冗余驱动过约束并联机构受力分析郭金伟;许允斗;刘文兰;姚建涛;赵永生【摘要】含有驱动冗余的过约束并联机构具有承载能力大、各向同性良好等特点,但其同时含有主动过约束和被动过约束,受力分析相当复杂.本文以4-PRRR冗余驱动过约束并联机构为对象对该类机构受力的超静定问题进行研究.首先针对主动过约束问题,基于特定的优化目标求解出各驱动力大小.然后针对被动过约束问题,建立各分支过约束力螺旋系的刚度矩阵和机构整体刚度矩阵,分析驱动力在过约束力螺旋系轴线方向产生的耦合变形,采用加权广义逆方法求解得到过约束力螺旋系幅值.联合SolidWorks、ANSYS和ADAMS软件建立机构的刚柔混合模型并进行受力仿真分析,仿真结果与理论值基本一致,验证了理论分析结果的合理性.【期刊名称】《燕山大学学报》【年(卷),期】2018(042)003【总页数】7页(P199-205)【关键词】冗余驱动;被动过约束;并联机构;驱动力分配;过约束力螺旋;耦合【作者】郭金伟;许允斗;刘文兰;姚建涛;赵永生【作者单位】燕山大学河北省并联机器人与机电系统实验室,河北秦皇岛066004;燕山大学河北省并联机器人与机电系统实验室,河北秦皇岛066004;燕山大学先进锻压成型技术与科学教育部重点实验室,河北秦皇岛066004;燕山大学河北省并联机器人与机电系统实验室,河北秦皇岛066004;燕山大学河北省并联机器人与机电系统实验室,河北秦皇岛066004;燕山大学先进锻压成型技术与科学教育部重点实验室,河北秦皇岛066004;燕山大学河北省并联机器人与机电系统实验室,河北秦皇岛066004;燕山大学先进锻压成型技术与科学教育部重点实验室,河北秦皇岛066004【正文语种】中文【中图分类】TH1120 引言根据机构所受约束的性质不同，将过约束并联机构分为3类：冗余驱动(主动过约束)并联机构、被动过约束并联机构和冗余驱动过约束并联机构[1]。
冗余驱动可以有效地改善并联机构的受力特性，避开奇异位形。
而被动过约束并联机构则大大提高了机构的刚度及承载能力。
其中冗余驱动过约束并联机构由于同时存在主动过约束和被动过约束，很好地融合了被动过约束并联机构与冗余驱动并联机构二者的优点，具有承载能力大和各项同性良好等特点，应用潜力很大，但其受力分析相当复杂。
目前，国内外很多文献针对冗余驱动并联机构或被动过约束并联机构进行了研究。
文献[2]应用Kane方法建立了6PUS-UPU冗余驱动并联机构的动力学方程并使用加权最小二乘法对驱动力进行协调分配。
文献[3]提出一种加权系数方法解决了超静定输入机构的驱动力最优分配问题。
文献[4]采用范数求解了一种冗余电缆驱动并联机构的力分布优化问题。
文献[5]提出一种4-RRS冗余球面并联机构，并求解了机构的静力学模型与刚度。
文献[6]揭示了加权广义逆和过约束并联机构受力分析之间的关系，并基于该方法求解了冗余驱动并联机构的驱动力和被动过约束并联机构的过约束力螺旋。
文献[7]对两种过约束机构2-RPU&SPR的运动学特性进行了对比分析。
文献[8]在考虑杆件空间复合弹性变形的情况下，对3-PRRR过约束并联机构进行受力分析。
文献[9]提出变形协调性分析的方法用于二自由度过约束机构的动力学建模。
文献[10]基于考虑和不考虑杆件和运动副的柔性，分别建立了Tripteor X7过约束机构的动力学模型。
文献[11-12]对每个分支只提供单维轴向约束力的过约束并联机构进行了静力学分析。
文献[13-14]基于螺旋理论分别研究了含过约束力的4-R(CRR)并联机构和含过约束力偶的4-UPU并联机构的动力学。
