e Vc eBiV FoV
0
方程中指数的单位：
物体中的 温度呈指 数分布
hA
W m2K
m
2
w1
Vc
kg m3
[
m3
]
J kgK
J
s
3-2 集 总 参 数 法
即与
1 的量纲相同，当
Vc
时，则
hA
hA
1 Vc
此时，
e1 36.8%
0
上式表明：当传热时间等于 Vc 时，物体的过余温
3-1 概 述
t1
H
G
F
t0
A
温度场的特征（三个阶段）：
E B CD
1) 不规则情况阶段：温度变化从边界面逐渐地深入
到物体内，温度分布受初始温度分布的影响很大。
2）正常情况阶段（正规状况阶段）：初始温度分布
影响消失，物体内各处温度随时间的变化率具有一
定的规律。温度分布主要取决于边界条件及物性。
3）建立新的稳态阶段：温度分布不再随时间变化。
第三章 非稳态导热
１ 重点内容： ① 非稳态导热的基本概念及特点； ② 集总参数法的基本原理及应用； ③ 一维及二维非稳态导热问题。
2 掌握内容： ① 确定瞬时温度场的方法； ② 确定在一时间间隔内物体所传导热量的计算方法。
3 了解内容：无限大物体非稳态导热的基本特点。
3-1 概 述
非稳态导热 ：导热体的温度场随时间而变化。
通常，当毕渥数 Bi<0.1 时，采用集总参数法求解温 度影响误差不大。
3-2 集 总 参 数 法
集总参数法的特点： 1）是一种理想化模型； 2）物体内热阻忽略不计； 3）物体内温度梯度忽略不计，认为整个物体具有 相同的温度； 4）通过表面传递的热量立即使整个物体的温度同 时发生变化 5）把一个有分布热容的物体看成一个集中热容的 物体。
引入过余温度 ( x, ) t( x, ) t
上式化为：
2 a x2
（0 x l, 0）
0， 0
x 0， 0
x
x l， h
x
温度分布（分离变量法求解）
(x,
0
)
2
n1
exp
n2
a
l2
sin n
cos
n
x l
n sin n cos n
当
Fo
a
l2
3-2 集 总 参 数 法
毕渥准则数Bi
非稳态导热温度场取决于两个方面：一是介质与物 体表面传热速率的快与慢，由物体表面对流换热热 阻1/h决定。二是物体本身导热速率的快与慢，由其 内部导热热阻 le/λs 决定。
Bi
le 1
s
h
=
物体内部导热热阻 物体表面对流换热热阻
hle
s
3-2 集 总 参 数 法
毕渥准则数说明物体内部导热热阻与表面复合换热热 阻的相对大小，其大小将影响温度场的特点，其中le 为引用尺寸（定型尺寸）。
无限大平壁： le=/2(壁厚的一半) 无限长圆柱体： le=d/2=R 球： le=d/2=R Bi 物理意义： Bi 的大小反映了物体在非稳态条件 下内部温度场的分布规律。
当 Bi 时， le 1 ，因此，可以忽略对流换热热阻
正立方体
a/6
a/2
1/3
3-2 集 总 参 数 法
换热时间
Fo l2 a 边界热扰动扩散到 l2 面积上所需的时间
无量纲 时间
Fo表示物体内部温度场随时间变化的特征。
Fo 越大，热扰动就能越深入地传播到物体内部， 因而，物体各点地温度就越接近周围介质的温度。
3-2 集 总 参 数 法
hA
非稳态导热过程的特点
以无限大平壁、第一类边界条件的瞬态非稳态导热 为例（初始温度 t0，一侧温度瞬间升高至 t1），如 图所示。
t1
H
t0
A
G
F
E B CD
无限大平壁两侧对称加热，非稳态导热过程温度变化曲线
物体表面层最先受热，然后由表及里地逐渐传播到物 体内部。理论上经过无限长时间后，物体内各处温度趋于 一致，此时达到新的热平衡状态。
2. 求时间：如已知t、x 和Bi，可先由图3-7查 / m后，利用式(3-14)求得m/ 0，再由m/ 0 和Bi利用图3-6 查出相应的Fo数，最后求得加 热或冷却到该温度所需的时间 。
3-3 内部热阻不可忽略的物体在第三 类边界条件下的非稳态导热和诺模图
注 意： 书中的诺谟图及拟合函数仅适用恒温介质的第三 类边界条件或第一类边界条件的加热及冷却过程， 并且Fo>0.2。
0, t t0 Φ
3-2 集 总 参 数 法
解：(1) 导热微分方程
导热体
