2018学年高三上期第二次周练 数学（理科）第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合{}=0123A ，，，， {}=21B x x a a A =-∈，，则=( )A B ⋂A. {}12，B. {}13，C. {}01， D. {}13-， 2．已知i 是虚数单位，复数z 满足()12i z i +=，则z 的虚部是（ ）A. i -B. iC. 1-D. 13．在等比数列{}n a 中， 13521a a a ++=， 24642a a a ++=，则数列{}n a 的前9项的和9S =（ ）A. 255B. 256C. 511D. 5124．如图所示的阴影部分是由x 轴，直线1x =以及曲线1xy e =-围成，现向矩形区域OABC 内随机投掷一点，则该点落在阴影区域的概率是（ ） A.1e B. 21e e -- C. 11e - D. 11e - 5．在 52)(y x x ++ 的展开式中，含 25y x 的项的系数是（ ） A. 10 B. 20C. 30D. 606．已知一个简单几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积为 ( )A. 36π+B. 66π+C. 312π+D. 127．已知函数 ())2log(xa x f -= 在 )1,(-∞上单调递减，则a 的取值范围是( )A. 11<<aB. 2110<<<<a a 或C. 10<<aD. 210><<a a 或8．执行如图所示的程序框图，若输出的结果为2，则输入的正整数的可能取值的集合是（ ）{}.2345A ，，， B. {}123456，，，，，{}.12345C ，，，， D. {}23456，，，，9．R 上的偶函数()f x 满足()()11f x f x -=+，当01x ≤≤时， ()2f x x =，则 ()5log y f x x =-的零点个数为（ ）A. 4B. 8C. 5D. 1010．如图，已知抛物线24y x =的焦点为F ，直线l 过F 且依次交抛物线及圆()22114x y -+=于点,,,A B C D 四点，则4AB CD + 的最小值为（ ）A. 172B. 152C. 132D. 112 11．已知函数()()224sin sin 2sin 024x f x x x ωπωωω⎛⎫=⋅+-> ⎪⎝⎭在区间2,23ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数， 且在区间[]0,π上恰好取得一次最大值，则ω的取值范围是（ ）A. (]0,1B. 30,4⎛⎤ ⎥⎝⎦ C. [)1,+∞ D. 13,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦12．已知数列 }{n a 中，1a =1，且对任意的*,N n m ∈,都有,mn a a a n m n m ++=+则=∑=201811i ia （） A ．20192018 B ．20182017 C ． 2 D ．20194036第II 卷（非选择题）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.13．已知平面向量()()2,1,2,a b x ==，且()()2a b a b +⊥-，则x =__________. 14．若变量,x y 满足2{236 0x y x y x +≤-≤≥，且2x y a +≥恒成立，则a 的最大值为______________.15．若双曲线()222210,0x y a b a b-=>>上存在一点P 满足以OP 为边长的正方形的面积等于2ab （其中O 为坐标原点），则双曲线的离心率的取值范围是__________．16．若曲线21:(0)C y ax a =>与曲线2:x C y e =存在公共切线，则a 的取值范围为__________．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．已知向量()()3(sin , 3sin ,sin ,cos ,22a x x b x x f x a b ππ⎫⎛⎫⎛⎫=--==⋅ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎭. （1）求()f x 的最大值及()f x 取最大值时x 的取值集合M ；（2）在△ABC 中， ,,a b c 是角,,A B C 的对边,若24C M π+∈且1c =，求△ABC 的周长的取值范围.18．如图，已知四棱锥P ABCD -的底面为直角梯形， //AB DC ， 90DAB ∠=︒， PA ABCD ⊥底面，且12PA AD DC ===， 1AB =， M 是PB 的中点。

