数学
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给处的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设集合{}{}0,1,2,0,1M N ==，则M N =I ( ) A ．{}2 B ．{}0,1 C ．{}0,2 D ．{}0,1,2 2. 不等式的解集是( )
A ．x<3
B ．x>－1
C ．x<－1或x>3
D ．－1<x<3 3．已知函数()22x f x =+，则(1)f 的值为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．6 4. 函数12+-=x y 在定义域R 内是( )
A. 减函数
B. 增函数
C. 非增非减函数
D. 既增又减函数
5. 设 1.5
0.90.4814,8,2a b c -⎛⎫
=== ⎪
⎝⎭
，则,,a b c 的大小顺序为 （ ）
A 、a b c >>
B 、a c b >>
C 、b a c >>
D 、c a b >>
6.已知a (1,2)=，b (),1x =，当2a +b 与2a -b 共线时，x 值为（ ） A. 1 B.2 C .
13 D.12
7. 已知｛a n ｝为等差数列，a 2+a 8=12,则a 5等于（ ） A.4 B.5
C.6
D.7
21<-x
8．已知向量a (2,1)=，b (3,)λ=，且a ⊥b ，则λ=（ ） A ．6- B ．6 C ．
32 D ．32
- 点)5,0(到直线x y 2=的距离为(
) A ．2
5
B ．5
C ．
2
3 D ．
2
5
10. 将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每
个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有 ( ) A ．12种 B ．10种 C ．9种
D ．8种
二、填空题：本大题共3小题，每小题4分，共12分
11．（2015•四川）设f （x ）是定义在R 上的周期为2的函数，当x ∈[﹣1，1）时，f （x ）=，则f （）= _________ ．
12．（2015•四川）如图，从气球A 上测得正前方的河流的两岸B ，C 的俯角分别为67°，30°，此时气球的高是46m ，则河流的宽度BC 约等于 _________ m ．（用四舍五入法将结果精确到个位．参考数据：sin67°≈0.92，cos67°≈0.39，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，
≈1.73）
13．（2015•四川）设m ∈R ，过定点A 的动直线x+my=0和过定点B 的动直线mx ﹣y ﹣m+3=0交于点P （x ，y ）．则|PA|•|PB|的最大值是 _________ ．
三、解答题：本大题共3小题，共38分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
14.（本小题12分）设数列{}n a 的前n 项和12n n S a a =-，且123,1,a a a +成等差数列。

（1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）记数列1
{}n a 的前n 项和n T ，求得使1|1|1000
n T -<成立的n 的最小值。

15.（本小题满分13分）
一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示，在正方体中，设BC 的中点为M ，GH 的中点为N 。

（I ）请将字母标记在正方体相应的顶点处（不需说明理由） （II ）证明：直线//MN 平面BDH （III ）求二面角A EG M --余弦值
16.（本小题13分）如图，椭圆2
2
2
2
:
1+
=x y E a b
的离心率是
2
，过点(0,1)P 的动直线l 与椭圆相交于,A B 两点。

当直线l 平行于x 轴时，直线l 被椭圆E 截得的
线段长为。

（1） 球椭圆E 的方程；
（2） 在平面直角坐标系xoy 中，是否存在与点P 不同的定点Q ，使得=
QA PA
QB PB
恒成立？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由。

G
F
H
E
C D
A B
11.
解
答： 解：∵f（x ）是定义在R 上的周期为2的函数，
∴
=1．
故答案为：1．
12.
解
答： 解：过A 点作AD 垂直于CB 的延长线，垂足为D ， 则Rt△ACD 中，∠C=30°，AD=46m
∴CD=
=46
≈79.58m．
又∵Rt△ABD 中，∠ABD=67°，可得BD==
≈19.5m
∴BC=CD﹣BD=79.58﹣19.5=60.08≈60m 故答案为：60m
13.
解
答： 解：有题意可知，动直线x+my=0经过定点A （0，0），
动直线mx ﹣y ﹣m+3=0即 m （x ﹣1）﹣y+3=0，经过点定点B （1，3），
注意到动直线x+my=0和动直线mx ﹣y ﹣m+3=0始终垂直，P 又是两条直线的交点，
则有PA⊥PB，∴|PA|2+|PB|2=|AB|2=10． 故|PA|•|PB|≤=5（当且仅当
时取“=”）
故答案为：5
三、解答题
14. 解：（1）当2n ≥时有，11112(2)n n n n n a S S a a a a --=-=---
则12n n a a -=(2)n ≥
1
2n
n a a -= （2n ³） 则{}n a 是以1a 为首项，2为公比的等比数列。

