Q RX (t1 , t2 ) =
k1 , k2 ∈ ε X
∑
∑k ⋅k
1
2
⋅ P{ X (t1 ) = k1 , X (t2 ) = k2 }
一次结果中，决不会发生t1时刻的状态在ζ3上取值，而到t2时 刻的状态在ζ4上取值。k1,k2不在一条样本上，此情况发生的概率 为0。即P{X(t1)=k1,X(t2)=k2} =0。 由于一次试验结果只有一 个样本出现，若此次样本ζ3出现，则t1时刻的状态必在ζ3上取值， 且t2时刻的状态必还在ζ3上取值。 k1,k2必在一条样本上，此情况 发生的概率为1/4。 P{X(t1)=k1,X(t2)=k2} = 1/4。 ←样本ζi发生的概率。
∫
∞
−∞
x ⋅ f X ( x, t )d χ = mX (t )
mx(t) 描述了X(t)所有样本函数在各个时刻摆动的中心－－即 在各个时刻摆动的中心 X(t)在各个时刻的状态(随机变量)的数学期望。
X (t ) 0
t1
m X (t1 )
m X (t i )
t m X (t )
ti
二、随机过程X(t)的均方值和方差 同理，把过程X (t)中的t视为固定时， X(t)为时刻t的状态（随机 变量）。其二阶原点矩：
例1、设随机过程X(t)=U·t，U在(0,1)上均匀分布，求E[X(t)]， D[X(t)]，Rx(t1,t2)，Cx (t1,t2)。
⎧1， Q fU (u ) = ⎨ ⎩0，
解：
0 ≤ u ≤1 其它
∞ 1
t ∴ E[ X (t )] = E[U ⋅ t ] = t ⋅ E[U ] = t ⋅ ∫ ufU (u )du = t ⋅ ∫ udu = 0 －∞ 2 2 RX (t1 , t2 ) = E[ X (t1 ) X (t2 )] = E[U ⋅ t1 ⋅ U ⋅ t2 ] = t1 ⋅ t2 ⋅ E[U ] t1 ⋅ t2 = t1 ⋅ t2 ⋅ ∫ u ⋅ fU (u )du = t1 ⋅ t2 ⋅ ∫ u du = −∞ 0 3 t1 ⋅ t2 t1 t2 t1 ⋅ t2 − ⋅ = C X (t1 , t2 ) = RX (t1 , t2 ) − m(t1 ) ⋅ m(t2 ) = 2 2 12 3 2 t D[ X (t )] = C X (t , t ) = 12
FX (x1, x2 ;t1, t2 ) = P{X (t1 ) ≤ x1; X (t2 ) ≤ x2}......... ......... t1, t2 ∈T
随机过程X(t) 二维概率密度：
∂ FX ( x1 , x 2 ; t1 , t 2 ) f X ( x1 , x 2 ; t1 , t 2 ) = ∂x1∂x 2
∴ RX (t1 , t2 ) =
ζi ∈Ω
∑
k1 ⋅ k2 ⋅ Pζ i
1 = (1× 5 + 2 × 4 + 6 × 2 + 3 × 1) =1) 与X(t2)之间的“相关程度”。 状态X(t1) 与X(t2)之间的相关程度也可以用自协方差函数来描 述：
C X (t1 , t2 ) = E{[ X (t1 ) − m X (t1 )] ⋅ [ X (t2 ) − m X (t2 )]} =∫
∞ −∞ −∞
∫
X (t)
Y(t)
σ X (t)
mX (t) t
σY (t)
mY (t) t
0
t1 t2
0
t1 t2
一般用来描述随机过程“任意两个时刻的两个状态之间内在联系” 的重要数字特征 ——自相关函数定义为：
RX (t1 , t2 ) = E[ X (t1 ) X (t2 )] = ∫
∞
−∞ −∞
∫
∞
x1 ⋅ x2 ⋅ f X (x1 , x2 ; t1 , t2 )dx1 x2
∞ 2 1 2
例2 若一随机过程由下图所示的四条样本函数组成，而且每条样 本函数出现的概率相等，求RX (t1, t2) 。 解：由题意可知，随机过程X(t)在 t1, t2 两个时刻为两个离散随机 变量。所以可列出联合分布率如下：
X(t1) X(t2) Pζi ζ1 ζ2 ζ3 ζ4 1 2 6 3 5 4 2 1 1/4 1/4 1/4 1/4
∞
[ x1 − m X (t1 )] ⋅ [ x2 − m X (t2 )] ⋅ f X ( x1 , x2 ; t1 , t2 ) dx1 x2
C X (t1 , t2 ) = RX (t1 , t2 ) − m X (t1 ) ⋅ m X (t2 ) t1 = t2 = t时， RX (t , t ) = E[ X 2 (t )] ⇐ 过程的均方值。 C X (t , t ) = D[ X (t )] = σ X 2 (t ) ⇐ 过程的方差。
2 −∞
过程X(t)的均方差：
D[ X (t)] = σ X (t ) = σ X (t )
