于是可知, 对任意s,t 0,协方差函数可用方差函数表示为
CX s,t DX mi.计数过程:以N t,t 0表示在时间间隔0,T 内出现的质点
数.Nt,t 0是一状态取非负整数,时间连续的随机过程,
称为计数过程.
记成
2.泊松过程: 将增量Nt Nt0 Nt0,t,0 t0 t,它表示
•由定义即知该过程为一随机过程。
4. 随机过程的分类
(a) 随机过程可依其在任一时刻的状态是
连续型随机变量或离散型随机变量
而分成连续型随机过程或离散型随机过程；
(b) 随机过程还可依时间（参数）是连续或 离 散进行分类。
当时间集T是有限或无限区间时，相应 的随机过程为连续参数随机过程，
当T是离散集合时，相应的随机过程为 离散参数随机过程或随机序列
记Y t X t X t. 首先注意,当X t 具有独立增量时,Y t 也具有独立增量;
其次Y0 0, EYt 0,且方差函数DY t E Y 2t DX t.
故当0 s t时,就有:
C X s,t EY sY t
EYsY0YtYsYs
EYsY0EYtYs EY 2s
DX s.
1 t 0tPk t 0 , t t 0tPk1 t 0 , t 0tk 1
将此式适当整理后,两边除以t,并令t 0,
就可得到Pk t0 ,t 满足的微分 差分方程:
dPk t0
dt
,
t
Pk
t0
,
t
Pk
1 t0
,
t
3
又因N t0 ,t0 0,故有初始条件Pk t0 ,t0 , k 1 4
(b)对固定的 S, X t, 是一个仅依赖于 的函数；
在本书中随机过程定义为一依赖于参数 t T （T是一无
限实数集）的一族（无限多个）随机变量。
2. 随机过程的状态与状态空间
状态 : 若t为时间,则X t,称为随机过程在t时刻的状
随机过程的
态, 而X
t1 ,
x说成是在时刻t
t1过程处于状态x.
W t X t Y t Z t,
RWW t1, t2
EW t1W t2
RXX t1,t2 RXY t1,t2 RXY t1,t2 RYX t1,t2 RYY t1,t2 RYZ t1,t2 RZX t1,t2 RZY t1,t2 RZZ t1,t2
*
说明: 1*式表明几个随机过程之和的自相关函数可以表示
现以t除上式两边,并令t 0,即得P0 t0,t满足的微分方程
dP0 t0
dt
,
t
P0
t0
,
t
2,因为N t0,t0 0,故P0 t0,t0 1.
把它看作初始条件即可从方程2解得P0 t0,t ett0 ,t t0.
10.3.5Pk t0 , t 的计算
根据和事件概率公式和条件10 ,
第十章 随机过程及其统计描述
§1 随机过程的概念 §2 随机过程的统计描述 §3 泊松过程及维纳过程 本章小结
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§1 随机过程的概念
1. 随机过程的定义 随机过程{x(t, w),t T, w S}实际上是一个定义在一 实数集T和一样本空间S上的二元可测函数，它满足 两个基本的条件：
(a)对固定的 t T, X t,是一个随机变量；
3 特别地,令t1 t2 t,由2式可得的方差
此处即均方值函数为
2 W
t
2 W
t
2 X
t
2 Y
t
2 Z
t
.
back
10.3.1 泊松过程
独立增量过程: 给定二阶矩过程X t,t 0,随机变量X t X s,0 s t为
随机过程在区间s, t 上的增量.
如果对任意选定的正整数n和任意选定的0 t0 t1 t2 tn ,
...,tm' 是T中任意两组实数, n m维随机变量的分布函数
F x1,..,xn ;t1,...,tn ; y1,...,ym;t1' ,...,tm' , xi , yi R,
i 1,2,...,n, j 1,2,...,m.
3二维随机过程的数字特征 :
a互相关函数: RXY t1,t2 EX t1X t2 ,t1,t2 T,
时间间隔t0 , t 内出现的质点数."在t0 , t 内出现k个质
点",即Nt0,t k是一事件,其概率记为Pk t0,t PNt0,t k, k 0,1,2,.现假设Nt满足如下条件:
10 在不相重叠的区间上增 量具有独立性 ;
20 对于充分小的t :
P1t,t t PN t,t t 1 t 0t,
n个增量X t1 X t0 , X t2 X t1,...,X tn X tn1 相互独立,则称X t,t 0为独立增量过程.
