第五章相交线与平行线
一、知识框架
二、知识概念1.邻补角：两条直线相交所构成的四个角中，有公共顶点且有一条公共边的两个角是邻补角。

2.对顶角：一个角的两边分别是另一个叫的两边
的反向延长线，像这样的两个角互为对顶角。

3.垂线：两条直线相交成直角时，叫做互相垂直，
其中一条叫做另一条的垂线。

4.平行线：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。

5.同位角、内错角、同旁内角：
同位角：∠1与∠5像这样具有相同位置关系的一对角叫做同位角。

内错角：∠4与∠6像这样的一对角叫做内错角。

同旁内角：∠4与∠5像这样的一对角叫做同旁内角。

6.命题：判断一件事情的语句叫命题。

7.平移：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，图形的
这种移动叫做平移变换，简称平移。

8.对应点：平移后得到的新图形中每一点，都是由原图形中的某一点
移动后得到的，这样的两个点叫做对应点。

9.定理与性质对顶角的性质：对顶角相等。

10垂线的性质：性质1：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。

性质2：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。

11.平行公理：经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行。

平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。

12.平行线的性质性质1：两直线平行，同位角相等。

性质2：两直线平行，内错角相等。

性质3：两直线平行，同旁内角互补。

13.平行线的判定：判定1：同位角相等，两直线平行。

判定2：内错角相等，两直线平行。

判定3：同旁内角相等，两直线平行。

【难题巧解点拨】
例1求证三角形的内角和为１８０度。

B
例2如图，AB、CD两相交直线与EF、MN两平行直线相交，试问一共可以得到同旁内角多少对?
例3已知：∠Ｂ＋∠Ｄ＋∠Ｆ＝360o.求证：AB∥EF.
例3-1如图所示,已知AB//CD,求证:∠B+∠E+∠D=360°,要求:至少用三种方法证明
证明：
（1）连接BD
∵AB∥CD（已知）,
∴∠ABD+∠CDB=180°（两直线平行,同旁内角互补）
∵∠1+∠2+∠BED=180°（三角形内角和为180°）,
∴∠ABD+∠1+∠CDB+∠2+∠BED=360°,
即∠ABE+∠CDE+∠BED=360°．
（2）延长DE交AB延长线于F
∵AB∥CD（已知）,
∴∠F+∠D=180°（两直线平行,同旁内角互补）
∵∠ABE=∠FEB+∠F,
∠BED=∠FBE+∠F（三角形一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）
∴∠ABE+∠CDE+∠BED
=∠FEB+∠F+∠CDE+∠FBE+∠F
=180°+180°
=360°．
（3）过点E作EF∥AB
∵AB∥CD,
∴AB∥EF∥CD（如果两条直线都和第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行）
∴∠B+∠BEF=180°
∠D+∠DEF=180°（两直线平行,同旁内角互补）
∴∠B+∠BEF+∠D+∠DEF
=180°+180° =360°．
例4如图，∠１＋∠２＝∠BCD,求证AB ∥D E 。