又由题意得21322a a a +=+1112224a a a ⇒⋅+=+12a ⇒= 则2n n a = *()n N ∈ （2）由题意得
11
2
n n a = *()n N ∈ 由等比数列求和公式得11[1()]
12
21()1212
n n n T -==-- 则2111-=()22n n T （）-= 又Q 当10n =时， 10911=1024=51222
（），（） 1
11000
n T ∴-<
成立时，n 的最小值的10n =。

点评：此题放在简答题的第一题，考察前n 项和n S 与通项n a 的关系和等比数列的求和公式，难度较易，考察常规。

可以说是知识点的直接运用。

所以也提醒我们在复习时要紧抓课本，着重基础。

15.
【答案】
（I ）直接将平面图形折叠同时注意顶点的对应方式即可 如图
（II ）
连接BD ，取BD 的中点Q ，连接MQ
因为M 、Q 为线段BC 、BD 中点，所以////MQ CD GH 且11
22
MQ CD GH ==
又因N 为GH 中点，所以1
2
NH GH =
得到NH MQ =且//NH MQ 所以四边形QMNH 为Y 得到//QH MN 又因为QH ⊂平面BDH 所以//MN 平面BDH （得证） （III ）
连接AC ，EG ，过点M 作MK AC ⊥，垂足在AC 上，过点K 作平面ABCD 垂线，交EG 于点L ，连接ML ，则二面角A EG M MLK --=∠ 因为MK ⊂平面ABCD ，且AE ABCD ⊥,所以MK AE ⊥
Q
L
K
M
H N G
E F
D C
A B
又AE ，AC ⊂平面AEG ,所以MK ⊥平面AEG
且KL AEG ⊂，所以MK ⊥KL ，所以三角形MKL 为RT ∆ 设正方体棱长为a ，则AB BC KL a ===， 所以2
a MC =
， 因为45MCK ∠=︒，三角形MCK 为RT ∆
，所以cos 454
MK MC =∠︒=
所以4tan 4MK MLK KL a ∠===
，所以cos 3MLK ∠=
所以cos cos 3
A EG M MLK <-->=∠=
16.
【答案】
解：（1
）由题知椭圆过点
)。

得
22222221
1⎧==⎪
⎪
⎪+=⎨⎪⎪=+⎪⎩
c e a a b a b c
解得：2,===a b c 所以，椭圆方程为：22
142
+
=x y 。

(2)假设存在满足题意的定点Q 。

当直线l 平行于x 轴时，1==QA PA
QB PB
，,A B 两点关于y 轴对称，得Q 在y 轴上。

不妨设()0,Q a
当直线l 为y
轴时，
1=
=≠QA PA a QB
PB 。

解得2=a
下证对一般的直线:1=+l y kx ，()0,2Q 也满足题意。

由
=
QA PA
QB PB
得y 轴为∠AQB 的角平分线。

所以=-QA QB k k 。

不妨设()()1122,,,A x y B x y
11221,1=+=+y kx y kx
1212
22--=-y y x x ，化简得12122=+kx x x x ① 又椭圆方程与直线方程联立得：
22
1
24
=+⎧⎨+=⎩y kx x y ，()2212420++-=k x kx 121222
42
,1212-+=-
=++k x x x x k k
带入①得成立。

故假设成立。

综上存在点满足题意。