上述这些文献的研究均只涉及冗余驱动并联机构和被动过约束并联机构的主动过约束或被动过约束问题，而没有同时涉及主动过约束和被动过约束。
然而，很多国内外学者研究的冗余驱动并联机构大多为冗余驱动过约束并联机构，如2-RRR+RR二自由度并联机构、4-RRR三自由度并联机构[15-16]等。
因此，本文将以4-PRRR冗余驱动过约束并联机构为例对该类机构的受力分析问题进行研究。
1 4-PRRR冗余驱动过约束并联机构4-PRRR冗余驱动过约束并联机构简图如图1所示，它由动平台、固定导轨和连杆组成。
4根固定导轨均匀分布在锥顶角为2×54.736=109.472°的锥面上。
连接动平台和4根导轨的4条支链结构完全相同，每条支链从动平台到导轨依次由3个转动副和一个移动副连接。
该移动副为驱动，其轴线与所在固定导轨的轴向重合，3个转动副的轴线与移动副的轴线平行。
4条支链中与动平台连接的4个转动副均匀分布在动平台圆周上。
经分析，每个分支施加给动平台两个垂直于所在分支末端转动副轴线的约束力偶作用，所以动平台共受到8个约束力偶作用，显然这8个约束力偶是线性相关的，其最大线性无关数为3，限制了动平台的3个转动自由度。
而该机构有4个驱动，为典型的冗余驱动过约束并联机构。
图1 4-PRRR冗余驱动过约束并联机构简图Fig.1 Schematic diagram of 4-PRRR redundantly actuated overconstrained parallel mechanism建立机构的坐标系如图1所示，各分支与动平台连接的4个连接点均匀分布在原点为O半径为r的圆上。
在动平台中心建立坐标系O-XOYOZO，XO和YO分别指向两个相邻的分支末端坐标系原点。
从动平台到基座依次在分支的转动副中心建立坐标系Oi1-Xi1Yi1Zi1、Oi2-Xi2Yi2Zi2和Oi3-Xi3Yi3Zi3，其中Yi1，Yi2和Yi3分别沿着转动副的轴线方向，Zi1从Oi1指向Oi2，Zi1从Oi3指向，Zi3从Oi3指向移动副中心，其中i=1,2,3,4，X轴由右手螺旋定则决定。
2 冗余驱动过约束并联机构受力分析本文将分别对主动过约束和被动过约束进行求解，并分析二者之间的耦合关系，获得冗余驱动力分配结果和过约束力螺旋解。
2.1 冗余驱动力求解对于主动过约束，其驱动力大小可以根据不同的优化目标(如系统能耗最小或驱动力矩最小等)进行主动分配。
不考虑连杆及动平台重力、惯性力和运动副摩擦力的情况下，建立动平台的受力平衡方程为(1)上式中，Ff=表示作用在动平台上的外力，表示单位驱动力螺旋的幅值，表示fr到Ff的力映射矩阵，均是在参考坐标系O-XOYOZO下的表示。
这里采用加权广义逆方法[6]，选取各驱动力平方和最小为优化目标，则加权系数矩阵W=I，各分支驱动力为当施加在动平台上的外力为Ff=[20 10 -10 0 0 0]T时，根据式(2)可得到驱动力分配情况为fr=(16.577 4 10.453 8 7.917 1 1.793 4)T。
2.2 被动过约束力螺旋求解2.2.1 分支过约束力螺旋系刚度矩阵求解求解分支过约束力螺旋系刚度矩阵首先要根据反螺旋理论分析出各分支提供给动平台的过约束力螺旋系，然后根据力递推法求解各分支在过约束力螺旋系下全部运动副的约束反力，并利用材料力学的知识从分支末端到基座依次求解各分支杆在运动副约束反力作用下产生的分支末端形变，将各个分支杆引起的末端变形叠加便得到了分支末端的总弹性变形。
最后，分支的过约束力螺旋系刚度矩阵即为该分支的过约束力螺旋系幅值大小与该总弹性变形在分支各过约束力螺旋轴线方向的投影之间的映射矩阵[1]。
