三角函数及解三角形一、选择题：1．设α是锐角,223)4tan(,+=+απ则=αcosA.22B. 32C. 33D. 632．一船向正北航行,看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上,继续航行半小时后,看见一灯塔在船的南偏西60°,另一灯塔在船的南偏西75°,则这艘船的速度是每小时 AA ．5海里B ．5错误!海里C ．10海里D ．10错误!海里3．若函数)0(sin )(>=ωωx x f 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡3,0π上单调递增,在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,3ππ上单调递减,则=ω A ．3 B ．24．已知函数)(),0(cos sin 3)(x f y x x x f =>+=ωωω的图象与直线2=y 的两个相邻交点的距离等于,π则)(x f 的单调递增区间是A .Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-,125,12ππππ B . Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++,1211,125ππππ C . Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-,6,3ππππ D .Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++,32,6ππππ 5．圆的半径为c b a ,,,4为该圆的内接三角形的三边,若,216=abc 则三角形的面积为2 2 C. 2 D.226．已知54cos -=α且,,2⎪⎭⎫ ⎝⎛∈ππα则⎪⎭⎫ ⎝⎛+4tan πα等于 C A ．－错误! B ．－7 C ．错误! D ．7 7．锐角三角形ABC 中c b a ,,,分别是三内角C B A ,,的对边设,2A B =则a b 的取值范围是 D A ．﹣2,2 B ．0,2C ．,2 D ．,8．已知函数y ＝A sin ωx ＋φ＋mA >0,ω>0的最大值为4,最小值为0,最小正周期为错误!,直线x ＝错误!是其图象的一条对称轴,则符合条件的函数解析式是DA ．y ＝4sin 错误!B ．y ＝2sin 错误!＋2C ．y ＝2sin 错误!＋2D ．y ＝2sin 错误!＋29．函数)32sin(π+=x y 的图象经怎样平移后所得的图象关于点)0,12(π-成中心对称A.向左平移12πB.向左平移6πC.向右平移6πD.向右平移12π 10．如果函数x a x y 2cos 2sin +=的图象关于直线6π-=x 对称,那么=a A ． 3 B ．-33 C ．-3 D ．33 11．函数y ＝cos ωx ＋φω>0,0<φ<π为奇函数,该函数的部分图象如右图所表示,A 、B 分别为最高与最低点,并且两点间的距离为2错误!,则该函数的一条对称轴为CA ．x ＝错误!B ．x ＝错误!C ．x ＝1D ．x ＝212．在△ABC 中,内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知错误!＝错误!,则错误!的值为 DA ．2 C ．2错误! D ．3二、填空题：13．已知,31)12sin(=+πα则=+)127cos(πα_____. 14．在ABC ∆中角A ,B ,C 的对边分别是a ,b ,c ,若3sin cos cos b A c A a C =+,则sin A =________ 15．将函数fx ＝sin x ＋cos x 的图象向左平移φφ>0个单位长度,所得图象关于原点对称,则φ的最小值为错误!____．16．已知函数),,0)(sin(ππωϕωx x y ≤->+=的图象如图所示,则ϕ=________.17．在ABC ∆中,若,32,3,1π===C c b 则=a ; 18．在ABC ∆中C B A ,,,所对的边分别为,,,c b a 且满足,12+=++c b a ,sin 2sin sin C B A =+则=c ； 若,3π=C 则=∆ABC S三、解答题：19．已知函数(=cos (cos 3)f x x x x ）+ . Ⅰ求()f x 的最小正周期；Ⅱ当π[0,]2x ∈ 时,求函数(f x ）的单调递减区间.解：Ⅰ 1(=sin(2)62f x x ）π++ 22||2T πππω===()f x 的最小正周期为π. ----------------------------------7分Ⅱ当3222,262k x k k Z πππππ+≤+≤+∈ 时,函数(f x ）单调递减, 即()f x 的递减区间为：2[,],63k k k Z ππππ++∈, 由2[0,][,]263k k πππππ++=[,]62ππ+,k Z ∈ 所以(f x ）的递减区间为：[,]62ππ. ------------------------------------13分 20．