说明: 1独立增量过程具有“在互不重叠的区间上状态的
增量是相互独立的”这一特征;
2在X 0 0的条件下它的有限维分布函数族可以由 增量X t X s的分布所确定;
3特别,若对任意的实数h和0 s h t h, X t h X s h 与X t X s具有相同的分布,则称增量具有平稳性.
b互协方差函数: CXY t1,t2
EX t1 X t1Y t2 Y t2
RXY t1,t2 X t1 y t2 ,t1,t2 T.
若CXY t1,t2 0,则称随机过程 X t和Y t是不相关的.
10.2.8 三个随机过程之和的统计特性
设X t,Y t, Zt是三个随机过程 ,令W t X tY t Zt,则
状态空间: 对所有t T , S, X t,可能取值的全体.
3. 随机过的举例说明
例1抛掷一枚硬币的试验，样本空间是 S H,T, 现
以此定义
Xt,
cos
t
t, ,
H T
t , 其中 PT PH 1
2
试问：以此定义的过程Xt,,t T, S 是否为一随机过程？
解：显然（1）对固定的S，Xt, 是一个仅依赖于 t
如果对每一个t T,二阶矩E X 2 t2 都存在.
2.5.随机过程数字特征的计 算问题;
例1设A, B是两个随机变量.试求随机过程
X t At B,t T ,的均值函数和 自相关函数如果A, B相互独立且A ~ N 0,1, B ~ U 0,2, 问X t的均值函数和自相关函数是怎样的?
的泊松过程, 相应的质点流或质点 出现的随机时刻t1, t2 ,称作为强度为的泊松流
10.3.4 泊松过程的分布律
由题设有 Pk t0 , t 1,结合条件 20 和30 , 有 k 0 P0 t,t t 1 P1t,t t Pk t,t t k 2 1 t 0t.(1)
假设t 0, 则i当k 0时, 有
5自协方差函数, 简称协方差函数:
CXX t1,t2 CovX t1 , X t2 EX t1 X t1 X t2 X t2
简记为CX t1, t2 .
随机过程数字特征之间 的关系 :
1
2 X
t
RX
t,
t
;
2CX
t1,
t2
RX
t1,
t2
X
t1
X
t2
;
3
2 X
t
CX
t,
t
2 X
t
.
2.4.二阶矩过程:随机过程X t,t T,
这时,增量X t X s的分布函数实际上只依赖于
时间差t s0 s t,而不依赖于t和s本身事实上,令h s.
当增量具有平稳性时称相应的独立增量过程是齐次或时齐的.
10.3.2已知条件下独立增量过程的协方差
本节将在X 0 0和方差函数DX t为已知的条件下计算独 立增量过程X t,t 0的协方差函数CX s,t.
其中常数 0称为过程
N t 的强度,而0t 当t 0时是关于t的高阶无穷小;
30 对于充分小的t, Pj t,t t PN t,t t j
0t , 亦即对于充分小的t, 在t, t t出现2个或2个
以上质点的概率与出现一个质点的概率相比可以忽 略不计;
40 N 0 0. 满足条件10 ~ 40的计数过程N t ,t 0称强度为
函数族。 一维分布函数族作用：刻画了随机过 程在各个个别时刻的统计特性。
2.2 随机过程的n分布函数族：
FX x1, x2,...,xn;t1,...,tn PX t1 x1, X t2 x2,...,X tn xn,
xi R,i 1,2,...,n
对于固定的 n，称 FX x1, x2,..., xn;t1,t2,..., tn ,ti T
有PN t0,t t k PN t0,t N t,t t k
k
PNt,t t jPNt0,t k j, j0
再由10 ~ 40 及
Pk t0 , t t Pj t, t t 0t k 2, j2
上式可表示成
k
Pk t0 , t t Pj t, t t Pk j t0 , t j 0
为各个随机过程的自相关函数以及各对随机过程的互相关函 数之和;
2如果上述三个随机过程是两两不相关的,且各自的均值函数 都为零,则由*式可知诸相关函数均等于零,此时W t的自相关
函数简单地等于各个过程的自相关函数之和,即
RWW t1, t2 RXX t1,t2 RYY t1,t2 RZZ t1,t2
P0 t0 , t t PN t0 , t t 0 PN t0 , t N t, t t 0 PN t0 , t 0, N t, t t 0,
由条件10 和1式上式可写成 P0 t0 , t t PN t0 , t 0PN t, t t 0