定义从动平台到基座的各分支连杆长度分别为li1,li2,li3，转动副转动角度分别为θi1,θi2,θi3，以分支1为例，如图2所示。
图2 分支1结构简图Fig.2 Structure diagram of branch 1假设各连杆的横截面参数全部相同，根据反螺旋理论得出动平台受到分支1末端提供的两个约束力偶的作用。
该螺旋系中的单位螺旋在分支末端坐标系O11-X11Y11Z11下可表示为(3)(4)根据坐标系间的转换关系，坐标系O13-X13Y13Z13、O12-X12Y12Z12和O11-X11Y11Z11之间的齐次变换矩阵分别为(5)(7)在分支末端约束力螺旋作用下，根据力递推法可求得在坐标系O12-X12Y12Z12下表示的连接中间连杆和靠近动平台连杆的转动副的约束反力为(8)在坐标系O13-X13Y13Z13下表示的连接中间连杆和靠近基座连杆的转动副的约束反力为(9)根据材料力学相关知识，每根连杆在其末端运动副的约束反力作用下，可看作是外力作用在悬臂梁的末端。
在其末端坐标系下，各连杆的柔度矩阵为其中，j=1,2,3，l1j表示分支1中各连杆长度，Ix、Iy、Ip表示连杆的横截面惯性参数，E表示弹性模量，G表示切变模量，A表示横截面面积。
在坐标系O13-X13Y13Z13下表示的靠近基座的连杆末端产生的变形为(11)根据坐标系间的位移变换关系，此变形在坐标系O11-X11Y11Z11下表示为(12)同理，可求得在坐标系O12-X12Y12Z12下，中间连杆在末端产生的变形表示为(13)此变形在坐标系O11-X11Y11Z11下可表示为连接动平台的连杆在分支约束力螺旋系的作用下其末端产生的变形在坐标系O11-X11Y11Z11下可表示为(15)根据小变形叠加原理，则分支1末端的总变形在末端坐标系O11-X11Y11Z11下可表示为(16)将分支1在坐标系O11-X11Y11Z11下的变形表示分离为柔度矩阵与广义力矢量相乘的形式为(17)则分支1的刚度矩阵为(18)同理可求得分支2，3，4在各自分支末端坐标系下的刚度矩阵K2、K3、K4。
2.2.2 主动过约束与被动过约束之间的耦合关系经分析，对于该4-PRRR冗余驱动过约束并联机构，分支在已知的驱动力螺旋的作用下，分支末端将产生沿过约束螺旋轴线方向的弹性变形，这种机构也称为分支刚度耦合过约束并联机构[17]。
考虑驱动力螺旋，按照2.2.1节步骤求得各分支的约束力螺旋刚度矩阵表示为则柔度矩阵表示为(19)式中，根据力与变形之间的关系，则驱动力在分支末端沿过约束力偶轴线方向产生的耦合变形为即(21)其中，A= li1li2+li1li3+li2li3θi2+li2li3cos(θi2-2θi3)+li1li2cos(2θi2)+li1li3cos(2θi2-2θi3),C= li1li2sinθi2+li2li3sin(θi2-2θi3)+ li2li3sin(θi2)+li1li3sin(2θi2-2θi3),2.2.3 过约束力螺旋系幅值不考虑连杆及动平台的重力和运动副的摩擦力的情况下，4-PRRR机构的变形协调方程和受力平衡方程为(22)(23)又存在fwi=KiXi，(24)式中，X表示在参考坐标系下表示的动平台中心在外力矩作用下产生的变形，Xi 表示在分支i末端坐标系下表示的过约束力偶产生的变形，Fw表示作用在动平台上的外力矩，J=(J1 J2 J3 J4)表示各分支末端受力与动平台所受外力之间的力变换矩阵，fwi表示在分支末端坐标系下表示的分支末端提供给动平台的过约束力螺旋幅值。