（Ⅰ）求证： PAD PCD ⊥平面平面；（Ⅱ）求二面角A CM B --的余弦值。

19．从某市的高一学生中随机抽取400名同学的体重进行统计，得到如图所示频率分布直方图.（Ⅰ）估计从该市高一学生中随机抽取一人，体重超过60kg 的概率；（Ⅱ）假设该市高一学生的体重X 服从正态分布()257,N a .（ⅰ）估计该高一某个学生体重介于5457kg ～ 之间的概率；介于5457kg ～之（ⅱ）从该市高一学生中随机抽取3人，记体重间的人数为Y ，利用（ⅰ）的结论，求Y 的分布列及EY .20．已知右焦点为F 的椭圆222:1(3)3x y M a a +=>与直线7y =相交于P 、Q 两点， 且PF QF ⊥． （1）求椭圆M 的方程；（2）O 为坐标原点，A ，B ，C 是椭圆E 上不同的三点，并且O 为ABC △的重心，试探究ABC △的面积是否为定值，若是，求出这个定值；若不是，说明理由．21. 已知函数()()22ln 0f x x x a x a =-+>. （1）当2a =时，试求函数图像过点()()1,1f 的切线方程；（2）若函数()f x 有两个极值点()1212x x x x <、，且不等式()12f x m x ≥恒成立，试求实数m 的取值范围.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.【选修4-4：坐标系与参数方程】在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为2cos 2sin x y αα=+⎧⎨=+⎩（α为参数），直线2C 的方程为3y x =，以O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，（1）求曲线1C 和直线2C 的极坐标方程；（2）若直线2C 与曲线1C 交于,A B 两点，求11||||OA OB +. 23.【不等式选讲】已知()31f x x x =-++， ()1g x x x a a =+-+-.（1）解不等式()6f x ≥；（2）若不等式()()f x g x ≥恒成立，求实数a 的取值范围.参考答案 1．B 2．D 3．C 4．B 5．C 6．A ，7．A 8．A 9．C 10．C 11.D 12.D 13．12-或1 14．4- 15．5,⎡⎫+∞⎪⎢⎪⎣⎭16．2,4e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ 17．（1）()cos 3cos a x x =-，()21333sin cos 3cos sin2cos2sin 223f x a b x x x x x x π⎛⎫=⋅=-=--=- ⎪⎝⎭－， ()f x ∴的最大值为31-，此时22,32x k πππ-=+ 即512x k ππ=+ 5|, 12k z M x x k k z ππ⎧⎫∈∴=+∈⎨⎬⎩⎭（2）24C M π+∈ 52412C k πππ∴+=+， 23C k ππ=+, ()0,C π∈ 3C π∴= 1c =由2222cos c b a ab c =+-得222c a b ab =+-()()()()22223344a b a b a b ab a b ++=+-≥+-= 2a b ∴+≤ 又1a b +>, 故23a b c <++≤，即周长的范围为(]2,3∈.18．证明：（Ⅰ）以A 为坐标原点AD 长为单位长度，如图，建立空间直角坐标系，则各点为()0,0,0A ， ()0,2,0B ， ()0,1,0C ， ()1,0,0D ， ()0,0,1P ， 10,1,2M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则()0,0,1AP =， ()0,1,0DC =，故0AP DC ⋅=，所以AP DC ⊥，由题设知AD DC ⊥，且AP 与AD 是平面PAD 内的两条相交直线，由此得DC PAD ⊥平面,又DC 在平面PCD 内,故平面PAD PCD ⊥平面。

（Ⅱ）在MC 上取一点(),,N x y z ，则存在R λ∈，使NC MC λ=，连接,AN BN ， ()1,1,NC x y z =---，11,0,2MC ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以1x λ=-， 1y =， 12z λ=。

要使AN MC ⊥，只要0AN MC ⋅=，即102x z -=，解得45λ=。

可知当45λ=时， N 点坐标为12,1,55⎛⎫ ⎪⎝⎭，能使0AN MC ⋅=，此时， 12,1,55AN ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 12,1,55BN ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以0BN MC ⋅=。

