A. 极限存在且等于 0； C. 左极限存在，但右极限不存在；
）
B. 左右极限存在，但极限不存在； D. 左极限不存在，但右极限存在.
sin x , x 0, 7＊. 若函数 f ( x ) x ,则 x 0 是函数 f ( x ) 的（ x 0 0,
A. 跳跃间断点； C. 无穷间断点； B. 可去间断点；
1 ； n
D. an a
1 . n
4. 设 xn 是数列，下列命题中不正确的是 （ A. 若 lim xn a, 则 lim x2 n lim x2 n +1 =a；
n n n
B. 若 lim x2 n lim x2 n +1 =a, 则 lim xn a；
n n n
2
B. k N, N k N , n N k , a n a


1 ； k
C. 0, N N , n N , an a 100 ； D. 0, N N , n N , an a n .

6. 数列 an ( 1) 的说法，下列正确的是（ A. 有界且收敛； C. 无界但收敛；
B. ｛１｝ ；
C. ；
Ｄ． （- 1,1] ．
1*. 下列函数中，与函数 f ( x ) A. f ( x ) C.
3
1 定义域相同的函数（ ） x
B. f ( x )
1 ； sinx
f ( x ) xe x ；
1**. 函数 f ( x ) cos 2 x sin( A. 非奇非偶函数; C. 仅有最大值的偶函数; ２. 设函数 D ( x ) A. D ( x ) 不是偶函数; C. D ( x ) 是单调函数;
（ ） A. 存在且等于零； C. 一定不存在； 6. 极限 lim B. 存在但不一定为零； D. 不一定存在. ）
3n 2 n （ n 2 n 2 1
A. ；
B. 0；
C.
3 ； 2
D. 2.
1，x 0, 7. 若函数 f ( x ) 0, x 0, 则在 x 0 处一定成立（ 1, x 0
）
D. 非无穷型的第二类间断点.
8.
1-cos x , x 0, 函数 f ( x ) 其中 g ( x ) 是有 界函 数， 则 f ( x ) 在 x 0 处 x 2 x g ( x），x 0，
） B. 极限存在，但不连续； D. 可导.
（
A. 极限不存在； C. 连续但不可导；
n
）
A. 正弦函数连续； C. 多项式函数连续；
B. 指数函数连续；
1 D. lim 1+ e 。 n n
x x
n
5. 设对任意的 x ， 总有 ( x ) f ( x ) g ( x ) ， 且 lim[ g ( x ) ( x )] 0, 则 lim f ( x )
C. 若 lim xn a, 则 lim x3n lim x3n +1 =a；
n n n
D. 若 lim x3n lim x3n +1 =a, 则 lim xn a.
n n n
5. 下列说法与数列极限 lim an a 不等价的是（
n
）
A. 0, N N , n N , an a ；
2 9. 当 x 0 时，1 cos x 是关于 x 的 (
A. 同阶无师资格考试试题） 函数列 f n ( x） 则在 [a , b] 上 f n ( x） 与函数 f ( x) 都在闭区间 [a, b] 有定义， 一致收敛于
A. 0 ；
B. 1 ；
n
1 ； x
D. x .
3*. A.
lim 3 sin
n
1 （ 3n
） C.
0 ；
n
B. 1 ；
1 ； 2
）
D. 3 .
3**. 若 lim xn a, 且 a 0 ，则 n 充分大时有（ A. an
a ； 2
B. an
a ； 2
C. an a ）
11. (2014 上半年教师资格考试试题） 证明 lim n a 1( a 0.a 1) .
n
12. (2015 上半年教师资格考试试题） 某投资人本金为 A 元。投资策略为：
（1）一年连续投资 N 次，每个投资周期为 （2）在每个投资周期中，利率均为
x ； n
1 年； n
（3）总是连本带息滚动投资。 回答下列问题： （1）一年后的资金总额是多少？ （2）当 n 时，资金总额是否趋于无穷？
1 x cos , x 0, 8*. 设 f ( x ) 其导函数在 x 0 连续，则 的取值范围是（ x 0，x 0，
A. 2 ； C. 2 ； B. 2 ； D. 2 .
）
9. 设函数 f ( x ) x a ln(1 x ) bx sin x , g ( x ) kx 3 ， 若 f ( x ) 与 g( x ) 在 x 0 是等 价无穷小，求 a , b，k 。
17. 计算 lim （（a+x)(b+x)- （a-x)(b-x ))
x
18. 计算 lim
1+e x arctan x x 1 e x 1+e x
1
x
1
18＊. 计算 lim
x 0
arctan
e 1
1 x
19. 求极限 lim
[t
1
x
x
1 1) t ]dt et 。 1 2 x ln(1 ） x
10.
sin xy 讨论函数 f ( x , y ) y 0
, y 0， , y 0
的连续性。
x 2 3x 2 , x2 x 2 11. 设 f ( x ) 在点 x 2 处连续，且 f ( x ) ，求 a ． a, x2
数学分析历年国考试题及其类型题 总复习题 1（函数、极限、连续）
一、函数、极限
1.（201５上半年教师资格考试试题）
x 已知集合 M y y x 3 , x 1,1, N y y 3 , x 0 ，则集合 M N （