【典型热点考题】
例１ 如图2—15，∠1=∠2，∠2+∠3=180°，AB ∥CD 吗? AC ∥BD 吗?为什么?
例2 已知直线a
、b 、c 在同一平面内，a ∥b ，a 与c 相交于p ，那么b 与c 也一定相交．请说明理由．
小试牛刀
一、选择题
1．图2—17中，同旁内角共有 ( )
A ．4对
B ．3对
C ．2对
D ．1对
2、光线a 照射到平面镜CD 上，然后在平面镜AB 和CD 之间来回反射，光线的反射角等于入射角．若已知∠1=35°，∠3=75°，则∠2=（ ）
A ．50°
B ．55°
C ．66°
D ．65°
3、如图3，把长方形纸片沿EF 折叠，使D ，C 分别落在D '，C '的位置，若65EFB =∠，则AED '∠等于（ ）
A ．50
B ．55
C ．60
D ．65
Ａ
Ｂ Ｅ Ｄ
Ｃ
第2题图 第3题图
4．两条直线被第三条直线所截，如果所成8个角中有一对内错角相等，那么 ( )
A ．8角均相等
B ．只有这一对内错角相等
C. 凡是内错角的两角都相等，凡是同位角的两角也相等 D ．凡是内错角的两角都相等，凡是同位角的两角都不相等
5、一辆汽车在笔直的公路上行驶，两次拐弯后，仍在原来的方向上
平行前进，则这两次拐弯的角度可以是 ( ) A.第一次向右拐40°，第二次向左拐140° B.第一次向左拐40°，第二次向右拐40° C.第一次向左拐40°，第二次向左拐140° D.第一次向右拐40°，第二次向右拐40°
6、已知：如图，AB//CD ，则图中α、β、γ三个角之间的数量关系为（ ）. A 、α+β+γ=360︒
B 、α+β+γ=180︒
C 、α+β-γ=180︒
D 、α-β-γ=90︒
7、如图，把三角形纸片沿DE 折叠，当点A 落在四边形BCED 内部时， 则∠A 与∠1+∠2之间有一种数量关系始终保持不变．请试着找一找这个
规律，你发现的规律是( )． (A)∠A ＝∠1+∠2 (B)2∠A ＝∠1+∠2 (C)3∠A ＝2∠1+∠2 (D)3∠A=2(∠1十∠2)
二、填空题
1、用等腰直角三角板画45AOB =∠，并将三角板沿OB 方向平移到如图17所示的虚线处后绕点M 逆时针方向旋转22，则三角板的斜边与射线OA 的夹角α为______
2、如图2—30，直线CD 、EF 相交于点A ，则在∠1、∠2、∠
3、∠
4、∠B 和∠C 这6个角中．
(1)同位角有______； (2)内错角有______；
(3)同旁内角有_____。

第1题图
第
2
题图
3、如图2—31，直线a 、b 被直线AB 所截，且AB ⊥BC ，
(1)∠1和∠2是_______角；
(2)若∠1与∠2互补，则∠1-∠3=_______.
4、如图，图中有_________对同位角，_________对内错角，_________对同旁内角．
三、解答题
１、已知：如图2—33，∠ABC=∠ADC ，BF 、DE 是∠ABC 、∠ADC 的角平分线，∠1=∠2．
求证：DC ∥AB ．
2、在3×3的正方形ABCD 的方格中，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7+∠8+∠9之和是多少度？
22
３、已知：如图，CD//EF ，∠1=65︒，∠2=35︒，求∠3与∠4的度数.
4、如图,哪些条件能判定直线AB ∥CD?
5、如图，已知DE 、BF 平分∠ADC 和∠ABC ，∠ABF ＝∠AED ，∠ADC ＝∠ABC ，由此可推得图中哪些线段平行?并写出理由．
6、实验证明,平面镜反射光线的规律是:射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等.
(1)如图,一束光线m 射到平面镜a 上,被a 反射到平面镜b 上,又被b 反射.若被b 反射出的光线n 与光线m 平行,且∠1=50°,则∠2= °，∠3= °. (2)在(1)中,若∠1=55°,则∠3= °;若∠1=40°,则∠3= °.
(3)由(1)、(2),请你猜想:当两平面镜a 、b 的夹角∠3= °时,可以使任何射到平面镜
a 上的光线m ,经过平面镜a 、
b 的两次反射后,入射光线m 与反射光线n 平行.你能说明理由
吗?
７、潜望镜中的两个镜子MN 和PQ 是互相平行的，如图所示，光线AB 经镜面反射后，∠1=∠2，∠3=∠4
，试说明，进入的光
1
4 3 2 A D
C B
3
2
1n
m
b
a
线AB 与射出的光线CD 平行吗？为什么？
8、如图：已知DEF ABC ∆∆与是一副三角板的拼图，
在同一条线上D C E A ,,,.
（1）、求证BC EF // ； （2）、求21∠∠与的度数
9.完成下列推理过程：如图，已知AB∥CD，CD∥EF，∠A＝105°，∠ACE＝51°，求：∠E
的度数．
10.如图，已知AB ∥CD ，EF 交AB,CD 于G, H, GM, HN 分别平分EHD AGF ∠∠,，试说明GM ∥HN.
11.如图，已知AD ∥CE,C A ∠=∠,说明AB 与CF 的位置关系，理由是什么？
初中数学试卷。