将对应的位置增量数据(如、)，再与采样所获得的实际位置反馈值 相比较，求得位置跟踪误差。位置伺服软件就根据当前的位置误差 计算出进给坐标轴的速度给定值，并将其输送给驱动装置，通过电 动机带动丝杠和工作台朝着减少误差的方向运动，以保证整个系统 的加工精度。由于这类算法的插补结果不再是单个脉冲，而是一个 数字量，所以，这类插补算法适用于以直流或交流伺服电动机作为 执行元件的闭环或半闭环数控系统中。
对圆弧，提供起点、终点、顺圆或逆圆、以及圆心相对于起点的位置。为满
足零件几何尺寸精度要求，必须在刀具(或工件)运动过程中实时计算出满足 线形和进给速度要求的若干中间点(在起点和终点之间)，这就是数控技术中
插补(Interpolation)的概念。据此可知，插补就是根据给定进给速度和给定
轮廓线形的要求，在轮廓已知点之间，确定一些中间点的方法，这种方法称 为插补方法或插补原理。
Xm+1＝Xm+1, Ym+1＝Ym
新的偏差为
Fm+1＝Ym+1Xe－Xm+1Ye＝Fm－Ye
若Fm＜0时，为了逼近给定轨迹，应向＋Y方向进给一步，走一步后新的坐标值为
Xm+1＝Xm, Ym+1＝Ym ＋1
新的偏差为
Fm+1＝Fm＋Xe
4. 终点判别法
逐点比较法的终点判断有多种方法，下面主要介绍两种：
直到∑为零时，就到了终点。
2.2
不同象限的直线插补计算
上面讨论的为第一象限的直线插补计算方法，其它三个象
限的直线插补计算法，可以用相同的原理获得，表5-1列出了
四个象限的直线插补时的偏差计算公式和进给脉冲方向，计 算时，公式中Xe，Ye均用绝对值。
表1-1 四个象限的直线插补计算
Fm＜0，＋Y L2 Fm＜0，＋Y L1
点的密化工作。所以，也称微小直线段的分割过程是粗插补， 而后续进一步的密化过程是精插补。
一般情况下，数据采样插补法中的粗插补是由软件实现，
并且由于其算法中涉及到一些三角函数和复杂的算术运算，所
以，大多数采用高级语言完成。而精插补算法大多采用脉冲增 量插补算法，它既可由软件实现也可由硬件实现，由于相应算
度之间是相互影响的。例如实现某脉冲增量插补算法大约需
要30 μ s的处理时间，当系统脉冲当量为0.001 mm时，则可 得单个运动坐标轴的极限速度约为2 m/min。当要求控制两个
或两个以上坐标轴时，所获得的轮廓速度还将进一步降低。
反之，如果将系统单轴极限速度提高到20 m/min，则要求将 脉冲当量增大到0.01 mm。可见，CNC系统中这种制约关系
数控机床插补原理
机械工程系 汪彬
数控机床 插补原理与刀具补偿原理
1 概述
2 逐点比较法插补
3 数字积分法 4 数据采样插补法 5 刀具半径补偿原理 习题
1 概
1.1 插补概念
述
实际加工中零件的轮廓形状是由各种线形(如直线、圆弧、螺旋线、抛物 线、自由曲线)构成的。其中最主要的是直线和圆弧。用户在零件加工程序中， 一般仅提供描述该线形所必需的相关参数，如对直线，提供其起点和终点；
(1) 第一种方法。设置X、Y两个减法计数器，加工开始
前，在X、Y计数器中分别存入终点坐标Xe、Ye，在X坐标(或Y 坐标)进给一步时，就在X计数器(或Y计数器)中减去1，直到 这两个计数器中的数都减到零时，便到达终点。 (2) 第二种方法。用一个终点计数器，寄存X和Y两个坐标，
从起点到达终点的总步数∑；X、Y坐标每进一步，∑减去1，
术运算较简单，所以软件实现时大多采用汇编语言完成。
位置控制周期(Tc)是数控系统中伺服位置环的采样控制周 期，对于给定的某个数控系统而言，插补周期和位置控制周期 是两个固定不变的时间参数。
通常Ts≥Tc，并且为了便于系统内部控制软件的处
理，当Ts与Tc不相等时，则一般要求Ts是Tc的整数倍。
由于插补运算较复杂，处理时间较长，而位置环数字 控制算法较简单，处理时间较短，所以，每次插补运 算的结果可供位置环多次使用。现假设程编进给速度 为F，插补周期为Ts ，则可求得插补分割后的微小直
F＋Xe→ F
－1→
＝0? Y 结束
N
图1-3 第一象限逐点比较法直线插补的运算流程
例1-1
设欲加工第一象限直线OE，终点坐标为Xe＝4，Ye＝3，
用逐点比较法进行插补。
解：总步数
∑＝4＋3＝7
开始时刀具在直线起点，即在直线上，故F0＝0，插补运 算过程如表1-2所示，插补轨迹如图1-4所示。
表1-2 直线插补的运算过程