由0AN MC ⋅=， 305AN =， 305BN =，所以2cos ,3AN BNAN BN AN BN ⋅==-⋅，故所求二面角的余弦值为23-。

19．（Ⅰ）这400名学生中，体重超过60kg 的频率为()10.040.0154+⨯=， 由此估计从该市高一学生中随机抽取一人，体重超过60kg 的概率为14. （Ⅱ）（ⅰ）∵()257,X N σ～， 1(60)4P X >=，∴1(54)4P X <=， ∴11(5460)1242P X <<=-⨯=，∴111(5457)224P X <<=⨯=. （ⅱ）因为该市高一学生总体很大，所以从该市高一学生中随机抽取3人，可以视为独立重复实验，其中体重介于5457kg ～之间的人数13,4Y B ⎛⎫ ⎪⎝⎭～， ()331344i i i P Y i C -⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 0,1,2,3i =.13344EY =⨯=. 20．（1）设()0F c ，，P t ⎛ ⎝，则Q t ⎛- ⎝， ∴22317t a +=，即2247t a =①，∵PF QF ⊥71=-，即2297c t -=-②， ∴由①②得224977c a -=-，又223a c -=，24a =， ∴椭圆M 的方程为22143x y +=． （2）设直线AB 方程为：y kx m =+，由22143x y y kx m +==+⎧⎪⎨⎪⎩得()2223484120k x kmx m +++-=，∴122122834634km x x k m y y k -+=++⎧⎪=⎨+⎪⎪⎪⎩， ∵O 为重心，∴()22863434km m OC OA OB k k -⎛⎫=-+= ⎪++⎝⎭，，∵C 点在椭圆E 上，故有2222863434143km m k k -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭+=，可得22443m k =+，而AB ==， 点C 到直线AB的距离d =（d 是原点到AB 距离的3倍得到），∴61922ABC m S AB d ====△， 当直线AB 斜率不存在时，3AB =，3d =，92ABC S =△，∴ABC △的面积为定值92． 21.【解析】（1）当2a =时，有()222ln f x x x x =-+. ∵()()221222x x f x x x x -+'=-+=，∴()12f '=， ∴过点()()1,1f 的切线方程为：()121y x +=-，即230x y --=. （2）∵()f x 的定义域为：{}()222|0,22a x x a x x f x x x x-+'>=-+=. 令()20220f x x x a '=⇒-+=. 又∵函数()f x 有两个极值点()1212x x x x <、，∴2220x x a -+=有两个不等实数根()1212x x x x <、，∴1002a ∆>⇒<<，且212111,22x x a x x +==-，从而121012x x <<<<. 由不等式()12f x m x ≥恒成立()21111222ln f x x x a x m x x -+⇒≤=恒成立， ∵()()()22111111111221222ln 112ln 1x x x x x f x x x x x x x -+-==--+-， 令()1112ln 012h t t t t t t ⎛⎫=--+<< ⎪-⎝⎭，∴()()2112ln 01h t t t '=-+<-，当102t <<时恒成立， ∴函数()h t 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，∴()13ln 222h t h ⎛⎫>=--⎪⎝⎭， 故实数m 的取值范围是：3ln 22m ≤--.22.（1）曲线1C 的普通方程为22(2)(2)1x y -+-=，则1C 的极坐标方程为24cos 4sin 70ρρθρθ--+=，由于直线2C 过原点，且倾斜角为3π，故其极坐标为()3R πθρ=∈（或tan θ=） （2）由24cos 4sin 703ρρθρθπθ⎧--+=⎪⎨=⎪⎩得：22)70ρρ-+=，故122ρρ+=，127ρρ=，∴121211||||||||||||OA OB OA OB OA OB ρρρρ+++===23(1) 解集为{ 2 x x ≤-或}4x ≥；(2) 32a ≥-. （1）当3x ≥时， 226x -≥解得4x ≥.当13x -<<时， 46≥无解， 当1x ≤-时， 226x -+≥解得2x ≤-.∴()6f x ≥的解集为{ 2 x x ≤-或}4x ≥.（2）由已知311x x x x a a -++≥+-+-恒成立. ∴3x x a a -++≥-恒成立. 又33x x a x x a -++≥---= 33a a --=+. ∴3a a +≥-，解得32a ≥-. ∴32a ≥-时，不等式()()f x g x ≥恒成立。