2
对离散型随机过程Y(t),t∈T,若所有状态取值的样本空间为 Ω＝{y1,y2,…,ym}。可用利δ函数表示其一维概率密度。 m 即： i∈I={1,…,m}
f Y ( y; t ) =
∑p
i =1
i
( t )δ ( y − y i )
i =1
三、随机过程的自相关函数 下面两个随机过程 X(t)， Y(t) 它们的期望和方差都相同， mx(t)=my(t)，σx(t)= σy(t)。但从样本函数看有明显不同。χ(t)随时 间变化慢，不同时刻的两个状态X(t1),X(t2)之间的依赖性强（相关 性强）。y(t)随时间变化快，不同时刻的两个状态Y(t1),Y(t2)之间 的依赖性弱（相关性弱）。因此期望和方差不能反应过程内部变 化快慢、相关性强弱的状况。 化快慢、相关性强弱的状况
∫
∞
−∞
⋅ ⋅ ⋅ ∫ f X ( x1 , x2 ,..., xn ; t1 , t 2 ,..., t n )dx1dx2 ...dxn = 1
−∞
∞
5)
∫
∞
−∞
⋅⋅⋅ ∫
∞
−∞
f X ( x1 , x2 ,..., xn ; t1 , t 2 ,..., t n )dxm +1dxm + 2 ...dxn
E [ X ( t )] =
2
∫
∞
∞ −∞
x f X ( x , t ) dx
2
将t视为变量时，即为过程X (t)的均方值。 同理，过程X(t)的方差：
D[ X (t )] = E{[ X (t ) − mX (t )] } = ∫ [ x − mX (t )]2 ⋅ f X ( x, t )dx =σ X 2 (t )
6）如果X(t1), X(t2),…X(tn)统计独立，则有
= f X ( x1 , x2 ,..., xm ; t1 , t 2 ,..., t m )
f X ( x1 , x2 ,..., xm ; t1, t2 ,..., tm ) = f X ( x1 , t1 ) f X ( x2 , t2 )... f X ( xn , tn )
三、随机过程X(t) 的n维概率分布 随机过程X(t)在任意n个时刻t1,t2,…,tn状态X(t1)、X(t2)、…、X(tn) 构成n维随机变量[ X1,X2,…,Xn] 。用类似上面的方法，我们可以定 义随机过程X(t)的n维分布函数为：
F X ( x1 , x 2 ,..., x n ; t1 , t 2 ,..., t n ) = P{ X (t1 ) ≤ x1 , X (t 2 ) ≤ x 2 ,..., X (t n ) ≤ x n }
随机过程的统计特性—数字特征
1.随机过程的概率分布
X (t )
X (t1 ) M M
X (t2 ) L L X (ti ) L L X (tn ) M M t2 L L M M ti L L M M tn t
0
t1
随机过程X(t)在任意n个时刻t1,t2,…,tn状态X(t1) ,X(t2) ,…,X(tn)构成 n维随机变量[ X(t1),X(t2),…,X(tn) ]，当Ut→0,n →∞时的 n维随机 变量近似随机过程。因此，可以借用对n维随机变量的分析研究来 “替代”或“近似”对随机过程的分析研究。 一、随机过程的一维分布 随机过程X(t)在任一固定时刻t1∈T，其状态是一维随机变量， 其分布函数 FX ( x; t1 ) = P{ X (t1 ) ≤ x}
其中
pi (t ) = P{Y (t ) = yi } 表示t时刻状态Y(t)取值为yi的概率。
mY (t ) = ∫ y ∑ pi (t )δ ( y − yi )dy = ∫
−∞ i =1 m ∞ −∞ ∞ m ∞
故离散型随机过程Y(t)的数学期望为：
−∞ m
∑ p (t ) y δ ( y − y )dy
2
同多维随机变量一样，随机过程X(t)的n维概率分布具有下列主要 性质： 1） FX ( x1 , x2 ,...,−∞,..., xn ; t1 , t 2 ,..., ti ,..., t n ) = 0 2） FX (∞, ∞,..., ∞; t1 , t 2 ,..., t n ) = 1 3） f X ( x1 , x2 ,..., xn ; t1 , t 2 ,..., t n ) ≥ 0 4）
FX (x1, x2 ;t1, t2 ) = P{X (t1 ) ≤ x1; X (t2 ) ≤ x2}......... ......... t1, t2 ∈T 随着(t1, t2)的变化， FX ( x1 , x 2 ; t1 , t 2 ) 可以表示随机过程X(t)
在整个时间段T上，任意两个时刻的状态的联合概率分布情况。 所以定义随机过程X(t) 二维分布函数：