三、几何意义：
a b 可以表示为从向量 b的终点指向向量 a 的终点的向量
注意：（1）起点必须相同。（2）指向被减向量的终点。 （1）如果从 a 的终点指向 b 终点作向量，所得向量是什么呢？
（ 三 A 角 形 法 则 ）
练习：
（2）当
b 共线时，怎样作 a b 呢？ a， (3) BC BA AC (4) OD OA AD B a OA b OB O A (5) OA OB BA a b BA B O A
2.2.1 向量加减法运算 及其几何意义
一、创设情景
活动一：
（1）
A
B
C
AB+BC=AC
（2）
C
A
C
B
AB+BC=AC
（3）
求 两 个 向 量 和 的 运 算 ， 叫 做 向 量 的 加 法
AB+BC=AC
A B
上述分析表明：两个向量可以相加，并 且两个向量的和还是一个向量
向量加法的三角形法则：
b a (1) AB AD DB (2) BA BC CA
例3 已知向量
a, b, c, d ，求作向量 a b ， c d。
a b
b a d
cd
c
B A
D
a
b
d
C
c
O
作法：
在平面内任取一点O， 作 OA a, OB b,
则
OC c, OD d ,
BA a b
D
解：
A
B
（1）如图所示， AD表示船速， AB表示水速， 以AD、AB为邻边作 ABCD, 则 AC表示 船实际航行的速度.
例2.长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮船进行运输， 如图所示，一艘船从长江南岸A点出发，以 2 3 km/h的速度向 垂直于对岸的方向行驶，同时江水的速度为向东2km/h. （1）试用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度； （2）求船实际航行的速度的大小与方向（用与江水速度的夹 角来表示）。
a
＜
思考3：如图，当在数轴上两个向量共线时，如何作出两个
向量的和？他们的大小关系呢？
a
b
A （ 1） B C
a
b
（ 2）
ab
C
ab
A
B
若 若
方向相同时，则 方向相反时，则
综合以上探究我们可得结论：
= =
|a|-|b|(或|b|-|a|)
| a b || a | | b |
思考2:数的加法满足交换律和结合律，即对任意a, b R ，
有
a b b a, (a b) c a (b c).
那么对任意向量 a, b 的加法是否也满足交换律和结合律？ D 请画图进行探索。
B
a
C
abc
bc
c
C
b
O
ab b
A A
a
ab
a
b
ab ba
(a b) c a (b c).
例2.长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮船进行运输， 如图所示，一艘船从长江南岸A点出发，以 2 3 km/h的速度向 垂直于对岸的方向行驶，同时江水的速度为向东2km/h. （1）试用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度； （2）求船实际航行的速度的大小与方向（用与江水速度的夹 角来表示）。 C
D
C
b
AC a b DB a b
变式一 变式二 本例中，当
a b a b ?
A
a
B
本例中，当 满足什么条件时， a ,b 互相垂直？ a 与 b a b a b
a满足什么条件时， ,b
a与b互相垂直
a+ b = b+ a (a + b) + c = a + (b + c )
a b。
b
a
A
b a
O
B
ab
三角形法则
例题讲解：
例1.如图，已知向量 a, b ，求作向量
作法2：在平面内任取一点O， OB b ， 作 OA a ， 以 OA、OB为邻边作 OACB
a b。
b
a，
连结OC，则 OC OA OB a b.
A
a
O
ab
C
b
平行四边形法则
向量的减法运算及其几何意义
回顾： （1）你还能回想起实数的相反数是怎样定义的吗？
实数
思考（2）两个实数的减法运算可以看成加法运算吗？ 如设
：
a 的相反数记作 a 。
x, y R , x y x ( y )
如何定义向量的减法运算呢？
2.2.2 向量的减法运算及其几何意义
一、相反向量：
你能利用我们学过的向量的加法法则作出 a (b) 吗？
设
AB b, AC a AE a (b) a b 又 b BC a 所以 BC a b
B
a b
b
A
a
D
C
b
a b
E
不借助向量的加法法则你能直接作出
a b 吗？
一般地
a
O
a
a b
b
B
b
解： (2)在Rt ABC中， | AB | 2,| BC | 2 3
D
C
| AC | | AB |2 | BC |2
22 (2 3) 2 4
CAB 60 .
2 3 tan CAB 3 2
A
B
答：船实际航行速度为4km/h,方相同，连接终点，指向被减向量的终点。 注意：
练习：已知向量 a, b，求作向量 a b
（1） （2）
。
a a
a b
b
b
a b
（ 4）
（3）
a b a
b
a
b
a b
例4 在 ABCD 中， AB a, AD b, 你能用 a , b表示 AC, DB 吗？
a b
C
B A 已知非零向量 a 、 b , 在平面内任取一点A，作 AB a, BC b,
则向量 AC叫做 a与b的和，记作 a b, 即 a b AB BC AC 这种求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则。
活动二：成语接龙
鸿鹄之志
志同道合
合二为一
一心一意
向量加法的三角形法则的特点： 加法 向量加法的三角 形法则 连接 首尾相连
C
指向 首指尾
A
B
AB+BC=AC
尝试练习一：
根据图示填空：
E
D
AC AB BC _____
BC CD _____ BD
C
A
AD AB BC CD _____ AE AB BC CD DE _____
B
思考1 ？
向量的加法可以用三角形法则计算，那么还 有别的法则可以计算向量的加法吗？
知识回顾
1.向量、零向量、平行向量、相等向 量的含义分别是什么？ 2.如何表示向量？
A B
在以前的学习中我们知道数能进行运算，那么，与数的运 算类比。向量是否也能进行运算呢？ 今天我们将一起学习向量的线性运算的第一节。向量的 线性运算指的哪些运算呢？
向量的加法、减法、数乘运算以 及他们之间的混合运算
向量的减法
一、定义（利用向量的加法定义）。 二、几何意义（起点相同，由减向量的终点 指向被减向量的终点）。
设向量 a ，我们把与 a 长度相同，方向相反
的向量叫做 a 的相反向量。 记作：
规定： （1） 的相反向量仍是 0 。 0
a
(a) a （2） a (a) 0 (a) a 0 （3）设 a , b 互为相反向量，那么
a b, b a, a b 0
二、向量的减法： a b a (b)
向量加法的平行四边形法则：
B C
b
O
ab
A
起 点 相 同
a
同 起 点 的 对 角 线
以同一点O为起点的两个已知向量 a、 b为邻边作 OACB, 则以O为起点的对角线OC就是a与 b 的和a b, 即 a b OA OB OC 这种求向量和的方法，称为向量加法的平行四边形法则。
B
尝试练习二：
已知向量 a、 ，用向量加法的三角形法则和平行四边形法 b 则作出 a b
①
b
a
②
b
a
由例1可知：
当向量 a、 b 不共线时，和向量的长度 | a b | 与向量
a、 b 的长度和 | a | | b |之间的大小关系如何？
ab
b
三角形的两边之和大于第三边
当向量 不共线时，则
思考2 ？
1.如何求
0
与任一向量 a 的和？
规定：a + 0 = 0 + a = a 2.向量加法的三角形法则与平行四边 形法则有什么区别与联系？
三 角 形 法 则: B
b
平行四边形法则: C B C
b b
A O
a
O
a
例题讲解：
例1.如图，已知向量 a, b ，求作向量
作法1：在平面内任取一点O， 作 OA a ，AB b ， 则 OB a b