序号 1 2 3 4 5 6 7 偏差进给 F0＝0 F1＝－3<0 F2＝1>0 F3＝－2<0 F4＝2>0 F5＝－1<0 F 6＝3>0 进给 ＋ΔX ＋ΔY ＋ΔX ＋ΔY ＋ΔX ＋ΔY ＋ΔX 偏差计算 F1＝F0－Ye ＝0－3＝－3 F2＝F1+Xe ＝－3+4＝1 F3＝F2－Ye ＝1－3＝-2 F4＝F3+Xe ＝－2+4＝2 F5＝F4－Ye ＝2－3＝－1 F6＝F5+Xe ＝－1+4＝3 F7＝F6－Ye ＝3－3＝0 终点判别 ∑1＝∑0－1＝7－1＝6 ∑2＝∑1－1＝6－1＝5 ∑3＝∑2－1＝5－1＝4 ∑4＝∑3－1＝4－1＝3 ∑5＝∑4－1＝3－1＝2 ∑6＝∑5－1＝2－1＝1 ∑7＝∑6－1＝1－1＝0，到终点
L3 Fm＜0，－Y
L4 Fm＜0，－Y
2.3
逐点比较法硬件和软件实现方法
1. 硬件实现
逐点比较法插补最早是在硬件数控系统中使用数字逻辑电
路来实现，而后来的CNC系统中基本上都是采用软件来模拟硬 件实现。但硬件插补速度快，若采用大规模集成电路制作的插 补芯片，可靠性高。最近几年，国外一些数控系统中采用一种 大 规 模 的 数 字 电 路 —— 现 场 可 编 程 逻 辑 门 阵 列 (Field Programming Gate Array缩写为FPGA)来实现该插补功能，从 而克服了原来硬件插补线路灵活性差的缺点，同时保留了硬件 电路处理速度快的优点。
在插补逻辑图中，MF每发出一个脉冲，对应完成一次插
补运算。当上述插补初始化完成后，运算控制信号使运算开关 TG触发器置1(即Q＝1)，打开了与门Y0，从而使MF发出的脉 冲经与门Y0到达时序脉冲发生器M，经M产生四个先后顺序的 脉冲系列t1、t2、t3和t4，并按此顺序去依次完成一次插补运 算过程中的四个工作节拍，即偏差判别、坐标进给、偏差计算 和终点判别。
线型 L1
Fm≥0，－ X Fm≥0，－ X
Fm≥0，＋ X Fm≥0，＋ X
L2 L3 L4
Fm ＞0 时, 进给方向 ＋ΔX －ΔX －ΔX ＋ΔX
Fm ＜0 时, 进给方向 ＋ΔY ＋ΔY －ΔY －ΔY
偏差计算 公式 Fm >0 时: Fm+1＝Fm －y e Fm <0 时: Fm+1＝Fm ＋xe
限制了其精度和速度的提高。
2. 数据采样插补 数据采样插补是使用一系列首尾相连的微小直线段来逼近
给定曲线，由于这些微小直线段是根据程编进给速度，按系统
给定的时间间隔来进行分割的，所以又称为“时间分割法”插 补。该时间间隔即插补周期()。分割后得到的这些微小直线段
对于系统精度而言仍是比较大的，为此，必须进一步进行数据
2. 坐标进给
(1) Fm＝0时，规定刀具向＋X方向前进一步；
(2) Fm＞0时，控制刀具向＋X方向前进一步； (3) Fm＜0时，控制刀具向＋Y方向前进一步。 刀具每走一步后，将刀具新的坐标值代入函数式 Fm＝YmXe－XmYe，求出新的Fm值，以确定下一步进 给方向。
3．偏差计算 设在某加工点处，有Fm≥0时，为了逼近给定轨迹，应沿＋X方向进给一步， 走一步后新的坐标值为
于较精密的数控机床一般为0.005 mm、0.0025 mm或0.001 mm。
一般来讲，脉冲增量插补算法较适合于中等精度(如0.01 mm)和中等速度(1～3 m/min)的CNC系统中。由于脉冲增量 插补误差不大于一个脉冲当量，并且其输出的脉冲速率主要 受插补程序所用时间的限制，所以，CNC系统精度与切削速
X
Y
&
Y1
&
Y2
Y3 & [Xe] JX & Y5 [－Ye]补 JY & Y6 H2 ≥1 ＋ J F － 置“0” ≥1 H1
Y4 &
图 逐 点 比 较 法 直 线 插 补 硬 件 逻 辑 框 图
1-2
Q
Q TF
&
YF 1
&
YF 2 YF 3
Q
1
&
T Y0 MF & t1 t2 t3 t4 时序脉冲 发生器M 置“0”
Q
TG J
置数
TG
Q 停运信号 运算控制
图中JX、JY和JF为三个移位寄存器，分别存放X轴终点坐标值Xe；Y轴 终点坐标值Ye；以及每次偏差计算的结果。而J∑是个减法寄存器，存放 加工过程中两坐标轴所走总步数。Q为一个全加器，Tc是进位触发器，MF 为控制进给速度的可变频脉冲发生器，而加工进给速度F是根据被加工零 件的工艺要求等确定的，进而也就决定了MF的脉冲频率fMF变化范围。反 过来利用fMF又可精确控制进给速度，它们之间的关系式为
是硬件数控(NC)系统，还是计算机数控(CNC)系统，都有插补 装置。在CNC中，以软件(即程序)插补或者以硬件和软件联合
相同的。
1.2
1. 脉冲增量插补
插补的分类
脉冲增量插补(又称基准脉冲插补)就是通过向各个运动轴分
配脉冲，控制机床坐标轴作相互协调的运动，从而加工出一定 形状零件轮廓的算法。显然，这类插补算法的输出是脉冲形式， 并且每次进给产生一个单位的行程增量，故称之为脉冲增量插 补。而相对于控制系统发出的每个脉冲信号，机床移动部件对 应坐标轴的位移大小，称之为脉冲当量，一般用表示。它标志 着数控机床的加工精度，对于普通数控机床一般为0.01 mm，对