流体 h
dt &
d c
体积V
t
表面积A
物性ρ、c、λ
&可视为广义热源。与分析
肋片的导热问题相类似，这
温度 t f ( )
0, t t0 Φ
里发生热交换的边界不是计
算边界（零维无任何边界），因此界面上的热交换热
t f x, y, z, , t 0
周期性非稳态导热：物体的温度随时间作周 分 期性的变化（例如：墙体温度的昼夜变化） 类
瞬态非稳态导热：物体的温度随时间的推移逐 渐趋近于恒定的值（例如：热铁块投入凉水中）
周期性非稳态导热的特点
（1）物体内各处的温度按一定的振幅随时间周期性波动。 （2）同一时刻物体内各处的温度分布也按一定的振幅周期 性波动。
3-1 概 述
热流规律（三个阶段）： 1）不规则情况阶段： Φ1 急剧减小，Φ2 保持不变。 2）正常情况阶段： Φ1 逐渐减小，Φ2 逐渐增大。 3）建立新的稳态阶段： Φ1 与Φ2 保持不变并相等。
3-1 概 述
学习非稳态导热的目的： (1) 温度分布和热流量分布随时间和空间的变 化规律
t f (x, y, z, ) ; f( )
例：夏季室外空气温度 tf 以24小时为周期进行周而复始的变化，
室外墙面温度tf 也以24小时为周期进行变化，但要滞后一个相
位。
t
tf 室外空气温度
tf 室外墙面温度
滞后相位差
3-1 概 述
本章着重讨论瞬态非稳态导热 工程中的许多过程都是瞬态非稳态导热：
冶金热处理和热加工；工件被加热和冷却； 锅炉、内燃机、燃气轮机等装置启动、停机、变 工况； 自然环境温度，供暖和停暖过程中墙内与室内空 气温度。 原因：边界条件，内热源发生了变化
无限大平壁： M=1
令 lc M 无限长圆柱体和正方形长柱体： M=1/2
le
球和正立方体： M=1/3
特征尺寸和引用尺寸
Bi 0.1 BiV 0.1M
无限大平壁
特征尺寸 lc=V/A
/2
引用尺寸le /2
M=lc/le 1
长圆柱体
R/2
R
1/2
长正方柱体
a/4
a/2
1/2
球体
R/3
R
1/3
0.2
时
正常情况阶段
(x, ) 0
2
exp
12
a
l2
sin
1
cos
1
x l
1 sin 1 cos 1
Bi1 tan 1
1为上面方程的根
f1
Fo,
Bi,
x l
中心面过余温度（m）
x 0, m t(0, ) t
m
0
exp
12 Fo
1
sin 1 sin 1 cos 1
f2 Fo, Bi
对于测温元件，如热电偶和电阻温度计， r小，表明正确测出流体温度所需的时间短。
3-2 集 总 参 数 法
瞬态热流量：( ) hA(t( ) t ) hA
hA
hA0e cV W
导热体在时间 0 ~ 内传给流体的总热量：
Q
Φ( )d
0
hA
Vc0 (1 e cV )
hA
=Q0 (1 e cV ) J
hA
e cV
0 t0 t
过余温 度比
其中的指数： hA
cV
hV
A
A2 cV 2
h(V
A)
a
(V A)2
令 lc V A
BiV FoV
3-2 集 总 参 数 法
BiV
hlc
,
FoV
a
lc2
(傅立叶数)
脚标“V”表示以 lc=V/A 为特征尺寸。
无限大平壁： lc=/2(壁厚的一半) 无限长圆柱体： lc=R/2 球： lc=R/3
Q0 cV (t0 t ) 初始过余热焓
Q0物体由初始温度t0变为环境温度t时所吸收或放出的热量。
3-3 内部热阻不可忽略的物体在第三类 边界条件下的非稳态导热和诺模图
一 无限大平壁的分析解和诺模图
λ=const
a=const
h, t
h=const
-l
因两边对称，只研究半块平壁
h, t
ol x
时导热体已达到热平衡
状态
Biv Fov
应用集总参数法时，物体过余温度的变化曲线
3-2 集 总 参 数 法
时间常数r物理意义： r表明内部热阻可以忽略的物体突然被加热
或冷却时，它以初始温度t0变化到周围流体温度 t所需的时间。
r既反映物体热容量的大小，又反映表面传 热情况。r小，表明物体表面传热好，因而升温 （或降温）快。
量应折算成整个物体的体积热源。
3-2 集 总 参 数 法
&
V
dt
&
hA(t V
t)