1



）
A. （- ， 1] ；
f ( x ) 的充要条件是（
）
，正整数N，使得当 n N时，有 f n ( x ) f ( x ) ； A. 0, x a , b ，正整数N，使得当 n N时，有 f n ( x ) f ( x ) ； B. 0, x0 a , b ，使得当 n N时，有 f n ( x ) f ( x ) ； C. 正整数N， 0, x0 a , b ，有 f n ( x ) f ( x ) D. 0, 正整数N，使得当 n N时，x a , b
2
(
２０． lim
ln(1 x 2 ) ln(1 sin 2 x) x 0 x sin 3 x
二、函数的连续性
1．设 f ( x ) 是其定义域内的严格单调增加函数，则 （ A． f ( x ) 不一定有反函数； B． f ( x ) 有连续的反函数； C． f ( x) 有反函数且反函数严格单调增加； D． f ( x) 有反函数且反函数严格单调减少。 2．若函数 f ( x ) 具有反函数，则其反函数保持函数 f ( x ) 的性质是( A. 周期性 ； B. 奇偶性； C. 单调性； C. 有界性. ) ）
k 13. 设 lim1 x x
14. 计算 lim
n
2x
e ，则 k 1 1 n2 2 . n2 n 1
. ）

2 n 1
14*. 计算 lim
n
n n n 2 2 = （ 2 n n n 1 n 2
，xn x0 , 有 lim f ( x) f ( x0 ) ； C. 存在数列 xn
x x0
，xn x0 , 0, N，n N , 有 f ( xn ) f ( x0 ) . D. 对任意数列 xn
： 4. （20 13 上半年教师资格考试试题） 在下列四个命题的证明中， 极限 lim n a 1 ， 其中 a 0 ， 且 a 1 起重要作用的是 （
x x 5
在一点 c a, b ，使 f c g c .
１２． 试证下列方程在指定区间内至少有一实根. （1） x 3x 1 0 ，在区间（1，2） ； （2） x e 2 ，在区间（0，2）. （3）证明：方程 x 3 3x c 0 （ c 为常数）在 0,1 内不可能有两个不同的实根； （ 4） 证 明 x 2sin x a(a 0) 至 少 有 一 个 正 实 根 。 １３．设函数 f x 在区间[0，2a]上连续，且 f 0 f 2a 证明：在[0，a]上至少存在一点 ，使 f f a . １４． 证明方程 x 3 2 至少有一个小于 1 的正根. １５． 若 f x 与 g x 都在[a，b]上连续，且 f a g a , f b g b ，则至少存
D. 最小下界.
7*. 对下确界的说法下列命题正确的是 （ A. 最大上界； 8. 若满足（ B. 最小上界；
D. 最小下界.
） ，则 S 中存在有限个元素也覆盖区间 I。 B. 开区间集 S 覆盖闭区间 I； D. 闭区间集 S 覆盖闭区间 I。 ) C. 高阶无穷小； D. 等价无穷小.