§4 导数的四则运算法则
一、教学目标: 1.知识与技能
掌握有限个函数的和、差、积、商的求导公式;熟练运用公式求基本初等函数的四则运算的导数,能运用导数的几何意义,求过曲线上一点的切线。
2.过程与方法
通过用定义法求函数f (x )=x+x 2
的导数,观察结果,发掘两个函数的和、差求导方法,给结合定义给出证明;由定义法求f(x)=x 2g(x)的导数,发现函数乘积的导数,归纳出两个函数积、商的求导发则。
3.情感、态度与价值观
培养学生由特别到一般的思维方法去探索结论,培养学生实验——观察——归纳——抽象的数学思维方法。
二、教学重点:函数和、差、积、商导数公式的发掘与应用
教学难点:导数四则运算法则的证明 三、教学方法:探析归纳,讲练结合 四、教学过程
(一)、复习:导函数的概念和导数公式表。
1.导数的定义:设函数)(x f y =在0x x =处附近有定义,如果0→∆x 时,y ∆与x ∆的比x
y
∆∆(也叫函数的平均变化率)有极限即
x
y
∆∆无限趋近于某个常数,我们把这个极限值叫做函数)(x f y =在0x x →处的导数,记作0
/
x x y =,即x
x f x x f x f x ∆-∆+=→∆)
()(lim
)(000
0/
2. 导数的几何意义:是曲线)(x f y =上点()(,00x f x )因此,如果)(x f y =在点0x 可导,则曲线)(x f y =在点()(,00x f x )处的切线方程为
)(()(00/0x x x f x f y -=-
3. 导函数(导数):如果函数)(x f y =在开区间),(b a 内的每点处都有导数,此时对于每一个
),(b a x ∈,都对应着一个确定的导数)(/x f ,从而构成了一个新的函数)(/x f , 称这个函数)(/x f 为函数)(x f y =在开区间内的导函数,简称导数,
4. 求函数)(x f y =的导数的一般方法:
(1)求函数的改变量()(x f x x f y -∆+=∆(2)求平均变化率
x
x y ∆=
∆∆ (3)取极限,得导数/
y =()f x '=x y
x ∆∆→∆0lim
5.
常见函数的导数公式:0'=C ;1)'(-=n n nx x
(二)、探析新课
两个函数和(差)的导数等于这两个函数导数的和(差),即 证明:令)()()(x v x u x f y ±==,
)]
()([)]()([x v x u x x v x x u y ±-∆+±∆+=∆v u x v x x v x u x x u ∆±∆=-∆+±-∆+=)]()([)]()([,
∴
x v x u x y ∆∆±∆∆=∆∆,x
v x u x v x u x y x x x x ∆∆±∆∆=⎪
⎭⎫ ⎝⎛∆∆±∆∆=∆∆→∆→∆→∆→∆0000lim lim lim lim 即 )()()]()(['
'
'
x v x u x v x u ±=±. 例1:求下列函数的导数:
(1)x
x y 22
+=; (2)x x y ln -=
; (3))1)(1(2-+=x x y ; (4)
2
2
1x x
x y +-=。
解:(1)2ln 22)2()()2(2
2
x
x
x
x x x y +='+'='+='。
(2)x
x
x x x x y 121)(ln )()ln (-
=
'-'='-='。
(3)
[]
123)1()()()()1()1)(1(223232+-='-'+'-'='-+-='
-+='x x x x x x x x x x y 。
例2:求曲线x
x y
1
3-
=上点(1,0)处的切线方程。
解:()
22331311x x x x x x y +='⎪⎭
⎫ ⎝⎛-'='⎪⎭⎫ ⎝⎛-='。
将1=x 代入导函数得 41
1
13=+⨯。
即曲线
x
x y 13-
=上点(1,0)处的切线斜率为4,从而其切线方程为 )1(40-=-x y , 即44-=x y 。
设函数)(x f y =在0x 处的导数为)(0x f ',2)(x x g =。
我们来求)()()(2
x f x x g x f y ==在
0x 处的导数。
令0→∆x ,由于
2
0200
)(lim x x x x =∆+→∆
知)()()(2
x f x x g x f y ==在0x 处的导数值为)(2)(00020x f x x f x +'。
因此)()()(2x f x x g x f y ==的导数为)()()(22
x f x x f x
'+'。
一般地,若两个函数)(x f 和)(x g 的导数分别是)(x f '和)(x g ',我们有 特别地,当k x g =)(时,有 例3:求下列函数的导数:
(1)x
e x y 2
=; (2)x x y sin =
; (3)x x y ln =。
解:(1)x
x
x
x
x
x
e x x e x xe e x e x e x y )2(2)()()(2
2
2
2
2
+=+='+'='=';
(2)x x x
x x x x x x x y cos 2sin )(sin sin )()sin (+=
'+
'='=';
(3)1ln 1
ln 1)(ln ln )()ln (+=⋅-⋅='-'='='x x
x x x x x x x x y 。
例4:求下列函数的导数:
(1)x
x
y sin =; (2)x x y ln 2=。
解:(1)2
22sin cos 1sin cos )(sin )(sin sin x x x x x x x x x x x x x x x y -=⋅-⋅='⋅-⋅'='
⎪⎭⎫
⎝⎛='; (2)x
x x x
x x x x x x x x x x x y 2222222ln )1ln 2(ln 1
ln 2)(ln )(ln ln )(ln -=⋅
-⋅='
⋅-⋅='
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛='
(三)、练习:课本44P 练习:1、2. 课本46P 练习1.
(四)课堂小结:本课要求:1、了解两个函数的和、差、积、商的求导公式;2、会运用上述公式,求含有和、差、积、商综合运算的函数的导数;3、能运用导数的几何意义,求过曲线上一点的切线。
(五)、作业:课本47P 习题2-4:A 组2、3 B 组2
五、教后反思:
本节课成功之点:
(1) 从特殊函数出发,利用已学过的导数定义来求f (x )=x+x 2
的导数,观察结果,发
掘两个函数的和、差求导方法,给结合定义给出证明 (2) 由定义法求f(x)=x 2
g(x)的导数,发现函数乘积的导数,归纳出两个函数积、商的求
导发则。
(3) 通过上述的教学过程,让学生自己探索求法法则,总结出求导公式培养了学生由特
别到一般的思维方法去探索结论,培养学生实验——观察——归纳——抽象的数学思维方法。
不足之处:
学生做练习的时间太短,对于公式还没有时间去练习运用,这样有可能导致学生对积、商的导数公式不是很熟练掌握。