30x2 2x 1．
例3 设 y xsin xln x ，求 y 解 y (x)sin xln x x(sin x)ln x xsin x(ln x)
1 sin xln x xcos xln x xsin x 1 x
sin x ln x xcos x ln x sin x ．
cos2 x
cos2 x
即 (tan x) 1 sec2 x ． cos2 x
用同样方法可以得到 (cot x) 1 csc2 x． sin 2 x
练习一
1.求下列函数的导数：
(1) y 10x x10
(2) y x2
1 x
5cos
x
3log2
x
ln 4
(3) y 10x5 ln x
(2x
1)( x
3) (x2 (x 3)2
x
2)
1
x2 6x (x 3)2
5，
f (1) 12 6 1 5 1 ． (1 3)2 8
例5 设 y 5x3 2x 7 ，求 y x
解
先化简，得
5
1
1
y 5x2 2x2 7x 2
，
于是
y
5
5
3
x2
2
1
1
x2
7 ( 1)
x (3) y 5 x3 (4) y x5 4 x3 (5) y x 3 x
x
3.2.3 正弦函数的导数
设 y sin x ，则
y 于是
sin(
x
x)
sin
x
2sin
x 2
cos( x
x) 2
，
y 2sin x
x cos( x x)
2
2
x
cos(
x
x 2
)
sin x 2
x
，
2
所以
(4) y (1 2x2)sin x sin 2
(5) y x 1 x 1
2.求下列函数在指定点处的导数：
(1)
设f
(x)
(1
x 3 )(4
1 x2
),求f
(1)和f
(
1) 2
(2) 设y 1 x ,求y(4) 1 x
3.2.6 反函数的导数
5 2x 3 (3)x4 2x ln 2 4(sin x) 10x 9 2x ln 2 4sin x．
x4
2.乘积函数的导数
设函数 u(x)和 v(x)在点 x 处可导，则 y u(x) v(x) 在点 x 处也可导，且
(uv) uv uv ．
特别地，当其中有一个函数为常数 c 时， 则有
设 y x10 ，y 3
x
，y
1 x
，y 1 4 x3
解 由幂函数的求导公式得
(x10) 10x9；
(3
x)
(
1
x3
)
1 3
x 32
1 33 x2
；
(1) (x1) (1)x2 1 ；
x
x2
(
1
)
3
(x 4 )
( 3)
7
x4
3
．
4 x3
4
44 x7
练习一 求下列函数的导数：
(1) y x7 (2) y 1
3
x2
2
2
2
25
3
x2
1
x2
7
3
x2
2
2
1 (25x3 2x 7) ． 2 x3
例6 求 y tan x 的导数．
解 因为 y sin x ，所以 cos x
y (sin x)cos x sin x(cos x) (cos x)2
cos2 x sin 2 x 1 sec2 x ，
loga
x
x x
loga
(1
x) x
，
于是
y x
loga (1 x
x) x
x xx
loga
(1
x) x
1 x
loga
(1
x
)
x x
x
，
所以
lim
x0
y x
lim[1 x x0
loga
(1
x
)
x x
x
]
1 x
loga
lim
x0
(1
x
)
x x
x
1 x
log
aeΒιβλιοθήκη 1 x lna，
即
(log a
x)
1 x ln
a
．
特别地，当a e时，因为 ln e 1，所以有
(ln
x)
1 x
．
例5 设 y log2 x ， 求 y．
解 因为 a 2 ，由公式，可得
(log2
x)
1 xln 2
．
指数函数的导数
设 y ax (a 0,a 1)，则 (ax ) ax ln a．
特别地，当 a e 时，因为 ln e 1，有
lim
x0
y x
lim [cos( x
x0
x) 2
sin x
2 x
]
2 cos x 1 cos x，
即
(sin x) cos x ．
类似地可以得到
(cos x) sin x．
3.2.4 对数函数的导数
设 y loga x (x 0,a 0,a 1) ，则
y loga (x x) loga x
3.2.5 函数的和、积、商的导数
1.代数和函数的导数
设函数 u(x)和 v(x)在点 x 处可导，则 y u(x) v(x) 在点 x 处也可导，且
(u v) u v ． 例1 设 y 5x2 3 2x 4cos x， 求 y．
x3 解 y 5(x2) 3(x3) (2x ) 4(cos x)
3.函数商的导数
设函数 u(x)和 v(x)在点 x 处可导，且，
v(x) 0 ，则 y u(x) 在点 x 处也可导，且 v(x)
(u) uv uv .
v
v2
(2.2.5)
推论
c v
cv v2
1 v
v v2
例4 已知 f (x) x2 x 2 , 求 f (1)． x3
解 f (x) (x2 x 2)(x 3) (x2 x 2)(x 3) (x 3)2
3.2.1 常值函数导数
设 y c( c 为常数)，
y c c 0 ，
于是
y x
0 x
0
，
所以
c lim y 0 ． x0 x
即常值函数的导数为零．(C) 0
3.2.2 幂函数的导数
设幂函数 y x ( 为实数 )
即
y ( x ) x1
我们将在下一节给出上式证明
例4 求 y．
(cu) cu．
上面的公式对于有限多个可导函数成立， 例如：
(uvw) uvw uvw uvw．
例2 设 y (1 2x)(5x2 3x 1)， 求 y． 解 y (1 2x)(5x2 3x 1)
(1 2x)(5x2 3x 1) 2(5x2 3x 1) (1 2x)(10x 3)
(ex ) ex ．
例6
设 y1
10x，y2
2x 3x
，求 y1 ， y2 ．
解
在
y 中，因为 1
a
10 ，由公式得
y1 (10x ) 10x ln10 ；
而
y2
2x 3x
(2) 3
x
，a
2 3
，由公式得
[(2)x ] (2)x ln 2 (2)x (ln 2 ln3) ．
3
3 33