的重心和内心， 且GIC90，求边AB 的长度．解答：本题有一定难度，但是抓住内心和重心的特征还是能够找到解题的路径的。

由题意知道GIC90，并且平分ACB∠,出现角平分+垂直的特征。

这样可以构造出三角形。

为此延长GI 和反向延长GI . 很容易得到CMN ∆为等腰三角形，也就是CM CN =过垂心G 和内心I 分别做AC 和BC 边的垂线。

设ABC∆的内接圆的半径为r 。

由面积法得到： CGMCGNCIMCINS S S S ∆∆∆∆+=+也就是1112222CM GP CN GF rCN ⋅+⋅=⨯CA所以2GP GF r +=因为G 为三角形ABC11233B ACA BCd d r --+= 用面积法有：12122233S S S b a a b c⨯+⨯=++化简为116b a a bc +=++ 也就是635a b ab +=635()ab a b =+，因为,a b 为正整数所以得到35ab k =，则6a b k += 为此,a b 为方程26350tkt k -+=的两个根。

235(6)43509k k k ∆=--⨯≥⇒≥有356356a b k k +=<⇒<。

因此4,5k = 当4k =时，方程为2243540(14)(10)014,10tt t t t -+⨯=⇒--=⇒=所以此时10,14a b ==。

因此11AB =。

当5k =时，方程为2303550t t -+⨯=没有整数解。

因此11AB =。

12. 设,a b 是正整数，22ab - 不是 4的倍数，求证：(3)(57)a b a b ++不是完全平方数．证明：22()()ab a b a b -=+-，当,a b 为同奇数，或者同偶数时，可以得到22()()a b a b a b -=+-一定是4的倍数。

已知22ab - 不是 4的倍数，所以,a b 中一个为奇数，一个为偶数。

假设21,2a n b m =+=。

因为222222(3)(57)522215(21)22(21)221(2)20(1)588448420(1)8840804(1)5a b a b a ab b n n m m n n mn m m n n mn m m m m ++=++=+++⨯+=+++++=+++++++因为220(1)8840804(1)n n mn m mm m ++++++能够被8整除。

所以此时(3)(57)a b a b ++被8除余5.因为要是完全平方数，奇数的时被8除余1.因此此种情况下不是完全平方数。

假如2,21a m b n ==+，因为222222(3)(57)522215(2)222(21)21(21)208844214(1)21168840214(1)164(1)5a b a b a ab b m m n n m mn m n n m mn m n n m m ++=++=+⨯+++=+++⨯++=+++⨯+++++从而2168840214(1)164(1)mmn m n n m m +++⨯++++能够被8整除，所以此时(3)(57)a b a b ++被8除余5.因为要是完全平方数，奇数的时被8除余1.因此此种情况下不是完全平方数。

综合可以得到：(3)(57)a b a b ++不是完全平方数．。