向量m ＝a ＋1,sin x ,n ＝1,4cos x ＋错误!,设函数gx ＝m ·n a ∈R ,且a 为常数．1若a 为任意实数,求gx 的最小正周期；2若gx 在0,错误!上的最大值与最小值之和为7,求a 的值．解析 gx ＝m ·n ＝a ＋1＋4sin x cos x ＋错误!＝错误!sin2x －2sin 2x ＋a ＋1＝错误!sin2x ＋cos2x ＋a ＝2sin2x ＋错误!＋a1gx ＝2sin2x ＋错误!＋a ,T ＝π.2∵0≤x <错误!,∴错误!≤2x ＋错误!<错误!当2x ＋错误!＝错误!,即x ＝错误!时,y max ＝2＋a .当2x ＋错误!＝错误!,即x ＝0时,y min ＝1＋a ,故a ＋1＋2＋a ＝7,即a ＝2.21.在△ABC 中,A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ,且bcos C =3acos B -ccos B1求cos B 的值；2若BA ·BC =2,b =22,求a 和c22．在ABC ∆中,,,a b c 分别是角,,A B C 的对边,已知向量m →(),a c a b =+-,n →()sin ,sin sin B A C =-,且m →∥n →. 1求角C 的大小；2求sin sin A B +的取值范围.23．在ABC ∆中C B A ,,,的对边分别为,,,c b a 已知,7,5==+c b a 且272cos 2sin 42=-+C B A . 1求角C 的大小；2求ABC ∆的面积．解析 1∵A ＋B ＋C ＝180°,4sin 2错误!－cos2C ＝错误!.∴4cos 2错误!－cos2C ＝错误!,∴4·错误!－2cos 2C －1＝错误!,∴4cos 2C －4cos C ＋1＝0,解得cos C ＝错误!,∵0°<C <180°,∴C ＝60°.2∵c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ,∴7＝a ＋b 2－3ab ,解得ab ＝6.∴S △ABC ＝错误!ab sin C ＝错误!×6×错误!＝错误!.24．已知函数fx ＝A sin ωx ＋φA >0,ω>0,|φ|<错误!的部分图象如图所示．1求函数fx 的解析式；2若f 错误!＝错误!,0<α<错误!,求cos α的值．解析 1由图象知A ＝1fx 的最小正周期T ＝4×错误!＝π,故ω＝错误!＝2将点错误!代入fx 的解析式得sin 错误!＝1,又|φ|<错误!,∴φ＝错误!故函数fx 的解析式为fx ＝sin 错误!2f 错误!＝错误!,即sin 错误!＝错误!,又0<α<错误!,∴错误!<α＋错误!<错误!,∴cos 错误!＝错误!.又cos α＝α＋错误!－错误!＝cos 错误!cos 错误!＋sin 错误!sin 错误!＝错误!.25．设△ABC 的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，且sin 3cos b A a B =． Ⅰ求角B 的大小；Ⅱ若3sin 2sin b C A ==，,求a c ，的值． 解：Ⅰsin 3cos b A a B =, ……………2分 由正弦定理得sin sin 3cos B A A B =,在△ABC 中,sin 0A ≠,即tan 3B =(0)B π∈，, ……………4分 3πB ∴=． ……………6分 Ⅱsin 2sin C A =,由正弦定理得2c a =, ……………8分由余弦定理2222cos b a c ac B =+-, 得22942(2)cos 3πa a a a =+-⋅⋅, ……………10分解得a =∴2c a == ……………13分26．在△ABC 中,已知A ＝错误!,cos B ＝错误!.1求cos C 的值；2若BC ＝2错误!,D 为AB 的中点,求CD 的长．27．已知函数fx ＝sin2x cos φ＋cos2x sin φ|φ|<错误!,且函数y ＝f 2x ＋错误!的图象关于直线x ＝错误!对称． 1求φ的值；2若错误!<α<错误!,且fα＝错误!,求cos4α的值；3若0<θ<错误!时,不等式fθ＋fθ＋错误!<|m －4|恒成立,试求实数m 的取值范围．28．已知函数fx ＝A sin ωx ＋φA >0,ω>0,0<φ<π,x ∈R 的最大值是1,最小正周期是2π,其图象经过点M 0,1． 1求fx 的解析式；2设A 、B 、C 为△ABC 的三个内角,且fA ＝错误!,fB ＝错误!,求fC 的值．。